【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(5) 集合的基数、可数与不可数集合
本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：
- （国外经典教材）离散数学及其应用 第八版
Discrete Mathematics and Its Applications, Eighth Edition，作者是Kenneth H. Rosen，袁崇义译，机械工业出版社- 离散数学 第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年
- 离散数学 第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年
- （经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社
- 离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册， 张立昂。北京大学出版社
文章目录
- 4.5 集合的基数、可数与不可数集合
- 4.5.1 集合的基数、等势
- 4.5.2 可数集合
- 4.5.3 不可数集合
4.5 集合的基数、可数与不可数集合
4.5.1 集合的基数、等势
有限集合的大小可以用「集合中元素的个数」来度量，很容易比较。但对于无限集合来讲，集合的大小不能简单地用所包含元素的个数来描述。因此，对于无限集合大小的度量和比较，必须寻求新的途径。
无限集合有许多有趣的现象。比如，希尔伯特旅馆 Hilbert's paradox of the Grand Hotel 的故事：一家旅店拥有无穷多个客房，每个房间恰能住一位旅客，并已经客满。当日又有一位旅客投宿，店主欣然接纳，他让1号房间的客人挪到2号房间，2号房间的客人挪到3号房间，依次类推，从而腾出1号房间让新来的旅客入住，这样所有的旅客都有房间住宿。
用集合论的语言表述这一问题——即正整数集合 Z+={1,2,3,…}\Z^+ = \{ 1, 2, 3, \dots \}Z+={1,2,3,…}（旅馆的房间数）与自然数集合 N={0,1,2,3,…}\N = \{0, 1, 2, 3, \dots \}N={0,1,2,3,…}（旅馆入住的客人数）具有同样多的元素，可是 N\NN 显然比 Z+\Z^+Z+ 多一个元素 000 啊？这一问题困扰了数学家多年，直到19世纪70年代，康托研究无限集合的度量问题时，提出了集合基数的概念，这个问题才得以彻底解决。
定义4.5.1 度量集合 AAA 大小的数称为集合 AAA 的基数 cardinality 或势，记为 ∣A∣|A|∣A∣ 。
定义4.5.2 若集合 AAA 到 BBB 能够建立一个双射函数，则称集合 AAA 与集合 BBB 等势 Equinumerosity 或 `，记为 A∼BA\sim BA∼B 或 ∣A∣=∣B∣|A| = |B|∣A∣=∣B∣ 。
【例1】证明正整数集合 Z+\Z^+Z+ 与自然数集合 N\NN 等势。
证明：定义函数 f:N→Z+,f(x)=x+1f: \N \to \Z^+,\ f(x) = x+1f:N→Z+, f(x)=x+1 。fff 显然是双射的，所以 N∼Z+\N \sim \Z^+N∼Z+ 。
【例2】证明实数集合 R\RR 与其真子集 (0,1)(0, 1)(0,1) 等势。
证明：定义函数 f:R→(0,1),f(x)=1πarctan(x)+12f: \R \to (0, 1),\ f(x) = \dfrac{1}{\pi} \arctan(x) + \dfrac{1}{2}f:R→(0,1), f(x)=π1arctan(x)+21 。fff 显然是双射的，所以 R∼(0,1)\R \sim (0, 1)R∼(0,1) 。
定理4.5.1 等势是任何集合簇上的等价关系。
证明 设有集合簇 SSS 。
（1）任取 A∈SA\in SA∈S ，构造函数 f:A→A,f(x)=xf: A\to A,\ f(x) = xf:A→A, f(x)=x 。显然，fff 是双射函数，则 A∼AA \sim AA∼A ，因此等势关系是自反的。
（2）任取 A,B∈SA, B\in SA,B∈S ，若 A∼BA\sim BA∼B ，则 AAA 到 BBB 能够建立一个双射函数 fff ，则 f−1f^{-1}f−1 是从 BBB 到 AAA 的双射函数（见【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(4) 复合函数与逆函数定义4.4.2），故有 B∼AB \sim AB∼A ，因此等势关系是对称的。
（3）任取 A,B,C∈SA, B, C\in SA,B,C∈S ，若 A∼BA\sim BA∼B 且 B∼CB \sim CB∼C ，则存在 AAA 到 BBB 的双射函数 fff 和 BBB 到 CCC 的双射函数 ggg ，那么有 g⋄fg\diamond fg⋄f 是从 AAA 到 CCC 的一个双射函数（见【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(4) 复合函数与逆函数定理4.4.3），故有 A∼CA \sim CA∼C ，因此等势关系是传递的。
定义4.5.3 含有有限个（包括0个）元素的集合称为有限集合 finite set 。不是有限集合的集合称为无限集合 infinite set 。
关于非空有限集合和无限集合，还可以给出另一种定义。给定 Nk={0,1,2,…,k−1}(k∈Z+)\N_k = \{0, 1, 2, \dots, k - 1\}\ (k \in \Z^+)Nk={0,1,2,…,k−1} (k∈Z+) 是含有 kkk 个元素的有限集合，如果存在 Nk\N_kNk 到 AAA 的双射函数，则称 AAA 是有限集合，且集合 AAA 的基数是 kkk（当然，空集 ∅\varnothing∅ 也是有限集合，其基数为 000 ）；反之，设 AAA 是非空集合，若对于任何 k∈Z+,Nk={0,1,2,…,k−1}k \in \Z^+,\ \N_k = \{ 0, 1, 2, \dots, k - 1\}k∈Z+, Nk={0,1,2,…,k−1} ，均不存在 Nk\N_kNk 到 AAA 的双射函数，则称集合 AAA 是无限集合。
定理4.5.2 自然数集合 N\NN 是无限集合。
证明 任取 k∈Z+k \in \Z^+k∈Z+ ，设 fff 是从 {0,1,2,…,k−1}\{0, 1, 2, \dots, k - 1\}{0,1,2,…,k−1} 到 N\NN 的任意函数。现在令 t=1+max{f(0,f(1),f(2),…,f(k−1)}t = 1 + \max \{ f(0, f(1), f(2), \dots, f(k - 1)\}t=1+max{f(0,f(1),f(2),…,f(k−1)} ，显然 t∈Nt \in \Nt∈N 。因为不存在 x∈{0,1,2,…,k−1}x \in \{0, 1, 2, \dots, k - 1\}x∈{0,1,2,…,k−1} 使得 f(x)=tf(x) = tf(x)=t ，所以 fff 不可能是满射的，故 fff 也不可能是双射的。因为 kkk 和 fff 是任意的，这说明 kkk 不是有限集合，而是无限集合。
定理4.5.3 有限集合的任意子集是有限集合。
证明 设 AAA 是一个有限集合，BBB 是 AAA 的任一子集。
（1）若 BBB 是空集 ∅\varnothing∅ ，∣∅∣=0|\varnothing| = 0∣∅∣=0 ，因此 BBB 是有限集合。
（2）若 BBB 是非空集合，那么 AAA 也是非空集合。因为 AAA 是有限集合，设 ∣A∣=k|A| = k∣A∣=k ，所以存在 Nk\N_kNk 到 AAA 的双射函数 fff ，使得 A={f(0),f(1),…,f(k−1)}A = \{ f(0), f(1), \dots , f(k - 1)\}A={f(0),f(1),…,f(k−1)} 。由于 B⊆AB\subseteq AB⊆A ，现构造从 Nt\N_tNt 到 BBB 的函数 ggg 如下：
① 置 i=0,t=0i = 0, t = 0i=0,t=0 ；
② 如果 f(i)∈Bf(i) \in Bf(i)∈B ，令 g(t)=f(i)g(t) = f(i)g(t)=f(i) ；否则，转步骤④；
③ 令 t=t+1t = t + 1t=t+1 ；
④ 令 i=i+1i = i + 1i=i+1 ，如果 i<ki < ki<k ，转步骤②，否则结束。
显然，ggg 是从 Nt={0,1,2,…,t−1}\N_t = \{ 0, 1, 2, \dots, t - 1\}Nt={0,1,2,…,t−1} 到 BBB 的双射函数，故 B={g(0),g(1),…,g(t−1)}B = \{ g(0), g(1), \dots, g(t - 1)\}B={g(0),g(1),…,g(t−1)} 也是有限集。
推论 设 SSS 是 TTT 的子集，如果 SSS 是无限集合，则 TTT 是无限集合。
定理4.5.4 无限集合存在与其等势的真子集（戴德金无限 Dedekind-infinite ：一个集合 AAA 是戴德金无限的，当且仅当存在 AAA 的真子集 BBB 与 AAA 等势。无限集合显然是戴德金无限的）。
证明 设 AAA 是任意无限集合，在 AAA 中任取一个元素，记为 a0a_0a0 ，A−{a0}A - \{ a_0\}A−{a0} 仍是无限集合。在 A−{a0}A - \{ a_0 \}A−{a0} 中任取一个元素，记为 a1a_1a1 ，A−{a0,a1}A - \{ a_0, a_1 \}A−{a0,a1} 仍是无限集合。如此下去，从 AAA 中可以取出一列元素：a0,a1,a2,…,an−1,an,…a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}, a_n, \dotsa0,a1,a2,…,an−1,an,… 。令 B=A−{a0,a1,a2,…,an−1,an,…}B = A - \{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}, a_n, \dots \}B=A−{a0,a1,a2,…,an−1,an,…} ，于是有 A=B∪{a0,a1,a2,…,an−1,an,…,}A = B \cup \{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}, a_n, \dots, \}A=B∪{a0,a1,a2,…,an−1,an,…,} 。
再取出 AAA 的一个真子集 C=B∪{a1,a2,…,an−1,an,…}C = B \cup \{a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}, a_n, \dots \}C=B∪{a1,a2,…,an−1,an,…} ，存在双射函数 f:A→Cf : A\to Cf:A→C 如下：
{f(x)=xif x∈Bf(ai)=ai+1if x∈{a0,a1,a2,…,an−1,an,…}\begin{cases} f(x) = x \quad &\textrm {if} \ x \in B \\ f(a_i)= a_{i + 1} \quad &\textrm {if}\ x \in \{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}, a_n, \dots \} \end{cases} {f(x)=xf(ai)=ai+1if x∈Bif x∈{a0,a1,a2,…,an−1,an,…}
所以存在与 AAA 等势的真子集。
4.5.2 可数集合
由于自然数集合是无限集合，因此无法用元素的个数来表示其基数，为此引入特殊的基数符号。
定义4.5.4 与自然数集 N\NN 等势的集合，称为可数无限集合 countably infinite set 。可数无限集合的基数用 ℵ0\alef_0ℵ0（阿列夫零）表示（显然，N\NN 的基数是 ℵ0\alef_0ℵ0）。
阿列夫零，代表所有自然数的个数，是代表自然数总体的“数字”。
它无疑是一个“数”，但是却不在“自然数”这个集合之中。
美神所寻找的，诗云之外的诗句。
是第“一”个无限，是最“小”的无限。
但它也是有穷所无法想象的境界。
它是有穷与无穷的第一个分界点。
在它之下，所有有穷堆积，都不如它这个最“小”的无穷。
任何可以用“强一点”或“弱一点”形容的强者，都必然在它之下。
所有能够用加减乘除来形容强度的个体，就必然永远也及不上它。
但另一方面，它又是最“小”的无穷。
在它之上，只要比它更强的无限，就是她无论如何都追不上的存在。
——《走进修仙》第三百一十五章 霓虹与天人大圣
定义4.5.5 有限集和可数无限集统称为可数集合 countable set 。
一个可数集合要么是一个有限集合，要么是一个可数无限集合——即，一个可数集合是一个和自然数集合 N={0,1,2,3,…,}\N = \{0, 1, 2, 3, \dots , \}N={0,1,2,3,…,} 的某些子集等势的集合。等价定义是，一个集合 SSS 是可数的，当且仅当存在一个单射函数 f:S→Nf : S\to \Nf:S→N ，这意味着 SSS 中的每个元素都在 N\NN 中有唯一一个独特的对应元素。
【例3】设 Z\ZZ 表示整数集合，证明 ∣Z∣=ℵ0|\Z| = \alef_0∣Z∣=ℵ0 。
证明：做函数 f:N→Zf: \N\to \Zf:N→Z ，f(x)={x2当x是偶数时−x+12当x是奇数时f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2} \ \ & 当x是偶数时\\ - \dfrac{x+1}{2} \ \ & 当x是奇数时 \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧2x −2x+1 当x是偶数时当x是奇数时 。由于 fff 是双射的，所以 N∼Z\N \sim \ZN∼Z ，即 Z\ZZ 也是可数集，∣Z∣=ℵ0|\Z| = \alef_0∣Z∣=ℵ0 。
定义4.5.6 设 AAA 是一个集合，若 fff 是从 N\NN 或 Nk={0,1,2,…,k−1}\N_k = \{ 0, 1, 2, \dots, k - 1\}Nk={0,1,2,…,k−1} 到 AAA 的一个满射函数，则称 fff 是 AAA 的一个枚举 enumeration ，通常可表示为序列 ⟨f(0),f(1),f(2),…⟩\langle f(0), f(1), f(2), \dots \rangle⟨f(0),f(1),f(2),…⟩ 。如果枚举函数 fff 是双射的，那么称 fff 是一个无重复枚举，否则称 fff 是一个重复枚举。
【例4】构造下列集合的枚举。
（1）B={a1,a2}B = \{ a_1, a_ 2\}B={a1,a2} ；
（2）C={0,1,2,3}×{0,1,2,3}C = \{ 0, 1, 2, 3\} \times \{ 0, 1, 2, 3\}C={0,1,2,3}×{0,1,2,3}
解：
（1）令 f:{0,1}→{a1,a2},f(0)=a1,f(1)=a2f: \{ 0, 1\} \to \{ a_1, a_2\},\ f(0) = a_1,\ f(1) = a_2f:{0,1}→{a1,a2}, f(0)=a1, f(1)=a2 ，fff 是一个双射函数，则 ⟨a1,a2⟩\langle a_1, a_2 \rangle⟨a1,a2⟩ 是 BBB 的一个无重复枚举。令 f:N→{a1,a2},f(x)={a1当x=0时a2当x>0时f: \N \to \{ a_1, a_2 \}, \ f(x) =\begin{cases} a_1 \ \ & 当x=0时 \\ a_2 \ \ & 当x>0时\end{cases}f:N→{a1,a2}, f(x)={a1 a2 当x=0时当x>0时 ，fff 是一个满射函数，而非双射函数，则 ⟨a1,a2,a2,…⟩\langle a_1, a_2, a_2, \dots \rangle⟨a1,a2,a2,…⟩ 是 BBB 的一个重复枚举。
（2）下图a)和b)均为 CCC 的无重复枚举，a)中的枚举序列可以更直观地表示成c)的形式：
定理4.5.5 一个无限集合 AAA 是可数集合，当且仅当存在 AAA 的枚举（有限集合一定是可数集合）。
证明
- 必要性。设 AAA 是可数无限集合，由可数无限集合的定义4.5.4知 A∼NA \sim \NA∼N ，所以存在 N\NN 到 AAA 的双射函数 fff ，fff 就是 AAA 的枚举。
- 充分性（？）。设存在集合 AAA 的枚举，枚举函数为 fff 。根据枚举函数 fff 构造双射函数 g:N→Ag: \N \to Ag:N→A 。过程如下：
（1）置 g(0)=f(0),i=j=1g(0) = f(0), i = j = 1g(0)=f(0),i=j=1 ；
（2）检查 f(i)f(i)f(i) 是否已经出现在 S={g(0),g(1),…,g(j−1)}S = \{ g(0), g(1), \dots, g(j - 1) \}S={g(0),g(1),…,g(j−1)} 中，如果 f(i)∉Sf(i) \notin Sf(i)∈/S ，转到第(3)步，否则转到第(4)步；
（3）置 g(j)=f(i),i=i+1,j=j+1g(j) = f(i), i = i + 1, j = j + 1g(j)=f(i),i=i+1,j=j+1 ，转至第(2)步；
（4）i=i+1i = i + 1i=i+1 ，转至第(2)步
这样进行下去，得到的函数 ggg 是 N\NN 到 AAA 的双射，所以 AAA 是可数无限集合。
定理4.5.6 可数无限集合的任意无限子集是可数集合。
证明 设 AAA 是可数无限集合，存在 AAA 的枚举函数 f:N→Af: \N \to Af:N→A 。BBB 是 AAA 的任一无限子集，任取 b∈Bb \in Bb∈B ，构造函数 g:A→Bg: A\to Bg:A→B 如下：
g(x)={xx∈Bbx∉Bg(x) = \begin{cases} x\quad& x \in B \\ b\quad& x \notin B \\ \end{cases}g(x)={xbx∈Bx∈/B 显然，ggg 是满射的，则有 g⋄fg\diamond fg⋄f 也是从 N\NN 到 BBB 的一个满射函数，因此存在 BBB 的枚举 g⋄fg\diamond fg⋄f 。故 BBB 是可数集。
定理4.5.7 任意两个可数集合的并为可数集合。
证明留作练习。
定理4.5.8 N\NN 是自然数集合，N×N\N \times \NN×N 是可数无限集合。
证明 N={0,1,2,3,…}\N = \{0, 1, 2, 3, \dots \}N={0,1,2,3,…} 是一个可数无限集合，可以将 N×N\N \times \NN×N 表示成二维矩阵的形式，其中元素 ⟨i,j⟩\langle i, j\rangle⟨i,j⟩ 放置在矩阵的第 iii 行、第 jjj 列位置。如下图所示，按箭头方向对图中每个序偶依次用自然数标号。
令 f(m,n)=f(⟨m,n⟩)=f(m, n)= f(\langle m, n\rangle) =f(m,n)=f(⟨m,n⟩)= 图中序偶 ⟨m,n⟩\langle m, n\rangle⟨m,n⟩ 的标号，得到函数 f:N×N→Nf: \N \times \N \to \Nf:N×N→N 如下：
{f(0,0)=0f(0,n)=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2f(m,n)=f(0,m+n)+m=12(m+n)(m+n+1)+m\begin{cases} f(0, 0) = 0 \\ f(0, n) = 1 + 2 + 3 +\dots + n = \dfrac{n(n + 1) } {2}\\ f(m, n) = f(0, m + n) + m = \dfrac{1}{2}(m+n)(m+n+1) + m \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧f(0,0)=0f(0,n)=1+2+3+⋯+n=2n(n+1)f(m,n)=f(0,m+n)+m=21(m+n)(m+n+1)+m （证明存在 N×N\N \times \NN×N 的枚举不香吗？）下面证明以上构造的函数 fff 是一个双射函数。首先证明 f:N×N→Nf: \N \times \N \to \Nf:N×N→N 是一个单射，任取 ⟨m1,n1⟩,⟨m2,n2⟩∈N×N\langle m_1, n_1\rangle, \langle m_2, n_2 \rangle \in \N \times \N⟨m1,n1⟩,⟨m2,n2⟩∈N×N ，且设 ⟨m1,n1⟩≠⟨m2,n2⟩\langle m_1, n_1 \rangle \ne \langle m_2, n_2\rangle⟨m1,n1⟩=⟨m2,n2⟩ ，证明 f(m1,n1)≠f(m2,n2)f(m_1, n_1) \ne f(m_2, n_2)f(m1,n1)=f(m2,n2) ，留作练习。
其次证明任取 u∈Nu \in \Nu∈N ，存在 ⟨m,n⟩∈N×N\langle m, n\rangle \in \N \times \N⟨m,n⟩∈N×N ，使得 u=f(⟨m,n⟩)=f(m,n)=12(m+n)(m+n+1)+mu = f(\langle m, n\rangle) = f(m, n) = \dfrac{1}{2} (m + n)(m + n+1) + mu=f(⟨m,n⟩)=f(m,n)=21(m+n)(m+n+1)+m 令 u=f(m,n)=12(m+n)(m+n+1)+mu = f(m, n)= \dfrac{1}{2} (m + n) (m + n + 1) + mu=f(m,n)=21(m+n)(m+n+1)+m ，则 u≥12(m+n)(m+n+1)u<12(m+n)(m+n+1)+(m+n)+1=12(m+n)(m+n+3)+1u \ge \dfrac{1}{2} (m +n) (m + n + 1) \\ u < \dfrac{1}{2} (m +n)(m + n+1) + (m + n)+ 1 = \dfrac{1}{2} (m + n)(m +n+3) + 1 u≥21(m+n)(m+n+1)u<21(m+n)(m+n+1)+(m+n)+1=21(m+n)(m+n+3)+1 令 m+n=tm + n = tm+n=t ，则 12t(t+1)≤u<12t(t+3)+1\dfrac{1}{2} t(t+1) \le u\lt \dfrac{1}{2} t(t+3) +121t(t+1)≤u<21t(t+3)+1
即 t2+t−2u≤0t^2 + t - 2u \le 0t2+t−2u≤0 且 t2+3t−2(u−1)>0t^2 + 3t - 2(u - 1) > 0t2+3t−2(u−1)>0 ，得
−1+−1+1+8u2<t≤−1+1+8u2-1 + \dfrac{-1+ \sqrt{1 + 8u}}{2} < t \le \dfrac{-1 + \sqrt{1+8u}} {2}−1+2−1+1+8u<t≤2−1+1+8u 因为 ttt 是自然数，故可取 t=[−1+1+8u2]t = \bigg[ \dfrac{-1+ \sqrt{1 + 8u}} {2} \bigg]t=[2−1+1+8u] ，即 [−1+1+8u2]\bigg[ \dfrac{-1+ \sqrt{1 + 8u}} {2} \bigg][2−1+1+8u] 的整数部分，得
{m=u−12t(t+1)n=t−m\begin{cases}m = u - \dfrac{1}{2} t(t + 1) \\ n = t - m\end{cases}⎩⎨⎧m=u−21t(t+1)n=t−m 因此 fff 是双射的。由此可知 N×N\N \times \NN×N 是可数无限集合。注意，fff 是 N×N\N \times \NN×N 的无重复枚举，这种枚举方法称为对角线枚举法。
【例5】证明有理数集合 Q\mathbb{Q}Q 是可数无限集合。
证明：已知 N×N\N \times \NN×N 是可数无限集合，在 N×N\N \times \NN×N 集合中删除所有 mmm 或 nnn 等于 000 ，以及 mmm 和 nnn 均大于 000 、但有大于 111 的公因子的序偶 ⟨m,n⟩\langle m, n\rangle⟨m,n⟩ ，得到集合 SSS 如下：
S={⟨m,n⟩∣m,n∈Z+,m与n互质}S = \{ \langle m, n\rangle \mid m, n \in \Z^+, m与n互质\}S={⟨m,n⟩∣m,n∈Z+,m与n互质} 因为 SSS 是可数无限子集 N×N\N \times \NN×N 的无限子集，所以 SSS 是可数的（定理4.5.6）。令 g:S→Q+g : S\to \mathbb{Q}^+g:S→Q+ ，g(⟨m,n⟩)=mng(\langle m, n\rangle)= \dfrac{m}{n}g(⟨m,n⟩)=nm ，ggg 是双射，故 Q+\mathbb{Q}^+Q+ 是可数无限集合。又因为 Q+∼Q−\mathbb{Q}^+ \sim \mathbb{Q}^-Q+∼Q− ，故 Q=Q+∪{0}∪Q−\mathbb{Q} = \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\} \cup \mathbb{Q}^-Q=Q+∪{0}∪Q− 是可数无限集合。
定理4.5.9 可数个可数无限集合的并是可数无限集合。
证明 不妨设可数个可数无限集合为 A0,A1,…A_0, A_1, \dotsA0,A1,… ，其中 Ai={ai0,ai1,ai2,…},i∈NA_i = \{ a_{i0}, a_{i1}, a_{i2}, \dots \},\ i \in \NAi={ai0,ai1,ai2,…}, i∈N 。令 A=⋃i=0∞Ai=A0∪A1∪…A = \displaystyle \bigcup^\infin_{i = 0} A_i = A_0 \cup A_1 \cup \dotsA=i=0⋃∞Ai=A0∪A1∪… ，则存在双射函数 f:N×N→Af: \N \times \N \to Af:N×N→A 如下：
f(m,n)=amnf(m, n) = a_{mn}f(m,n)=amn 故 N×N∼A\N \times \N \sim AN×N∼A ，AAA 是可数无限集合。
4.5.3 不可数集合
定义4.5.7 与自然数集合不等势的无限集合，称为不可数集合。
定理4.5.10 实数集合的子集 (0,1)(0, 1)(0,1) 是不可数集合。
证明 利用康托对角线法。
设 fff 是从 N\NN 到 (0,1)(0, 1)(0,1) 的任一函数，我们证明 fff 不可能是满射的，从而证明 (0,1)(0, 1)(0,1) 不存在枚举。将任一 x∈(0,1)x \in (0, 1)x∈(0,1) 都表示为无限十进制小数，于是 f(0),f(1),f(2),…,f(n)∈(0,1)f(0), f(1), f(2), \dots, f(n) \in (0, 1)f(0),f(1),f(2),…,f(n)∈(0,1) 可分别表示为：
其中，xnix_{ni}xni 是 f(n)f(n)f(n) 小数后的第 i+1i + 1i+1 位数字。构造实数 y∈(0,1)y \in (0, 1)y∈(0,1) 如下：
y=⋅y0y1y2…y = \cdot y_0 y_1 y_2 \dotsy=⋅y0y1y2… 其中，yi={1若xii≠12若xii=1y_i = \begin{cases} 1 \ \ &若x_{ii} \ne 1 \\ 2 \ \ &若x_{ii} = 1\end{cases}yi={1 2 若xii=1若xii=1 。显然，y∈(0,1)y \in (0, 1)y∈(0,1) ，然而 yyy 与每一个 f(n)f(n)f(n) 的展开式至少有一个数字（第 n+1n + 1n+1 个数字）不同。因此，对于一切 n∈N,y≠f(n)n \in \N,\ y \ne f(n)n∈N, y=f(n) 。这表明 f:N→(0,1)f: \N \to (0, 1)f:N→(0,1) 不是一个满射。因为 fff 是任意的，所以 (0,1)(0, 1)(0,1) 不可能与自然数集合等势，从而有 ∣(0,1)∣≠ℵ0|(0, 1)| \ne \alef_0∣(0,1)∣=ℵ0 。
将集合 (0,1)(0, 1)(0,1) 的基数用 ℵ\alefℵ 表示，ℵ\alefℵ 也称作连续统的势。
【例6】证明 [0,1][0, 1][0,1] 与 (0,1)(0, 1)(0,1) 等势。
证明：设集合 A={0,1,12,13,…,1n,…},B={12,13,…,1n,…}A = \{ 0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots, \dfrac{1}{n}, \dots \}, B = \{ \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots, \dfrac{1}{n}, \dots \}A={0,1,21,31,…,n1,…},B={21,31,…,n1,…} ，A,BA, BA,B 分别是 [0,1],(0,1)[0, 1],\ (0, 1)[0,1], (0,1) 的子集。如下图所示，定义函数 f:[0,1]→(0,1)f: [0, 1] \to (0, 1)f:[0,1]→(0,1) ，得
{f(0)=12f(1n)=1n+2当n≥1,n∈N时f(x)=x当x∈[0,1]−A时\begin{cases} f(0) = \dfrac{1}{2} \\ f(\dfrac{1}{n} ) = \dfrac{1}{n + 2} \quad &当n\ge 1, n \in \N时 \\ f(x) = x \quad &当x \in [0, 1] - A时 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧f(0)=21f(n1)=n+21f(x)=x当n≥1,n∈N时当x∈[0,1]−A时
可以验证，fff 是双射函数，所以 [0,1]∼(0,1)[0, 1] \sim (0, 1)[0,1]∼(0,1) 。
【例7】求下列各集合的基数。
（1）[a,b][a, b][a,b] ，其中 a,b∈Ra, b \in \Ra,b∈R 且 a<ba < ba<b 。
（2）实数集 R\RR 。
解：
（1）构造函数 f:[0,1]→[a,b],f(x)=(b−a)x+af: [0, 1] \to [a, b],\ f(x) = (b - a) x + af:[0,1]→[a,b], f(x)=(b−a)x+a ，因为 fff 是双射的，所以 ∣[a,b]∣=∣[0,1]∣=ℵ\mid [a, b]\mid = \mid [0, 1]\mid = \alef∣[a,b]∣=∣[0,1]∣=ℵ 。
（2）构造函数 g:(0,1)→R,g(x)=12−xx(1−x)g: (0, 1) \to \R,\ g(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{2} - x } { x(1-x) }g:(0,1)→R, g(x)=x(1−x)21−x 。因为 ggg 是双射的，所以 ∣R∣=∣(0,1)∣=ℵ| \R| = |(0, 1) | = \alef∣R∣=∣(0,1)∣=ℵ 。
【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(5) 集合的基数、可数与不可数集合相关推荐
- 【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(3) 鸽巢原理
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
- 第四章函数作业题，函数模板
什么是函数模板? 就是不写具体的数据类型,而用一个虚拟类型来代表,这样可以提高效率. #include <iostream> using namespace std;template< ...
- Javascript第四章函数function也是数据类型第六课
可以作为函数的参数,进行传参 练习: <!DOCTYPE html> <html lang="zh"> <head><meta chars ...
- 第四章 函数的故事（1）超详！！！
维系C世界框架的英雄 今天是关于C语言函数的故事.我相信很多人,学习C语言的第一段代码就是: #include <stdio.h> int main() {printf("Hel ...
- c语言 如果 n 是素数,且 n+2 也是素数,则称为孪生素数.,算法竞赛入门经典： 第四章 函数与递归 4.3孪生素数...
/* 孪生素数: 如果n和n+2都是素数,则称他们是孪生素数.输入m,输出两个数均不超过m的最大孪生素数.5<=m<=10000.例如m=20时答案是17,19,m=1000时答案是881 ...
- 【离散数学】集合论 第三章 集合与关系(3) 集合计数的加法原理、容斥原理
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
- 《Reids 设计与实现》第四章 整数集合和压缩列表
<Reids 设计与实现>第四章 整数集合和压缩列表 文章目录 <Reids 设计与实现>第四章 整数集合和压缩列表 一.整数集合 1.简介 2.整数集合的实现 3.升级 4. ...
- 【JAVA SE】第十四章 集合框架、语法糖和泛型
第十四章 集合框架.语法糖和泛型 文章目录 第十四章 集合框架.语法糖和泛型 一.集合框架 1.概念 2.接口 二.语法糖 1.概念 2.解语法糖 三.泛型 1.概念 2.泛型类 3.泛型接口 4.泛 ...
- python123第四章第五题_第五章 Python 函数
第1章 为什么要使用函数 #1.代码的组织结构不清晰,可读性差 #2.遇到重复的功能只能重复编写实现代码,代码冗余 #3.功能需要扩展时,需要找出所有实现该功能的地方修改之,无法统一管理且维护难度极大 ...
- 【python第四章——序列（列表、元组、字典、集合、字符串、正则）】
python第四章--序列 第四章--序列 4.1列表 4.2元组 4.3字典 4.4集合 4.5字符串(重要) 4.6正则表达式 第四章--序列 概念:序列指一块可存放多个值的连续内存空间,这些值按 ...
最新文章
- 信号转换 | 将对称方波转换成倍频PWM波形
- The Illustrated Transformer 翻译
- formal method lecture 7 文件系统
- 简单的派生类构造函数C++
- Erlang语言学习入门
- ionic2 html 转义,ionic2 基于ngx-translate实现多语言切换，翻译
- char data[0]在struct末尾的用法
- java 异常练习题_Java 异常（习题）
- 【Python】pyinstaller安装失败的解决办法
- 优秀的应用快速启动工具：start for Mac完美支持m1
- C++中 模板Template的使用
- 《计算机系统：系统架构与操作系统的高度集成》——2.5 高级数据抽象
- eclipse spring boot_Spring源码(一)-Spring整体架构和环境搭建
- 重磅！「自然语言处理（NLP）」全球学术界”巨佬“信息大盘点（一）！
- 51单片机 ADC0832酒精传感器
- 2019秋-走的太久忘记了为什么出发
- KB和kb的区别以及我的网速
- 李小龙传奇一生的资料（多图）
- [完结]saliency filters精读之permutohedral lattice
- The Monster