[ZJOI2014]力题解

传送门

题意：给出nnn个数qiq_iqi，定义Fj=∑i<jqiqj(i−j)2−∑i>jqiqj(i−j)2F_j=\sum\limits_{i<j}\frac{q_iq_j}{(i-j)^2}-\sum\limits_{i>j}\frac{q_iq_j}{(i-j)^2}Fj=i<j∑(i−j)2qiqj−i>j∑(i−j)2qiqj，令Ei=FiqiE_i=\frac{F_i}{q_i}Ei=qiFi，求EiE_iEi

Ei=∑j=1i−1qj(i−j)2−∑j=i+1nqj(i−j)2E_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{q_j}{(i-j)^2}-\sum\limits_{j=i+1}^n\frac{q_j}{(i-j)^2}Ei=j=1∑i−1(i−j)2qj−j=i+1∑n(i−j)2qj
设Ai=∑j=1i−1qj(i−j)2,Bi=∑j=i+1nqj(i−j)2A_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{q_j}{(i-j)^2},B_i=\sum\limits_{j=i+1}^n\frac{q_j}{(i-j)^2}Ai=j=1∑i−1(i−j)2qj,Bi=j=i+1∑n(i−j)2qj，分开求
设fi=1i2f_i=\frac{1}{i^2}fi=i21，并规定f0=0f_0=0f0=0，那么Ai=∑j+k=iqjfkA_i=\sum\limits_{j+k=i}q_jf_kAi=j+k=i∑qjfk，FFT求卷积即可
如果设pi=qn−ip_i=q_{n-i}pi=qn−i即把qqq翻转，那么
Bi=∑j=1n−iqj+ij2=∑j=1n−ipn−i−jj2=∑j+k=n−ipjfkB_i=\sum\limits_{j=1}^{n-i}\frac{q_{j+i}}{j^2}=\sum\limits_{j=1}^{n-i}\frac{p_{n-i-j}}{j^2}=\sum\limits_{j+k=n-i}p_jf_kBi=j=1∑n−ij2qj+i=j=1∑n−ij2pn−i−j=j+k=n−i∑pjfk，FFT求卷积即可

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>const int maxn = 1e5 + 207;
const double pi = acos(-1.0);struct Complex {double a, b;Complex(double x, double y) : a(x), b(y) {}Complex() : Complex(0.0, 0.0) {}
};
inline Complex operator+(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {return Complex(lhs.a + rhs.a, lhs.b + rhs.b);
}
inline Complex operator-(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {return Complex(lhs.a - rhs.a, lhs.b - rhs.b);
}
inline Complex operator*(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {return Complex(lhs.a * rhs.a - lhs.b * rhs.b, lhs.a * rhs.b + lhs.b * rhs.a);
}int r[maxn << 2], lim, l, n;
Complex a[maxn << 2], b[maxn << 2], c[maxn << 2];inline void fft(Complex *A, int tp) {for (int i = 0; i < lim; ++i)if (i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);for (int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {Complex wn = Complex(cos(pi / mid), tp * sin(pi / mid));for (int j = 0; j < lim; j += mid << 1) {Complex w = Complex(1, 0);for (int k = 0; k < mid; ++k, w = w * wn) {Complex x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid];A[j + k] = x + y;A[j + k + mid] = x - y;}}}if (tp == -1) {for (int i = 0; i < lim; ++i)A[i] = Complex(A[i].a / lim, 0);}
}int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%lf", &a[i].a);b[n - i].a = a[i].a;}for (int i = 1; i <= n; ++i)c[i].a = 1.0 / i / i;for (lim = 1; lim <= n << 1; lim <<= 1, ++l);for (int i = 0; i < lim; ++i)r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));fft(a, 1); fft(b, 1); fft(c, 1);for (int i = 0; i <= lim; ++i)a[i] = a[i] * c[i], b[i] = b[i] * c[i];fft(a, -1); fft(b, -1);for (int i = 1; i <= n; ++i)printf("%.5lf\n", a[i].a - b[n - i].a);return 0;
}

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