第1章行列式

1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

以下二元线性方程组的解：
{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\begin{cases} a_{11} x_1 +a_{12} x_2 = b_1\\ a_{21} x_1 +a_{22} x_2 = b_2\\ \end{cases} {a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2
x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21,x2=a11b2−b1a21a11a22−a12a21x_1 = \frac {b_1a_{22}-a_{12}b_2 }{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, x_2 = \frac {a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} x1=a11a22−a12a21b1a22−a12b2,x2=a11a22−a12a21a11b2−b1a21

二、三阶行列式

1.2 全排列与逆序数

全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做全排列（也简称排列）
逆序：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准的次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某2个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序，一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。
奇排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

1.3 n阶行列式的定义

1.4 对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1：一个排列中任意2个元素对换，排列改变奇偶性。
推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
定理2

1.5行列式的性质

转置行列式：
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式换变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于0.
性质3：行列式中的某一行（列）中所有的元素乘以k,等于用数k乘以行列式。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
性质4：行列式中如果有两行（列）成比例，则行列式等于0
性质5：若行列式的某列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：

则D等于下列2个行列式之和：
性质6：把行列式某一列（行）的各元素乘以同一个数，然后再加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

1.6 行列式按行（列）展开

余子式和代数余子式：
引理：
定理3，也叫行列式按行（列）展开法则 利用这一法则并结合行列式的性
质，可以简化行列式的计算。
范德蒙德行列式
定理3推论

1.7 克拉默法则

定理4
（非）齐次线性方程组
定理5

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一、二元线性方程组与二阶行列式

二、三阶行列式

1.2 全排列与逆序数

1.3 n阶行列式的定义

1.4 对换

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1.6 行列式按行（列）展开

1.7 克拉默法则

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