WC2007 剪刀石头布【补集转化+比赛问题费用流】

题目描述：

N个点的竞赛图，已知一部分比赛结果，求安排剩下比赛的胜负情况，使得三元环的数量最大（A胜B，B胜C，C胜A）。N<=100

题目分析：

直接统计三元环并不好做，考虑非三元环的情况，必然是一个人胜2场，另一个人胜1场，第三个人胜0场。可以看出如果一个人最后胜的场次为wiw_iwi，则会贡献wi(wi−1)2\frac {w_i(w_i-1)}{2}2wi(wi−1)个非三元环，并且一个非三元环只会被一个人计算到。这样就将问题分成了单独每个人的问题。于是我们要最小化非三元环的数量。

一场比赛会有一个人胜利，如果一个人多胜1场，则会多产生(wi+1)wi2−wi(wi−1)2=wi\frac {(w_i+1)w_i}{2}-\frac {w_i(w_i-1)}{2}=w_i2(wi+1)wi−2wi(wi−1)=wi个非三元环，可以据此作为费用跑最小费用最大流。

具体来说将一场比赛作为1个点，源点向比赛点连容量为1的边，比赛点分别向比赛的两个人连容量为1的边，然后每个人向汇点连比赛场次条费用依次从wiw_iwi递增，容量为1的边。求方案就只需看比赛点向两人的哪条边满流即可。

这道题的费用流建模方式类似于BZOJ1449: [JSOI2009]球队收益，不同的是一个利用补集转化引入建模，一个利用先假设所有比赛为负计算变化量引入建模。都很巧妙。

Code：

#include<cstdio>
#include<deque>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 5105
#define maxm 50005
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,S,T;
int fir[maxn],cur[maxn],nxt[maxm],to[maxm],c[maxm],w[maxm],tot=1;
inline void line(int x,int y,int z,int v){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,to[tot]=y,c[tot]=z,w[tot]=v;nxt[++tot]=fir[y],fir[y]=tot,to[tot]=x,c[tot]=0,w[tot]=-v;
}
namespace Costflow{int dis[maxn],ans;bool vis[maxn],inq[maxn];deque<int>q;bool SPFA(){memset(dis,0x3f,(T+1)<<2);dis[T]=0,q.push_back(T);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop_front(),inq[u]=0;for(int i=fir[u],v;i;i=nxt[i]) if(c[i^1]&&dis[v=to[i]]>dis[u]+w[i^1]){dis[v]=dis[u]+w[i^1];if(!inq[v]) {inq[v]=1;if(!q.empty()&&dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v);else q.push_back(v);}}}return dis[S]!=inf;}int aug(int u,int augco){if(u==T) {ans+=dis[S]*augco;return augco;}vis[u]=1;int need=augco,delta;for(int &i=cur[u];i;i=nxt[i]) if(c[i]&&!vis[to[i]]&&dis[u]==dis[to[i]]+w[i]){delta=aug(to[i],min(need,c[i]));c[i]-=delta,c[i^1]+=delta;if(!(need-=delta)) break;}vis[u]=0;return augco-need;}int solve(){ans=0;while(SPFA()) memcpy(cur,fir,(T+1)<<2),aug(S,inf);return ans;}
}
int a[105][105],d[105],x[maxn],y[maxn],win[105],cnt,sum;
int main()
{scanf("%d",&n),S=0;for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);if(a[i][j]==1) win[i]++;if(a[i][j]==2&&i<j) line(S,n+(++cnt),1,0),line(n+cnt,x[cnt]=i,1,0),line(n+cnt,y[cnt]=j,1,0),d[i]++,d[j]++;}T=n+cnt+1;for(int i=1;i<=n;i++){sum+=win[i]*(win[i]-1)/2;while(d[i]--) line(i,T,1,win[i]++);}printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-(sum+Costflow::solve()));for(int i=1,loser;i<=cnt;i++){for(int j=fir[n+i];j;j=nxt[j]) if(to[j]&&c[j]) loser=to[j];a[x[i]][y[i]]=loser==y[i],a[y[i]][x[i]]=loser==x[i];}for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d%c",a[i][j]," \n"[j==n]);
}