数据结构和算法(十三)排序算法
1. 数据结构和算法(十三)排序算法
1.1 排序算法
所谓排序,就是使一串记录,按照其中的某个或某些关键字的大小,递增或递减的排列起来的操作。排序算法,就是如何使得记录按照要求排列的方法。
1.2 排序算法分类
- 内部排序:指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。
- 外部排序法:数据量过大,无法全部加载到内存中,需要借助外部存储进行排序。
1.3 常见的排序算法分类
1.4 算法的时间与空间复杂度
主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。
时间频率
- 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为时间频度。记为T(n)。
时间复杂度
在时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。
计算时间复杂度的方法:
用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n² 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
1.5 常见的时间复杂度
常见的时间复杂度
常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低
从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。常数阶O(1)
- 无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1).
int i = 1 int j = 2;i = i + j - i; j = i + j - j;
对数阶O(log2n)
- 在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n) 。
int i =1;while(i < n){i = i * 2;}
线性阶O(n)
- for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
for(int i = 1; i <= number; i++){j = i * 2;}
线性对数阶O(nlogN)
- 将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了O(nlogN)
for(int i = 1; i <= number; i++){while(i < number){i = i * 2;}}
平方阶O(n²)
- 如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(nn),即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(mn)
for (i=1;i<n;i++){for (j=0;j<=n;j++){j = i;j++;}}
立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)
- O(n³)相当于三层n循环。K次方阶相当于k层n循环。
1.6 平均时间复杂度和最坏时间复杂度
- 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
- 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
- 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致
排序法 | 平均时间 | 最差情形 | 稳定度 | 额外空间 | 备注 |
---|---|---|---|---|---|
冒泡 | O(n2) | O(n2) | 稳定 | O(1) | n小时较好 |
交换 | O(n2) | O(n2) | 不稳定 | O(1) | n小时较好 |
选择 | O(n2) | O(n2) | 不稳定 | O(1) | n小时较好 |
插入 | O(n2) | O(n2) | 稳定 | O(1) | 大部分已排序时较好 |
基数 | O(logRB) | O(logRB) | 稳定 | O(n) | B是真数(0-9),R是基数(个十百) |
希尔 | O(nlogin) | O(ns)1<s<2 | 不稳定 | O(1) | s是所选分组 |
快速 | O(nlogin) | O(n2) | 不稳定 | O(nlogin) | n大时较好 |
归并 | O(nlogin) | O(nlogin) | 稳定 | O(1) | n大时较好 |
堆 | O(nlogin) | O(nlogin) | 不稳定 | O(1) | n大时较好 |
– 以上为《数据结构和算法(十三)排序算法》,如有不当之处请指出,我后续逐步完善更正,大家共同提高。谢谢大家对我的关注。
——厚积薄发(yuanxw)
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