方阵求值——上三角行列式、定义(康拓展开求值)
Problem：求方阵A的值。
设求n*n的矩阵：加法的操作次数为P(n)，乘法的操作次数与为M(n)。
对于方法1：
j1~jn共有n!种选法：j1有n种选法，j2有n-1种选法，…，jn有1种选法。
P(n)=n!-1
M(n)=n!*(n-1)
对于方法2：
P(1)=0
P(2)=2
P(n)=(n-1)+n*P(n-1)=(n-1)+(n-2)+n*(n-1)*P(n-2)=…=(n-1)+(n-2)+…+2+n*(n-1)*…*3*P(2)
=(n+1)*(n-2)/2+n! （n>=3）
可以都写成P(n)= (n+1)*(n-2)/2+n!
M(1)=0
M(2)=2
M(n)=n+n*M(n-1)=n+(n-1)+n*(n-1)*M(n-2)=…=n+(n-1)+…+3+n*(n-1)*…*3*P(2)=
=(n+3)*(n-2)/2+n! （n>=3）
方法1相比方法2乘法操作次数多了大概(n-1)倍，是因为
如和，除了前面两个数，其它数的乘积都一样，但是方法1对于的乘积重复计算。
而方法2的乘法操作次数仍然很多，是因为如和，方法2对的乘积重复计算。
方法1通过全排列优化后：
序列从小到大排序，编号为1~n！。编号为(t+1)[t=1~n!-1]的序列，当最大能被r！整除时，需要修改的长度为r+1，寻找j需要r+1次，寻找k需要1,2,3,…,r次，然后a[j]和a[k]进行交换，a[n-r]~a[n]修改顺序，共进行（temp=x,x=y,y=temp）3*(1+(r+1)/2)次赋值语句操作。
当r=n,n-1,…,1时
total=n*1+(n-1)*[n-1]+(n-2)*[n*(n-1)-n]+(n-3)*[n*(n-1)*(n-2)-n*(n-1)]+…+
???
12345
12354
12435
12453
12534
12543
13245
方法3：
化简为上三角行列式
并对所有对角线的数进行相乘得到方阵的值。
对于每列i化简：从行i开始，往下找，直到第j行a[j][i]<>0，然后行i和行j进行交换(如果i<>j)，然后行i+1~行n通过对行i加/减某个倍数，使得a[k][i]=0。每列i化简最多对(n-i)行进行了处理，时间复杂度为O(n*n)。
总的时间复杂度：O(n^3)
Code：
1.求方阵面积_n阶行列式的定义
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3
4 //原来O(n!)
5 //优化：
6 //效率不高，但所用方法很巧妙
7 //n=10 10!=3628800
8
9 int main()
10 {
11 long n,i,j,k,p,g,temp,x,y,a[20];
12 double mat[20][20],c[20],ans;
13 scanf("%ld",&n);
14 //posibility
15 p=1;
16 for (i=2;i<=n;i++)
17 p=p*i;
18 for (i=1;i<=n;i++)
19 for (j=1;j<=n;j++)
20 scanf("%lf",&mat[i][j]);
21 c[0]=1.0;
22 for (i=1;i<=n;i++)
23 {
24 a[i]=i;
25 c[i]=c[i-1]*mat[i][i];
26 }
27 ans=c[n];
28 g=0;
29 for (i=1;i<p;i++)
30 {
31 //4 8 7 6 5 3 2 1
32 //5 8 7 6 4 3 2 1
33 //5 1 2 3 4 6 7 8
34
35 //从尾到头，找到第一个下降的a[j]
36 for (j=n-1;j>=1;j--)
37 if (a[j]<a[j+1])
38 break;
39 //a[j]：从尾到a[j],找到第一个比a[j]大的数a[k]
40 for (k=n;k>j;k--)
41 if (a[k]>a[j])
42 break;
43 //交换a[j]和a[k]的值
44 temp=a[j];
45 a[j]=a[k];
46 a[k]=temp;
47 //数组：j+1~n reverse
48 x=j+1;
49 y=n;
50 while (x<y)
51 {
52 temp=a[x];
53 a[x]=a[y];
54 a[y]=temp;
55 x++;
56 y--;
57 }
58 //1~j-1:not change
59 for (k=j;k<=n;k++)
60 c[k]=c[k-1]*mat[k][a[k]];
61 g=g-(n-j-1)*(n-j)/2+1;
62 //逆序对的数目跟上一次的差距
63 //原来j+1~n降序，a[j+1]~a[n]中逆序对的数目为(n-j-1)*(n-j)/2
64 //现在j+1~n升序，a[j]在a[j]~a[n]的大小排名上升了一位,即第j位所在的数的逆序对的个数增加了1
65 if (g%2==0)
66 ans+=c[n];
67 else
68 ans-=c[n];
69 }
70 if (fabs(ans)<0.000001)
71 printf("%.2lf",0.0);
72 else
73 printf("%.2lf",ans);
74 return 0;
75 }
76 /*
77 Input:
78 4
79 2 -1 0 3
80 -3 1 2 2
81 1 0 -2 -1
82 -4 3 2 2
83 Output:
84 24.00
85
86 Input:
87 3
88 1 2 3
89 2 3 4
90 3 4 5
91 Output:
92 0.00
93
94 Input:
95 2
96 1 2
97 2 1
98 Output:
99 -3.00
100 */2.求方阵面积_化简为上三角行列式
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #define minv 0.000001
4 #define maxn 100
5
6 int main()
7 {
8 long n,i,j,k,l;
9 double s,result=1.0;
10 double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1));
11 for (i=1;i<=maxn;i++)
12 matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1));
13 scanf("%ld",&n);
14 for (i=1;i<=n;i++)
15 for (j=1;j<=n;j++)
16 scanf("%lf",&matrix[i][j]);
17 //使第i列的主元下方的值变为0
18 for (i=1;i<=n;i++)
19 {
20 j=i;
21 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv)
22 j++;
23 //最后化简的上三角行列式有一个数为0，则矩阵的值为0
24 if (j==n+1)
25 {
26 printf("0.00\n");
27 return 0;
28 }
29 //交换两行位置，值取反
30 if (i!=j)
31 {
32 result*=-1.0;
33 //第i行和第j行进行交换(交换第i~n列的数即可)
34 for (k=i;k<=n;k++)
35 {
36 s=matrix[i][k];
37 matrix[i][k]=matrix[j][k];
38 matrix[j][k]=s;
39 }
40 }
41 //对第j+1行~第n行进行处理(第i+1行到第j行a[][i]的值都为0)
42 //(第t行减去第i行的matrix[j][i]/matrix[i][i]倍，使matrix[j][i]=0)
43 for (k=j+1;k<=n;k++)
44 {
45 s=-matrix[k][i]/matrix[i][i];
46 matrix[k][i]=0;
47 //(修改第i+1~n列的数即可)
48 for (l=i+1;l<=n;l++)
49 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l];
50 }
51 }
52 for (i=1;i<=n;i++)
53 result*=matrix[i][i];
54 if (fabs(result)<0.000001)
55 printf("%.2lf",0.0);
56 else
57 printf("%.2lf",result);
58
59 return 0;
60 }
61 /*
62 Input:
63 4
64 2 -1 0 3
65 -3 1 2 2
66 1 0 -2 -1
67 -4 3 2 2
68 Output:
69 24.00
70
71 Input:
72 3
73 1 2 3
74 2 3 4
75 3 4 5
76 Output:
77 0.00
78
79 Input:
80 2
81 1 2
82 2 1
83 Output:
84 -3.00
85 */3.行简化行列式
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <math.h>
4 #define maxn 100
5 #define minv 0.000001
6
7 int main()
8 {
9 long n,m,i,j,k,l,pos;
10 double s;
11 double matrix[100][100];
12 // double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1));
13 // for (i=1;i<=maxn;i++)
14 // matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1));
15 scanf("%ld%ld",&n,&m);
16 for (i=1;i<=n;i++)
17 for (j=1;j<=m;j++)
18 scanf("%lf",&matrix[i][j]);
19
20 pos=1;
21 //使第i列的主元下方的值变为0
22 for (i=1;i<=m;i++)
23 {
24 j=pos;
25 //从第pos行开始
26 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv)
27 j++;
28 //从第pos行开始，第i列的值全为0，不用简化
29 if (j==n+1)
30 continue;
31 if (pos!=j)
32 //第pos行和第j行进行交换(交换第i~m列的数即可)
33 for (k=i;k<=m;k++)
34 {
35 s=matrix[pos][k];
36 matrix[pos][k]=matrix[j][k];
37 matrix[j][k]=s;
38 }
39 //对第pos+1行~第n行进行处理
40 //(第t行减去第pos行的matrix[j][i]/matrix[pos][i]倍，使matrix[j][i]=0)
41 for (j=pos+1;j<=n;j++)
42 {
43 s=-matrix[j][i]/matrix[pos][i];
44 matrix[j][i]=0;
45 //(修改第i+1~m列的数即可)
46 for (k=i+1;k<=m;k++)
47 matrix[j][k]+=s*matrix[pos][k];
48 }
49 //若从第pos行开始，第i列的值全为0，则从下一行开始
50 pos++;
51 }
52
53 printf("\n");
54 printf("行阶梯型矩阵：\n");
55 for (i=1;i<=n;i++)
56 {
57 for (j=1;j<=m;j++)
58 if (fabs(matrix[i][j])<minv)
59 //左边的数5代表数输出5位，若位数不够则以空格填充
60 //右边的数2代表数保留2位小数
61 printf("%5.2lf ",0.0);
62 else
63 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]);
64 printf("\n");
65 }
66 //第pos行~第n行的值全部为0，矩阵的秩为pos-1
67 //对第pos-1行~第1行的内容进行修改
68 for (i=pos-1;i>=1;i--)
69 {
70 for (j=1;j<=m;j++)
71 //(i,j)即该行的第一个非零数，为主元
72 if (fabs(matrix[i][j])>minv)
73 break;
74 s=matrix[i][j];
75 //把主元的值变为1，该行的数都除以matrix[i][j]
76 for (k=j;k<=m;k++)
77 matrix[i][k]/=s;
78 //对第1行~第i-1行进行处理
79 for (k=1;k<i;k++)
80 {
81 s=-matrix[k][j];
82 matrix[k][j]=0;
83 //(修改第j+1~m列的数即可)
84 for (l=j+1;l<=m;l++)
85 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l];
86 }
87 }
88 printf("\n");
89 printf("行简化阶梯型矩阵：\n");
90 for (i=1;i<=n;i++)
91 {
92 for (j=1;j<=m;j++)
93 if (fabs(matrix[i][j])<minv)
94 //左边的数5代表数输出5位，若位数不够则以空格填充
95 //右边的数2代表数保留2位小数
96 printf("%5.2lf ",0.0);
97 else
98 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]);
99 printf("\n");
100 }
101 return 0;
102 }
103 /*
104 Input1:
105 3 4
106 1 2 1 3
107 0 0 0 0
108 0 0 0 1
109 Output:
110 行阶梯型矩阵：
111 1.00 2.00 1.00 3.00
112 0.00 0.00 0.00 1.00
113 0.00 0.00 0.00 0.00
114
115 行简化阶梯型矩阵：
116 1.00 2.00 1.00 0.00
117 0.00 0.00 0.00 1.00
118 0.00 0.00 0.00 0.00
119
120 Input2:
121 3 4
122 0 1 -1 2
123 0 0 1 -1
124 0 0 2 1
125 Output:
126 行阶梯型矩阵：
127 0.00 1.00 -1.00 2.00
128 0.00 0.00 1.00 -1.00
129 0.00 0.00 0.00 3.00
130
131 行简化阶梯型矩阵：
132 0.00 1.00 0.00 0.00
133 0.00 0.00 1.00 0.00
134 0.00 0.00 0.00 1.00
135
136 Input3:
137 3 3
138 1 2 1
139 2 1 1
140 0 0 0
141 Output:
142 行阶梯型矩阵：
143 1.00 2.00 1.00
144 0.00 -3.00 -1.00
145 0.00 0.00 0.00
146
147 行简化阶梯型矩阵：
148 1.00 0.00 0.33
149 0.00 1.00 0.33
150 0.00 0.00 0.00
151
152 Input4:
153 5 6
154 1 2 0 3 2 5
155 -1 1 -3 3 4 7
156 0 -2 2 -4 1 -3
157 2 0 4 -2 0 -2
158 1 0 2 -1 1 0
159 Output:
160 行阶梯型矩阵：
161 1.00 2.00 0.00 3.00 2.00 5.00
162 0.00 3.00 -3.00 6.00 6.00 12.00
163 0.00 0.00 0.00 0.00 5.00 5.00
164 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
165 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
166
167 行简化阶梯型矩阵：
168 1.00 0.00 2.00 -1.00 0.00 -1.00
169 0.00 1.00 -1.00 2.00 0.00 2.00
170 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00
171 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
172 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00*/转载于:https://www.cnblogs.com/cmyg/p/6810501.html
方阵求值——上三角行列式、定义(康拓展开求值)相关推荐
- c++ 将行列式化为上三角行列式，并求值。
c++ 将行列式化为上三角行列式,并求值. #include<stdio.h> #include<iostream> using namespace std;bool op(d ...
- [Swust OJ 643]--行列式的计算(上三角行列式变换)
题目链接:http://acm.swust.edu.cn/problem/643/ Time limit(ms): 1000 Memory limit(kb): 65535 Description 一 ...
- 【蓝桥杯】九宫重排（BFS+康拓展开）
问题描述 如下面第一个图的九宫格中,放着 1~8 的数字卡片,还有一个格子空着.与空格子相邻的格子中的卡片可以移动到空格中.经过若干次移动,可以形成第二个图所示的局面. 我们把第一个图的局面记为:12 ...
- 康拓展开即逆康拓展开（简单易懂版）
康拓展开 当我们去搜康托展开这个关键字的时候,映入眼帘的是下面的一大堆公式: 其中X为康拓展开值 为整数,且 且表示袁数在当前未出现的元素是排第几个. 很不错,这样一下子会把人弄得搞陀不清(湖南方言) ...
- 九宫重拍(bfs + 康拓展开)
问题描述 如下面第一个图的九宫格中,放着 1~8 的数字卡片,还有一个格子空着.与空格子相邻的格子中的卡片可以移动到空格中.经过若干次移动,可以形成第二个图所示的局面. 我们把第一个图的局面记为:12 ...
- P1377 编码II （康拓展开）
空间压缩神器--康拓展开模板!!!空间压缩神器--康拓展开模板!!!空间压缩神器--康拓展开模板!!! 题目大意: 输入一个排列(长度小于50),输出它是第几个排列! 第一个排列为1. 分析: 求一个 ...
- 三角矩阵上三角列优先压缩存储---加法、减法、乘法、转置、秩、行列式值、伴随矩阵、逆
三角矩阵上三角列优先压缩存储: 我们以图4.9中的矩阵A矩阵为例,针对A上三角部分,采用以列为主序存储至一个一维数组B内,按照三角矩阵上三角元素构成可知,该部分有n(n+1)/2个元素,因为下三角中的 ...
- 行列式（determinant）求值
如果A是一个矩阵(n*n方阵),则det(A)或| A |表示和A对应的n阶行列式,是一个标量. 行列式值直接求解(1阶行列式的值等于其唯一元素值): 2阶矩阵的行列式:∣a11a12a21a22∣= ...
- C语言 输入一个5行5列的数组。1.求数组主对角线上元素的和。2.求出辅对角线上元素的积。3.找出主对角线上最大的值及其位置
C语言 输入一个5行5列的数组.1.求数组主对角线上元素的和.2.求出辅对角线上元素的积.3.找出主对角线上最大的值及其位置 主对角线是什么: 在一个n阶方阵(或是n阶行列式)中,从左上角到右下角这一 ...
最新文章
- 51单片机的工作寄存器R0~R7位于内部RAM什么位置
- Qt对话框的事件循环实例分析
- php用ajaxs上传图片_jquery+ajax+php 图片上传
- 《必然》九、享受重混盛宴，是每个人的机会
- linux编译安装含义,linux源码包编译安装详解
- php临时文件删除,php删除临时文件的代码示例
- 11gpath失败 oracle_[转载]安装Oracle11gR2先决条件检查失败的详细解决处理过程
- java实现文件移动_java实现文件的复制,移动
- Win10 安装 Ubuntu 使用 Linux 教程
- 通达OA2019安装教程
- OpenCV_tutorials 04 imgproc module - Affine Transformations
- 如何将PDF压缩突破限制大小
- python代码书写_如何优雅的书写Python代码， python使用小技巧
- 计算机网络密码凭据,网络访问: 不允许存储网络身份验证的密码和凭据
- Google街景车在台湾香港出现
- 在python中浮点数怎样转整数_python 浮点数 转 整数python函数每日一讲 - all()
- JUC编程java多线程并发详细总结
- python与自然语言处理之rnn在 nlps上的应用
- DRV8711的通用步进电机驱动器和直流电机驱动器
- 简历模板、公考、考研、pmp证书、PPT模板等一应俱全