大家好，我是小小明。

前面我已经用Python求积分解决了一道小学数学题，详见：Python神器可以拯救小学数学题不会做

结果今天又碰到一道更难的，题目如下：

今天我们将尝试尽量多的通过Python来解题。

首先我们以左下角为原点建立直角坐标系，很快能够知道圆的方程为 ( x − 5 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 5 2 (x-5)^2+(y-5)^2=5^2 (x−5)2+(y−5)2=52

两个扇形的方程分别为 ( x − 10 ) 2 + y 2 = 1 0 2 (x-10)^2+y^2=10^2 (x−10)2+y2=102和 x 2 + ( y − 10 ) 2 = 1 0 2 x^2+(y-10)^2=10^2 x2+(y−10)2=102的一部分。

上面的方程很容易得到，但要计算出方程表达式还需费一番功夫，所以下面我们打算也让Python来计算。

在解题前，我们会先用Python绘制出如下图像：

绘图步骤

画圆

首先计算出上半圆和下半的表达式分别为：

from sympy.abc import x, y
import sympyc1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
display(c1)
display(c2)

结果：

5 − − x ( x − 10 ) \displaystyle 5 - \sqrt{- x \left(x - 10\right)} 5−−x(x−10)

x ( 10 − x ) + 5 \displaystyle \sqrt{x \left(10 - x\right)} + 5 x(10−x) +5

如果想要展开表达式可以进行如下操作：

display(sympy.expand(c1))
display(sympy.expand(c2))

结果：

5 − − x 2 + 10 x \displaystyle 5 - \sqrt{- x^{2} + 10 x} 5−−x2+10x

− x 2 + 10 x + 5 \displaystyle \sqrt{- x^{2} + 10 x} + 5 −x2+10x +5

直接打印可以看到在Python的表达式：

print(str(c1))
print(str(c2))

5 - sqrt(-x*(x - 10))
sqrt(x*(10 - x)) + 5

因此利用上述文本，我们可以直接进行numpy的函数求值，下面尝试画个圆试一下：

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineplt.figure(figsize=(5, 5))
x = np.linspace(0, 10, 1024)plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)plt.show()

可以看到我们求解的两个表达式可以画出圆形。

下面我们继续来画扇形：

画扇形

两个扇形的方程分别为 ( x − 10 ) 2 + y 2 = 1 0 2 (x-10)^2+y^2=10^2 (x−10)2+y2=102和 x 2 + ( y − 10 ) 2 = 1 0 2 x^2+(y-10)^2=10^2 x2+(y−10)2=102的一部分。

首先我们计算上面的扇形的函数公式：

sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)

结果：

[sqrt(x*(20 - x)), -sqrt(-x*(x - 20))]

显然上面的扇形的函数公式是正数，可以直接取角标为0的函数公式：

s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s1

结果：

x ( 20 − x ) \displaystyle \sqrt{x \left(20 - x\right)} x(20−x)

用同样的方法我们再求出下面的扇形：

s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
s2

结果：

10 − 100 − x 2 \displaystyle 10 - \sqrt{100 - x^{2}} 10−100−x2

然后我们绘制函数图形验证一下：

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy%matplotlib inlinec1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)x = np.linspace(0, 10, 1024)plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")plt.plot(x, eval(str(s1)), color="b")
plt.plot(x, eval(str(s2)), color="b")plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)plt.show()

绘制阴影

首先我们需要求出四个交点。

先分清几个线各是哪条：

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy%matplotlib inlinec1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)x = np.linspace(0, 10, 1024)plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()plt.show()

下面分别交出交点：

from sympy.abc import x, yx1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)
x1, x2, x3, x4

(15/4 - 5*sqrt(7)/4,25/4 - 5*sqrt(7)/4,5*sqrt(7)/4 + 15/4,5*sqrt(7)/4 + 25/4)

根据对称性，我们可以知道四个交点的坐标分别为(x1,x2), (x2,x1), (x3,x4),(x4,x3)

同样可以画图验证一下：

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy%matplotlib inlinec1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)x = np.linspace(0, 10, 1024)plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')
plt.text(x1, x2+0.1, "p1", ha="center", va="bottom")
plt.text(x2, x1+0.1, "p2", ha="center", va="bottom")
plt.text(x3, x4+0.1, "p3", ha="center", va="bottom")
plt.text(x4, x3+0.1, "p4", ha="center", va="bottom")plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()

下面开始绘制阴影：

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy%matplotlib inlinec1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()x = np.linspace(0, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1")
plt.plot(x, c2, label="c2")
plt.plot(x, s1, label="s1")
plt.plot(x, s2, label="s2")plt.fill_between(x[x <= x1], c1[x <= x1], c2[x <= x1], color="grey")
plt.fill_between(x[(x1 < x) & (x <= x3)], s1[(x1 < x) &(x <= x3)], c2[(x1 < x) & (x <= x3)], color="grey")
plt.fill_between(x[(x2 <= x) & (x <= x4)], c1[(x2 <= x) & (x <= x4)], s2[(x2 <= x) & (x <= x4)], color="grey")
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()

然后再稍微调整一下颜色即可得到文章开头的图像：

绘图完整代码

import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy%matplotlib inlinec1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()x = np.linspace(0, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1", color="r")
plt.plot(x, c2, label="c2", color="r")
plt.plot(x, s1, label="s1", color="b")
plt.plot(x, s2, label="s2", color="b")plt.fill_between(x[x <= x1], c1[x <= x1], c2[x <= x1], color="grey")
plt.fill_between(x[(x1 < x) & (x <= x3)], s1[(x1 < x) &(x <= x3)], c2[(x1 < x) & (x <= x3)], color="grey")
plt.fill_between(x[(x2 <= x) & (x <= x4)], c1[(x2 <= x) & (x <= x4)], s2[(x2 <= x) & (x <= x4)], color="grey")
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.show()

在完成图像绘制后，我们就可以通过相同的思路求积分得到面积了：

积分求解面积

最终结果完整求解代码：

from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympyc1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()r = integrate(c2-c1, (x, 0, x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.round(8)

结果：29.27625191

如果希望得到更加精确的的结果，可以最后再调用evalf方法：

from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympyc1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)r = integrate(c2-c1, (x, 0, x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.evalf()

结果：29.2762519060696

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