二元函数连续与偏导数存在的关系_二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系...

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二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系

作者：张宇红

来源：《山东工业技术》

2019

年第

期

摘

要：通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。

关键词：二元函数；连续；偏导数；全微分

DOI

：

10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.202

對于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导

一定连续，但连续不一定可导。但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相

对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。

连续和偏导数之间的关系

1.1

已知偏导数存在，但不一定连续

例

函数

在点处的两个偏导数都存在：

但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：

1.2

已知连续，但偏导数不一定存在

例

函数，显然：

故在点处连续，而由：

知不存在，所以在点处不是可偏导的。

偏导数和全微分之间的关系

2.1

若可微，则偏导数一定存在

证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：

其中。

特别地，当时，上式变为：

在该式两端各除以，再令，则得：

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