思路

多亏了这篇博客的启发。

首先想到把每个数的贡献分开求，设 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 表示 nnn 个数中选 kkk 个，必须选第 iii 个数的合法方案数，那么答案就是
∑i=1nai∗G(n,k,i)\sum_{i=1}^na_i*G(n,k,i) i=1∑nai∗G(n,k,i)
然而 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 非常不好求，因为要考虑每个数前面和后面选了多少个。如果能够找到每个 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 之间的数量关系就可以先求出其中一个值继而求出其余所有。

根据经验，我们可以通过把序列化成环达到这个目的（经验就是不讲道理）。

如果把序列化成环，那么就只多了一个限制： a1a_1a1 和 ana_nan 不能同时选。

我们把 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 的定义放到环上变为 G′(n,k,i)G'(n,k,i)G′(n,k,i) ，那么由于环上的方案旋转同构，所以对于任意 iii ， G′(n,k,i)G'(n,k,i)G′(n,k,i) 是相等的。

为了方便，我们定义 f(n,k)f(n,k)f(n,k) 为 nnn 个数中选 kkk 个数的方案数，那么把数与数之间的空去掉，可得 f(n,k)=Cn−k+1kf(n,k)=C_{n-k+1}^{k}f(n,k)=Cn−k+1k ；定义 G′(n,k,i)=F(n,k)G'(n,k,i)=F(n,k)G′(n,k,i)=F(n,k) ，讨论一下可得 F(n,k)={[k==1]n<3f(n−3,k−1)n≥3F(n,k)=\left\{\begin{matrix}[k==1] & n<3\\ f(n-3,k-1) & n≥3\end{matrix}\right.F(n,k)={[k==1]f(n−3,k−1)n<3n≥3 。

现在我们考虑把这个限制去掉，那么只需要加上 a1a_1a1 和 ana_nan 同时选的情况。而这种情况相当于固定了两端的四个点，而中间的 n−4n-4n−4 个点又构成了一个子问题，所以我们可以得到 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 的递推式：
G(n,k,i)={0i≤0F(n,k)+f(n−4,k−2)i=1F(n,k)+G(n−4,k−2,i−2)i>1G(n,k,n−i+1)i>⌈n2⌉G(n,k,i)=\left\{\begin{matrix} 0 & i\le 0 \\F(n,k)+f(n-4,k-2) & i=1 \\F(n,k)+G(n-4,k-2,i-2) & i>1 \\G(n,k,n-i+1) & i>\lceil\frac{n}{2}\rceil \end{matrix}\right. G(n,k,i)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0F(n,k)+f(n−4,k−2)F(n,k)+G(n−4,k−2,i−2)G(n,k,n−i+1)i≤0i=1i>1i>⌈2n⌉
现在问题的症结就在如何快速求 i>1i>1i>1 的情况，通过把它展开，我们发现
G(n,k,i)=F(n,k)+F(n−4,k−2)+F(n−8,k−4)+...G(n,k,i)=F(n,k)+F(n-4,k-2)+F(n-8,k-4)+... G(n,k,i)=F(n,k)+F(n−4,k−2)+F(n−8,k−4)+...
因此，对于不同的 iii ， G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 的前面部分完全一样，我们只需要预处理出前缀和，然后对每个 G(n,k,i)G(n,k,i)G(n,k,i) 特判一次即可。

现在唯一的问题就是，这么递归下去求值的时候，很可能会出现算组合数里其中一个参数小于0的情况，而这种情况在上面的所有式子中都是没有意义的，所以取0即可。

剩下的代码就非常好打了，只要把每个函数里写好就行。常数随便大，因为是 O(n)O(n)O(n) 。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<map>
#define ll long long
#define MAXN 300005
#define uns unsigned
#define INF 0x7f7f7f7f
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define MOD 998244353ll
using namespace std;
inline ll read(){ll x=0;bool f=1;char s=getchar();while((s<'0'||s>'9')&&s>0){if(s=='-')f^=1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0',s=getchar();return f?x:-x;
}
inline ll ksm(ll a,ll b,ll mo){ll res=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mo)if(b&1)res=res*a%mo;return res;
}
int n,k,D;
ll a[MAXN],fac[MAXN],inv[MAXN];
inline ll C(int n,int m){if(m<0||m>n)return 0;return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}
inline ll gf(int n,int k){return C(n-k+1,k);}
inline ll gF(int n,int k){if(n<3)return k==1;else return gf(n-3,k-1);
}
ll sf[MAXN];
inline ll G(int n,int k,int i){if(i<1)return 0;else if(i==1)return (gF(n,k)+gf(n-4,k-2))%MOD;else if(i>((n+1)>>1))return G(n,k,n-i+1);else return (sf[i>>1]+G(n-((i>>1)<<2),k-((i>>1)<<1),i&1))%MOD;
}
int main()
{n=read(),k=read(),D=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;inv[n]=ksm(fac[n],MOD-2,MOD);for(int i=n-1;i>1;i--)inv[i]=inv[i+1]*(1ll+i)%MOD;for(int i=1;i<=n;i++)sf[i]=(sf[i-1]+gF(n-((i-1)<<2),k-((i-1)<<1)))%MOD;ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+a[i]*G(n,k,i)%MOD)%MOD;printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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ARC120F-Wine Thief（非F2）——序列化环

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