作者： Alberto Quesada 译者： KK4SBB

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神经网络模型的每一类学习过程通常被归纳为一种训练算法。训练的算法有很多，它们的特点和性能各不相同。

问题的抽象

人们把神经网络的学习过程转化为求损失函数f的最小值问题。一般来说，损失函数包括误差项和正则项两部分。误差项衡量神经网络模型在训练数据集上的拟合程度，而正则项则是控制模型的复杂程度，防止出现过拟合现象。

损失函数的函数值由模型的参数(权重值和偏置值)所决定。我们可以把两部分参数合并为一个n维的权重向量，记为w。下图是损失函数f(w)的图示。

如上图所示，w*是损失函数的最小值。在空间内任意选择一个点A，我们都能计算得到损失函数的一阶、二阶导数。一阶导数可以表示为一个向量：

ᐁif(w) = df/dwi (i = 1,…,n)

同样的，损失函数的二阶导数可以表示为海森矩阵( Hessian Matrix )：

Hi,jf(w) = d2f/dwi·dwj (i,j = 1,…,n)

多变量的连续可微分函数的求解问题一直被人们广泛地研究。许多的传统方法都能被直接用于神经网络模型的求解。

一维优化方法

尽管损失函数的值需要由多个参数决定，但是一维优化方法在这里也非常重要。这些方法常常用于训练神经网络模型。

许多训练算法首先计算得到一个训练的方向d，以及速率η来表示损失值在此方向上的变化，f(η)。下图片展示了这种一维函数。

f和η*在η1和η2所在的区间之内。

由此可见，一维优化方法就是寻找到某个给定的一维函数的最小值。黄金分段法和Brent方法就是其中两种广泛应用的算法。这两种算法不断地缩减最小值的范围，直到η1和η2两点之间的距离小于设定的阈值。

多维优化方法

我们把神经网络的学习问题抽象为寻找参数向量w*的问题，使得损失函数f在此点取到最小值。假设我们找到了损失函数的最小值点，那么就认为神经网络函数在此处的梯度等于零。

通常情况下，损失函数属于非线性函数，我们很难用训练算法准确地求得最优解。因此，我们尝试在参数空间内逐步搜索，来寻找最优解。每搜索一步，重新计算神经网络模型的参数，损失值则相应地减小。

我们先随机初始化一组模型参数。接着，每次迭代更新这组参数，损失函数值也随之减小。当某个特定条件或是终止条件得到满足时，整个训练过程即结束。

现在我们就来介绍几种神经网络的最重要训练算法。

1. 梯度下降法(Gradient descent)

梯度下降方法是最简单的训练算法。它仅需要用到梯度向量的信息，因此属于一阶算法。

我们定义f(wi) = fi and ᐁf(wi) = gi。算法起始于W0点，然后在第i步沿着di = -gi方向从wi移到wi+1，反复迭代直到满足终止条件。梯度下降算法的迭代公式为：

wi+1 = wi - di·ηi, i=0,1,…

参数η是学习率。这个参数既可以设置为固定值，也可以用一维优化方法沿着训练的方向逐步更新计算。人们一般倾向于逐步更新计算学习率，但很多软件和工具仍旧使用固定的学习率。

下图是梯度下降训练方法的流程图。如图所示，参数的更新分为两步：第一步计算梯度下降的方向，第二步计算合适的学习率。

梯度下降方法有一个严重的弊端，若函数的梯度变化如图所示呈现出细长的结构时，该方法需要进行很多次迭代运算。而且，尽管梯度下降的方向就是损失函数值减小最快的方向，但是这并不一定是收敛最快的路径。下图描述了此问题。

当神经网络模型非常庞大、包含上千个参数时，梯度下降方法是我们推荐的算法。因为此方法仅需要存储梯度向量(n空间)，而不需要存储海森矩阵(n2空间)

2.牛顿算法(Newton’s method)

因为牛顿算法用到了海森矩阵，所以它属于二阶算法。此算法的目标是使用损失函数的二阶偏导数寻找更好的学习方向。

我们定义f(wi) = fi, ᐁf(wi) = gi and Hf(wi) = Hi。用泰勒展开式估计函数f在w0值

f = f0 + g0 · (w - w0) + 0.5 · (w - w0)2 · H0

H0是函数f在w0的海森矩阵值。在f(w)的最小值处g = 0，我们得到了第二个等式

g = g0 + H0 · (w - w0) = 0

因此，将参数初始化在w0，牛顿算法的迭代公式为

wi+1 = wi - Hi-1·gi, i = 0,1,…

Hi-1·gi 被称为牛顿项。值得注意的是，如果海森矩阵是一个非正定矩阵，那么参数有可能朝着最大值的方向移动，而不是最小值的方向。因此损失函数值并不能保证在每次迭代都减小。为了避免这种问题，我们通常会对牛顿算法的等式稍作修改：

wi+1 = wi - (Hi-1·gi) ·ηi, i=0,1,…

学习率η既可以设为固定值，也可以动态调整。向量d = Hi-1·gi被称为牛顿训练方向。

下图展示的是牛顿法的流程图。参数的更新也分为两步，计算牛顿训练方向和合适的学习率。

此方法训练神经网络模型的效率被证明比梯度下降法更好。由于共轭梯度法不需要计算海森矩阵，当神经网络模型较大时我们也建议使用。

4. 柯西-牛顿法(Quasi-Newton method)

由于牛顿法需要计算海森矩阵和逆矩阵，需要较多的计算资源，因此出现了一个变种算法，称为柯西-牛顿法，可以弥补计算量大的缺陷。此方法不是直接计算海森矩阵及其逆矩阵，而是在每一次迭代估计计算海森矩阵的逆矩阵，只需要用到损失函数的一阶偏导数。

海森矩阵是由损失函数的二阶偏导数组成。柯西-牛顿法的主要思想是用另一个矩阵G来估计海森矩阵的逆矩阵，只需要损失函数的一阶偏导数。柯西-牛顿法的更新方程可以写为：

wi+1 = wi - (Gi·gi)·ηi, i=0,1,…

学习率η既可以设为固定值，也可以动态调整。海森矩阵逆矩阵的估计G有多种不同类型。两种常用的类型是Davidon–Fletcher–Powell formula (DFP)和Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno formula (BFGS)。

柯西-牛顿法的流程图如下所示。参数更新的步骤分为计算柯西-牛顿训练方向和计算学习率。

许多情况下，这是默认选择的算法：它比梯度下降法和共轭梯度法更快，而不需要准确计算海森矩阵及其逆矩阵。

5. Levenberg-Marquardt算法

Levenberg-Marquardt算法又称为衰减的最小 平方法，它针对损失函数是平方和误差的形式。它也不需要准确计算海森矩阵，需要用到梯度向量和雅各布矩阵。

假设损失函数f是平方和误差的形式：

f = ∑ ei2, i=0,…,m

其中m是训练样本的个数。

我们定义损失函数的雅各布矩阵由误差项对参数的偏导数组成，

Ji,jf(w) = dei/dwj (i = 1,…,m & j = 1,…,n)

m是训练集中的样本个数，n是神经网络的参数个数。雅各布矩阵的规模是m·n

损失函数的梯度向量是：

ᐁf = 2 JT·e

e是所有误差项组成的向量。

最后，我们可以用这个表达式来估计计算海森矩阵。

Hf ≈ 2 JT·J + λI

λ是衰减因子，以确保海森矩阵是正的，I是单位矩阵。

此算法的参数更新公式如下：

wi+1 = wi - (JiT·Ji+λiI)-1·(2 JiT·ei), i=0,1,…

若衰减因子λ设为0，相当于是牛顿法。若λ设置的非常大，这就相当于是学习率很小的梯度下降法。

参数λ的初始值非常大，因此前几步更新是沿着梯度下降方向的。如果某一步迭代更新失败，则λ扩大一些。否则，λ随着损失值的减小而减小，Levenberg-Marquardt接近牛顿法。这个过程可以加快收敛的速度。

下图是Levenberg-Marquardt算法训练过程的流程图。第一步计算损失值、梯度和近似海森矩阵。然后衰减参数和衰减系数。

由于Levenberg-Marquardt算法主要针对平方和误差类的损失函数。因此，在训练这类误差的神经网络模型时速度非常快。但是这个算法也有一些缺点。首先，它不适用于其它类型的损失函数。而且，它也不兼容正则项。最后，如果训练数据和网络模型非常大，雅各布矩阵也会变得很大，需要很多内存。因此，当训练数据或是模型很大时，我们并不建议使用Levenberg-Marquardt算法。

内存使用和速度的比较

下图绘制了本文讨论的五种算法的计算速度和内存需求。如图所示，梯度下降法往往是最慢的训练方法，它所需要的内存也往往最少。相反，速度最快的算法一般是Levenberg-Marquardt，但需要的内存也更多。柯西-牛顿法较好地平衡了两者。

总之，如果我们的神经网络模型有上千个参数，则可以用节省存储的梯度下降法和共轭梯度法。如果我们需要训练很多网络模型，每个模型只有几千个训练数据和几百个参数，则Levenberg-Marquardt可能会是一个好选择。其余情况下，柯西-牛顿法的效果都不错。美源星

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