1.数学模型与数学建模

1.1模型概念

模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它具有以下的特点：
(1): 它是客观事物的一种模仿或者抽象，它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解。为了使模型成为帮助人们合理思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
(2): 为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
模型可以分为实体(形象)模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数字模型。对我们来说最感兴趣的就是数字模型。

1.2数学模型的概念

在现实世界中，会遇到大量的数学问题，但是，它们往往并不是自然地以现成数学问题的形式出现的。首先，我们需要对要解决的实际问题进行分析研究，经过简化提炼，归结为一个能够求解的数学问题，即建立该问题的数学模型。这是运用数学的理论和方法解决实际问题关键的一步，然后才能应用数学理论、方法进行分析和求解，进而为解决现实问题提供数量支持与指导。
一般地说，数学建模可以这样来描述：对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这里的特定对象，是指我们所要研究解决的某个具体问题，这里的特定的目的是指当研究一个特定对象时所要达到的特定目的，如分析、预测、控制、决策等。这里的数学工具指数学各分支的理论和方法及数学的某些软件系统。这里的数学结构包含各种数学方程、表格、图形等。

1.3数学模型的分类

数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。
(1)：按照建模所用的数学方法不同，可分为初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。
(2)：按照数学模型应用领域不同，可分为人口模型、交通模型。经济领域模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等。
(3)：按照人们对建模机理的了解程度的不同可分类如下：
①白箱模型。主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多已经建立起来了，还需深入研究的主要是针对具体问题的特定目的进行修正与完善，或者是进行优化设计与控制等。
②灰箱模型：主要是指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很清楚，故称为灰箱模型。在建立和改进模型方面还有不少工作要做。
③黑箱模型：主要是指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型。人们对其机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。
(4)：按照模型的表现特性可分类如下：
①确定性模型与随机性模型。前者不考虑随机因素的影响，后者考虑了随机因素的影响。
②静态模型与动态模型。两者的区分在于是否考虑时间因素引起的变化
③离散模型与连续模型。两者的区别在于描述系统状态的变量是离散的还是连续的。

2.数学建模的基本方法和步骤

建立实际问题的数学模型，尤其是建立抽象程度较高的模型是一种创造性的劳动。因此有人把数学建模看成是一种艺术，而不是一种技术。我们不能找到一种完美的方法来解决所有的问题，而是需要根据问题的不同场景来进行实际考虑。但是数学建模方法和过程也有一些共性的东西，掌握这些共性的规律，将有助于数学建模任务的完成。
对数学建模一般有如下要求：
(1)要有足够的精确度，就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的本质的真实程度。
(2)：模型既要精确，又要尽可能简单。因为太复杂的模型难以求解，而且如果一个简单的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那我们就没有必要再来建立一个复杂的模型。因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价。
(3)：要尽量借鉴已有的标准形式的模型。
(4)：构造模型的依据要充分，就是说要依据科学规律。经济规律来建立有关公式和图表，并要注意使用这些规律的条件。
数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：
(1)机理分析法。机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各变量之间的因果关系，找出反映其内部机理的规律的一类方法。使用这种方法的前提是我们对研究对象的机理应有一定的了解。
(2)测试分析法。当我们对研究对象的机理不清楚的时候，可以把研究对象视为一个黑箱系统，对系统的输入输出进行预测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型，这样的一类方法称为测试分析法。
(3)综合分析法。对于某些实际问题，人们常将上述两种建模方法结合起来使用，例如用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数，这类方法称为综合分析法。

2.1数学建模的一般步骤

数学建模的步骤没有固定的模式，常因问题性质、建模目的等而异。下面介绍的是用机理分析建模的一般步骤。

2.1.1模型准备

要建立现实问题的数学模型，首先要对需要解决的问题有一个清晰的提法，即要明确研究解决的问题是什么？建模所要达到的主要目的是什么？通常，当我们遇到某个实际问题的时候，在开始阶段，对问题的理解往往不是很清楚，所以，需要深入实际进行调查研究，收集与研究问题有关的信息。资料，与熟悉情况的人员进行讨论，查阅有关的文献资料，明确问题的背景和特征，由此初步确定它可能属于哪一类型等。总之，是做好建模前的准备工作，明确所要研究解决的问题和建模要达到的目的。

2.1.2模型假设

对所研究的问题和收集的信息资料进行分析，弄清哪一些因素是主要的。起主导作用，哪一个因素是次要的，并根据建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即对实际问题做一些必要的简化，用精确的语言做出必要的简化假设。应该说这是一个十分困难的问题，也是建模过程中十分关键的一步，往往不可能一次完成，需要经过反复多次才能完成。

2.1.3模型构成

在前述工作基础上，根据所作的假设，分析研究对象的因果关系，用数学语言加以刻画，就可得到所研究问题的数学描述，即构成所研究问题的数学模型，通常它是描述问题的主要因素的变量之间的一个关系式，在初步构成数学模型后，一般还要进行必要的分析和简化，使它达到便于求解的形式，并根据研究的目的，对它进行检查，主要是看它能否代表所研究的实际问题。

2.1.4模型求解

选择合适的数学方法求解经上述步骤得到的模型。在大多情况下，我们很难获得数学模型的解析解，而只能得到它的数值解，这就需要应用各种数值方法、软件和计算机。包括各种数值优化方法，线性和非线性方程组的数值方法，微分方程(或方程组)的数值解法。当现有的数学方法还不能很好解决所归纳的数学问题时，就需要针对数学模型的特点，对现有的方法进行改进或提出新的方法以适应需要。（ps；个人觉得整一个新的还是算了吧，就几天时间你能确定新的靠谱？）

2.1.5模型分析

对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏度分析、对假设的强健性分析等。

2.1.6模型检验

把求解的分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性，如果结果与实际不符，应该修改、补充假设，重新建模。

2.1.7模型应用

模型应用就是把经过多次反复改进的模型及其解应用于实际系统，看能否达到预期的目的。若不够满意，则建模任务仍未完成。

总结

不是所有的问题的建模都要按部就班的去拘泥于形式，达到目的就算成功！！！

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