整除

整除定义

设 a,b∈Z,a≠0a,b \in Z,a \ne 0a,b∈Z,a=0。如果 ∃q∈Z\exist q \in Z∃q∈Z，使得 b=aqb = aqb=aq，那么就说 bbb 可被 aaa 整除，记作 a∣ba \mid ba∣b，且称 bbb 是 aaa 的倍数，aaa 是 bbb 的约数（因数），反之，则记作 a∤ba \nmid ba∤b。

整除性质

a∣b⇔−a∣b⇔a∣−b⇔∣a∣∣∣b∣a \mid b \Leftrightarrow -a \mid b \Leftrightarrow a \mid -b \Leftrightarrow |a|\mid |b|a∣b⇔−a∣b⇔a∣−b⇔∣a∣∣∣b∣
a∣b∧b∣c⇒a∣ca\mid b \wedge b \mid c \Rightarrow a\mid ca∣b∧b∣c⇒a∣c
a∣b∧a∣c⇔∀x,y∈Z,a∣xb+yca\mid b \wedge a \mid c \Leftrightarrow \forall x,y \in Z, a \mid xb+yca∣b∧a∣c⇔∀x,y∈Z,a∣xb+yc
a∣b∧b∣a⇒b=±aa \mid b \wedge b \mid a \Rightarrow b = \pm aa∣b∧b∣a⇒b=±a
设 m≠0m \ne 0m=0，那么 a∣b⇔ma∣mba \mid b \Leftrightarrow ma \mid mba∣b⇔ma∣mb
设 b≠0b \ne 0b=0，那么 a∣b⇔∣a∣≤∣b∣a \mid b \Leftrightarrow |a| \leq |b|a∣b⇔∣a∣≤∣b∣
设 a≠0,b=qa+ca \ne 0, b = qa +ca=0,b=qa+c，那么 a∣b⇔a∣ca \mid b \Leftrightarrow a \mid ca∣b⇔a∣c。

约数（因数）定义

显然约数（显然因数）：对于整数 b≠0,±1,±bb \ne 0, \pm 1,\pm bb=0,±1,±b 是 bbb 的显然约数，其他约数称为真约数（真因数，非显然约数，非显然因数）

约数（因数）性质

设整数 b≠0b \ne 0b=0。当 ddd 遍历 bbb 的全体约数的时候，bd\frac{b}{d}db 也遍历 bbb 的全体约数。

若 b>0b > 0b>0。当 ddd 遍历 bbb 的全体正约数的时候，bd\frac{b}{d}db 也遍历 bbb 的全体正约数。

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

若函数 f(n)f(n)f(n) 满足 f(1)=1f(1) = 1f(1)=1 且 ∀x,y∈N+,gcd(x,y)=1\forall x,y \in N_+,gcd(x,y)=1∀x,y∈N+,gcd(x,y)=1 都有 f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)，则 f(n)f(n)f(n) 为积性函数。

若函数 f(n)f(n)f(n) 满足 f(1)=1f(1) = 1f(1)=1 且 ∀x,y∈N+\forall x,y \in N_+∀x,y∈N+ 都有 f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)，则 f(n)f(n)f(n) 为完全积性函数。

性质

若 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

h(x)=f(xp)h(x) = f(x^p)h(x)=f(xp)
h(x)=fp(x)h(x) = f^p(x)h(x)=fp(x)
h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)
h(x)=Σd∣xf(d)g(xd)h(x) = \Sigma_{d\mid x}f(d)g(\frac{x}{d})h(x)=Σd∣xf(d)g(dx)

设 x=Πpikix = \Pi p_i^{k_i}x=Πpiki

若 F(x)F(x)F(x) 为积性函数，则有 F(x)=ΠF(piki)F(x) = \Pi F(p_i^{k_i})F(x)=ΠF(piki)。

若 F(x)F(x)F(x) 为完全积性函数，则有 F(x)=ΠF(pi)kiF(x) = \Pi F(p_i)^{k_i}F(x)=ΠF(pi)ki。

还有一些就在专题里说明吧。

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