根轨迹法和频率响应法设计PI控制器学习笔记
一、根轨迹法和频率响应法怎么用？
根轨迹法中的根轨迹指**开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统传递函数的极点在s平面上变化的轨迹**(不考虑零极点相消)。
常规根轨迹法采用开环增益从零变化到无穷。
频率响应法使用开环传递函数推断闭环系统的相对稳定性。需要将系统转化为典型环节表示的形式，并通过幅值裕度和相角裕度调整比例环节K。
根据根轨迹的变化曲线，我们可取某一点的K值设计出具有期望性能的闭环系统。
二、控制器设计问题
若系统传递函数已知，需要设计PI控制器参数Kp和Ki，使闭环系统具有性能：
- 系统对阶跃输入响应无稳态误差，对斜坡输入响应稳态误差小于输入幅值的0.35；
- 系统阶跃响应调节时间小于等于3s。
控制系统结构如下图所示。
三、根轨迹法设计思路
整体系统开环传递函数为：
G1(s)=K(s)G(s)H(s)=110∗1.24Kp(s+Ki/Kp)(s+5)s(s2+460s+550)G_1(s)=K(s)G(s)H(s)=\frac{110*1.24K_p(s+K_i/K_p)(s+5)}{s(s^2+460s+550)}G1(s)=K(s)G(s)H(s)=s(s2+460s+550)110∗1.24Kp(s+Ki/Kp)(s+5)
其开环增益为110∗1.24Kp110*1.24K_p110∗1.24Kp，零点为−Ki/Kp-K_i/K_p−Ki/Kp、-5，极点为0、-1.19、-458。
1、根轨迹分析
绘制开环系统根轨迹图像如下：
(1)情况一：Ki/Kp<0K_i/K_p<0Ki/Kp<0
此时闭环系统有一个极点始终在实半平面，系统对于任意开环增益都不稳定。
取Kp=100、Ki=−100K_p=100、K_i=-100Kp=100、Ki=−100和Kp=1、Ki=−1K_p=1、K_i=-1Kp=1、Ki=−1和Kp=0.01、Ki=−0.01K_p=0.01、K_i=-0.01Kp=0.01、Ki=−0.01仿真结果如下。
(2)情况二：0<Ki/Kp<1.190<K_i/K_p<1.190<Ki/Kp<1.19(弱积分器)
此时闭环系统的闭环极点均位于负实轴上，对于任意开环增益都是稳定的，系统均为过阻尼系统，此时阶跃响应无超调。
取Kp=100、Ki=100K_p=100、K_i=100Kp=100、Ki=100和Kp=1、Ki=1K_p=1、K_i=1Kp=1、Ki=1和Kp=0.1、Ki=0.1K_p=0.1、K_i=0.1Kp=0.1、Ki=0.1仿真结果如下。
此时Ki/KpK_i/K_pKi/Kp均等于1，闭环零点位置不变，KpK_pKp越大，开环增益越大，闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。
取Kp=1、Ki=0.1K_p=1、K_i=0.1Kp=1、Ki=0.1和Kp=1、Ki=0.5K_p=1、K_i=0.5Kp=1、Ki=0.5和Kp=1、Ki=1K_p=1、K_i=1Kp=1、Ki=1仿真结果如下。
此时KpK_pKp不变，开环增益不变，但Ki/KpK_i/K_pKi/Kp越来越大，闭环零点越来越远离虚轴，同样的开环增益闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。
(3)情况三、四、五：1.19<Ki/Kp1.19<K_i/K_p1.19<Ki/Kp(强积分器)
此时任意开环增益系统都能稳定，但当开环增益在某一区间时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统。
取Kp=10、Ki=20K_p=10、K_i=20Kp=10、Ki=20和Kp=1、Ki=2K_p=1、K_i=2Kp=1、Ki=2和Kp=0.5、Ki=1K_p=0.5、K_i=1Kp=0.5、Ki=1仿真结果如下。
此时Ki/KpK_i/K_pKi/Kp均等于2，闭环零点位置不变，KpK_pKp越大，开环增益越大，闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。
取Kp=1、Ki=2K_p=1、K_i=2Kp=1、Ki=2和Kp=1、Ki=10K_p=1、K_i=10Kp=1、Ki=10和Kp=1、Ki=500K_p=1、K_i=500Kp=1、Ki=500仿真结果如下。
此时KpK_pKp不变，开环增益不变，但Ki/KpK_i/K_pKi/Kp越来越大，闭环零点越来越远离虚轴，同样的开环增益闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。
因此Kp和Ki越大越好？高增益会放大噪声。需要选取合适地参数。
2、稳态误差需求
该系统在输入下，误差信号为：
E(s)=R(s)1+K(s)G(s)H(s)E(s)=\frac{R(s)}{1+K(s)G(s)H(s)}E(s)=1+K(s)G(s)H(s)R(s)
阶跃输入为Rs\frac{R}{s}sR，稳态误差为：
ess(∞)=limt→∞e(t)=lims→0sE(s)=0e_ss(\infty)=lim_{t\to \infty}e(t)=lim_{s\to0}sE(s)=0ess(∞)=limt→∞e(t)=lims→0sE(s)=0
斜坡输入为Rs2\frac{R}{s^2}s2R，稳态误差为：
ess(∞)=limt→∞e(t)=lims→0sE(s)=0.7991RKie_ss(\infty)=lim_{t\to \infty}e(t)=lim_{s\to0}sE(s)=0.7991\frac{R}{K_i}ess(∞)=limt→∞e(t)=lims→0sE(s)=0.7991KiR
因此对于阶跃输入无稳态误差，对于斜坡输入必定存在稳态误差，KiK_iKi绝对值越大，稳态误差越小,需要满足：0.7991/Ki≤0.350.7991/K_i\le0.350.7991/Ki≤0.35，得到：Ki<0或Ki≥2.29K_i<0或K_i\ge2.29Ki<0或Ki≥2.29。
四、频率特性
Kp=1、Ki/Kp=1K_p=1、K_i/K_p=1Kp=1、Ki/Kp=1
(参考书籍：自动控制原理第六版, 胡寿松)
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