题目

题目大意

给你两个字符串AAA和BBB，可以修改AAA中的一个字符，求修改后最长的AAA的前缀，使它是BBB的子串。

思考历程

看到这道题之后，第一眼想到的就是后缀自动机！
BBB的子串，意味着可以把BBB建立一个后缀自动机，然后在上面跑……
刚开始的想法是将AAA在上面跑，并且试着修改后面一个字符，看看剩下的可以跑多长……
于是问题就转化成求这样的一个东西：问AAA的某个后缀从后缀自动机上的某个节点开始最多能跑多远。
我试着将这个东西预处理出来……可是没有成功……
交了个错误的程序上去，居然还有点分。

水法

这题不得不开“水法”这一栏目。
题目的数据真是太水了，各种暴力都能过。
最简单的暴力：枚举子串的左端点，然后暴力匹配，遇见的第一个不同就用掉修改机会，求出匹配的最大长度。
还有一种O(n)O(n)O(n)的正确性显然错误的DP……
跑得都比正解快……

正解

有个exkmp的方法，虽然说时间可能会有点玄学，但既然是郑姐讲的方法，就把它归为“正解”这一栏吧……
求出AAA的nextnextnext，以AAA为模式串求出BBB的extendextendextend。
枚举子串的开头iii，则后面相同的子串长度为extendiextend_iextendi。
后面那个位置用修改操作，所以要从Aextendi+2A_{extend_i+2}Aextendi+2和Bi+extendi+1B_{i+extend_i+1}Bi+extendi+1开始继续匹配。
接下来取min⁡(nextextendi+2,extendi+extendi+1)\min(next_{extend_i+2},extend_{i+extend_i+1})min(nextextendi+2,extendi+extendi+1)。后面这个长度的串一定是相同的，因为前者等于AAA前面一段，后者也等于AAA前面一段，其中的最小值就是它们相等的长度。
然而这可能不是极限，所以后面的，就暴力判断吧……
时间应该比较优秀，虽然说那一部分暴力判断有点玄学……

然后是题解中的LCPLCPLCP做法。
先枚举子串的左端点iii，求LCP(Bi..m,A)LCP(B_{i..m},A)LCP(Bi..m,A)，设为xxx。x+1x+1x+1位可以用修改机会，然后求LCP(Ax+2..n,Bi+x+1..m)LCP(A_{x+2..n},B_{i+x+1..m})LCP(Ax+2..n,Bi+x+1..m)，就是后面能继续延伸的长度。
当然，记得判断一下到达边界的情况。
至于求LCPLCPLCP，最典型的做法是用后缀数组，将AAA和BBB并在一起，中间用特殊字符隔开，然后求后缀数组和heightheightheight数组，然后用数据结构维护区间heightheightheight最小值。
还有一种做法是用后缀自动机。考虑利用failfailfail指针，如果跳两个节点在failfailfail树上的LCALCALCA，它的lenlenlen就是它们的最长公共后缀。要求最长公共前缀，就把字符串倒过来建后缀自动机就行了……（failfailfail树实际上是逆序字符串的后缀树）这是两个字符串，所以要建广义后缀自动机。

最后是许多人使用的二分和hashhashhash做法。
首先二分答案kkk，将BBB串中长度为kkk的子串存入hashhashhash表。
然后26n26n26n来枚举修改的方案，每次修改后再hashhashhash表中查询。

代码

后缀自动机的做法……

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 50010
int n,m;
char a[N],b[N];
struct Node{Node *c[26],*fail;int len;
} d[N*4];
int cnt;
Node *S,*last;
inline void insert(int ch){if (last->c[ch] && last->c[ch]->len==last->len+1){last=last->c[ch];return;}Node *nw=&d[++cnt],*p;nw->len=last->len+1;for (p=last;p && !p->c[ch];p=p->fail)p->c[ch]=nw;if (!p)nw->fail=S;else{Node *q=p->c[ch];if (p->len+1==q->len)nw->fail=q;else{Node *clone=&d[++cnt];memcpy(clone,q,sizeof(Node));clone->len=p->len+1;for (;p && p->c[ch]==q;p=p->fail)p->c[ch]=clone;nw->fail=q->fail=clone;}}last=nw;
}
int sta[N],stb[N];
int fa[N*4][17],dep[N*4];
int get_dep(int x){if (dep[x])return dep[x];if (!fa[x][0])return dep[x]=1;return dep[x]=get_dep(fa[x][0])+1;
}
int LCP(int u,int v){if (dep[u]<dep[v])swap(u,v);for (int k=dep[u]-dep[v],i=0;k;k>>=1,++i)if (k&1)u=fa[u][i];if (u==v)return d[u].len;for (int i=16;i>=0;--i)if (fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];return d[fa[u][0]].len;
}
int main(){scanf("%s%s",a+1,b+1);n=strlen(a+1),m=strlen(b+1);n=min(n,m);last=S=&d[++cnt];for (int i=m;i>=1;--i){insert(b[i]-'a');stb[i]=last-d;}last=S;for (int i=n;i>=1;--i){insert(a[i]-'a');sta[i]=last-d;}fa[1][0]=0;for (int i=2;i<=cnt;++i)fa[i][0]=d[i].fail-d;for (int i=1;i<=cnt;++i)get_dep(i);for (int i=1;i<=16;++i)for (int j=1;j<=cnt;++j)fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];int ans=0;for (int i=1;i<=m;++i){int lcp=LCP(stb[i],sta[1]);if (lcp==n || lcp==n-1){printf("%d\n",n);return 0;}ans=max(ans,lcp+(i+lcp<=m?1:0)+(i+lcp+1<=m?LCP(stb[i+lcp+1],sta[1+lcp+1]):0));}printf("%d\n",ans);return 0;
}

总结

这题应该算是一道套路题吧……
所以看题的时候，不要试着死磕一个地方，要多方面地去考虑……
比如，枚举左端点右端点什么的……

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