GPS信号的捕获（PMF+FFT方法）

目标

获取GPS信号的频率偏移和码相位

程序流程

读取/生成GPS信号

GPS的导航信号模型为 x(nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)x(nT_s) = A*D(nT_s)C(nT_s)cos(2\pi(f_{IF} + f_d)nT_s+\theta) x(nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)

其中，D(nTs)D(nT_s)D(nTs) 为导航电文，此程序中只读取了导航电文中的一个bit（1ms）；C(nTs)C(nT_s)C(nTs)为C/A码;fIFf_{IF}fIF为中频；fdf_dfd为多普勒频移；TsT_sTs为抽样间隔，Fs=1/TsF_s=1/T_sFs=1/Ts为抽样频率
混频，得到I路信号和Q路信号
- 基础知识，三角函数和差化积、积化和差
  
  sin(α)∗cos(β)=1/2∗(sin(α+β)+sin(α−β))sin(\alpha)*cos(\beta) = 1/2 * (sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)) sin(α)∗cos(β)=1/2∗(sin(α+β)+sin(α−β))
  
  cos(α)∗cos(β)=1/2∗(cos(α+β)+cos(α−β))cos(\alpha)*cos(\beta) = 1/2 * (cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)) cos(α)∗cos(β)=1/2∗(cos(α+β)+cos(α−β))
  
  sin(α)∗sin(β)=1/2∗(cos(α+β)−cos(α−β))sin(\alpha)*sin(\beta) = 1/2 * (cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)) sin(α)∗sin(β)=1/2∗(cos(α+β)−cos(α−β))
设本地载波信号为 sin(2πfIF∗nTs)sin(2 \pi f_{IF} * nT_s)sin(2πfIF∗nTs) 和 cos(2πfIF∗nTs)cos(2 \pi f_{IF} * nT_s)cos(2πfIF∗nTs) ，导航信号与本地载波混频得到I路和Q路混频信号

I路
SI=x(nTs)∗cos(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)∗cos(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2∗(cos(2π(2fIF+fd)nTs+θ)+cos(2πfd+θ))\begin{align} S_I & = x(nT_s)*cos(2 \pi f_{IF} * nT_s) \\ & = A*D(nT_s)C(nT_s)cos(2\pi(f_{IF} + f_d)nT_s+\theta) * cos(2 \pi f_{IF} * nT_s) \\ & = A*D(nT_s)C(nT_s) * 1/2 * (cos(2\pi(2f_{IF} + f_d)nT_s+\theta) + cos(2\pi f_d + \theta)) \\ \end{align} SI=x(nTs)∗cos(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)∗cos(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2∗(cos(2π(2fIF+fd)nTs+θ)+cos(2πfd+θ))

Q路
SQ=x(nTs)∗sin(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)∗sin(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2∗(sin(2π(2fIF+fd)nTs+θ)−sin(2πfdnTs+θ))\begin{align} S_Q & = x(nT_s)*sin(2 \pi f_{IF} * nT_s) \\ & = A*D(nT_s)C(nT_s)cos(2\pi(f_{IF} + f_d)nT_s+\theta) * sin(2 \pi f_{IF} * nT_s) \\ & = A*D(nT_s)C(nT_s) * 1/2 * (sin(2\pi(2f_{IF} + f_d)nT_s + \theta) - sin(2\pi f_dnT_s + \theta)) \\ \end{align} SQ=x(nTs)∗sin(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)cos(2π(fIF+fd)nTs+θ)∗sin(2πfIF∗nTs)=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2∗(sin(2π(2fIF+fd)nTs+θ)−sin(2πfdnTs+θ))
低通滤波

设 K=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2K = A*D(nT_s)C(nT_s) * 1/2 K=A∗D(nTs)C(nTs)∗1/2

则I信号 SI=K∗(cos(2π(2fIF+fd)nTs+θ)+cos(2πfd+θ))S_I = K * (cos(2\pi(2f_{IF} + f_d)nT_s+\theta) + cos(2\pi f_d + \theta)) SI=K∗(cos(2π(2fIF+fd)nTs+θ)+cos(2πfd+θ))

Q路信号 SQ=K∗(sin(2π(2fIF+fd)nTs+θ)−sin(2πfdnTs+θ))S_Q = K*(sin(2\pi(2f_{IF} + f_d)nT_s + \theta) - sin(2\pi f_dnT_s + \theta)) SQ=K∗(sin(2π(2fIF+fd)nTs+θ)−sin(2πfdnTs+θ))

可以看出I/Q两路信号都有两个主要的频率分量， 2π(2fIF+fd)2\pi(2f_{IF} + f_d)2π(2fIF+fd) 和 2πfd2\pi f_d2πfd ，分别对应GPS导航信号与本地载波的和频与差频。如果这时滤掉和频保留差频，然后找到差频的频率，就是多普勒频移。
降采样，减少不必要的计算

在经过低通滤波之后，信号中保留着多普勒频移、伪码和数据，其中速率最高的伪码的码率为1023kbps，根据奈奎斯特采样定理，此时数据的采样率只要高于1023*2就可以保证数据的有效性。为了尽可能的降低运算量，可以进行降采样，把采样率从原来的26MSPS降低到2046SPS。

伪代码如下：
```
/** fs      -- 原始采样率*  fs_re   -- 降采样后的采样率*  N       -- 原始数据的采样点数*  cnt     -- 重采样后数据的下标
**/
temp = -1;for(int i = 0; i < N; i++)
{cnt = 向下取整(i * fs_re / fs);if(temp == cnt - 1){data_re(cnt) = data(i);temp = cnt;}
}
```

相干积分

经过低通滤波和降采样后的数据里面主要有两种成分，伪码和多普勒频移。因为伪码的频率再在频谱上均匀分布，只有去掉伪码才能将多普勒频移找出来。伪码调制再载波信号中，是一种双极性不归零的信号（GPS导航电文也是一种双极性不归零的信号）。要去掉伪码，就需要利用双极性不归零信号的性质。

在BPSK调制中，数字信号是双极性不归零的信号。比如

1	0	1	0	1	1	0	0

需要转化为

1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

再进行调制。

在捕获GPS信号时，需要本地生成一个标准的伪码信号，也需要是双极性不归零的信号。假设伪码就是上文中的10101100，在伪码对齐的情况下，两个相同的伪码相乘，$ 1*1=1 $ 、 $ -1 * -1 = 1 $。那么

1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

和

1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

对应位相乘的结果就是

1	1	1	1	1	1	1	1

伪码全部变成1就代表全部变成了直流分量，然后在做FFT或者分组求和后再做FFT就可以得到多普勒频移。再实际的操作中，需要将本伪码不断的循环右移，再相乘后做FFT，然后记录FFT的结果。将记录的结果绘制为立体图如线图所示

其中尖峰所在的x坐标和y坐标对应的坐标就是码相位和多普勒频移，图中使用256点FFT。

找到最高点，计算频率偏移和相位偏移

遍历记录的FFT结果，找到最高点，计算对应的频率和码相位，就是多普勒频移和码相位。

说明

此文描述都是我个人理解，如有错误请大佬指正
Matlab源码和使用的数据将会上传到Gitee和Github。
Gitee: https://gitee.com/chentianya000/gps_-pmf-fft.git

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