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《哲学与当代艺术》系列讲座第23期，我们邀请到北京师范大学哲学学院讲师，伦敦大学国王学院哲学博士陈龙为主讲嘉宾，以“ 思维的艺术：悖论与自指”为题做主题分享，并邀请了南京大学哲学系及艺术学院教授、博士生导师殷曼楟，中央美术学院人文学院副教授、硕士生导师张晨作为讨论嘉宾，山西大学哲学社会学学院教授陈敬坤担任主持与三位嘉宾展开对话讨论。本文为讲座文稿。

@陈  龙：

我今天报告的题目是“思维的艺术：悖论与自指”。我是做哲学研究的，主要偏逻辑学方向，但对于艺术不是很在行。因为逻辑研究涉及到自指现象，从形式上看和艺术有一些共同的结构因素，希望和期待接下来与来自艺术界、美学界的朋友交流。

如果一提到逻辑和艺术或者是悖论，大家想到最有名的著作就是《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》（Godel Escher Bach–an Eternal Golden Braid），这本著作在大陆学界引起过很广泛的影响，号称是一本“奇书”，通过比较逻辑学家哥德尔（Kurt Gödel）、画家埃舍尔（M.C.Escher）、音乐作曲家巴赫（Johann Sebastian Bach）三个人思想中不同的因素，刻画作品背后的结构，内涵非常丰富。这本书是道格拉斯·理查·郝夫斯台特（中文名侯世达）1979年写的，1997年由商务印书馆翻译成中文。“集异璧”对应英文GEB三位思想家名字的首字母，非常讲究隐喻中的一些因素。

侯世达的自我评价是：一生都在追求美（Perpetually in  search  of  beauty）。所以他觉得在逻辑、艺术中展现的是一些共同的美的因素。

还有一本比较容易受到忽视的书，是1662年由两位修道院院士Antoine Arnauld和Pierre Nicole写的逻辑学著作“La  logique，ou  I’art  de  penser”，他们是笛卡尔的同时代人。这本书强调“逻辑”作为一种思维艺术的逻辑，在《斯坦福哲学百科全书》上的评论是：“此书可能是自从亚里士多德到19世纪末晚期以来,被阅读最广的一本形式逻辑著作。”

亚里士多德虽然是逻辑的创始人，但大家真正接受逻辑教育并不是读他的《工具论》（ORGANON），而是更通俗易懂、从思维艺术角度探讨逻辑规律的著作。

大家可能会觉得谈艺术就是要谈想象力、创造力，但逻辑规律好像是一种禁锢人思维的东西，其实这是比较片面的想法。我今天想从“自指”和“悖论”角度来谈逻辑中很有创造力、艺术洞见性的思想。

埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）是一位20世纪的荷兰画家，他的很多作品非常吸引人的，但又比较晦涩，不是一眼直接能看懂的，越看越会发现其中的一些奇妙之处。

这幅非常有名的《双手素描》（Drawing hands），好像用一只手画另外一只手，但到底是左手画右手还是右手画左，似乎陷入某种自我指射之中。

另外一幅很有名的是1961年的《瀑布》（Waterfall），瀑布从上面往下流下来，又继续往上走，形成了一个循环，从下往上是利用大家的视觉、错觉还是误差或者是其他的因素造成一种图像的呢？这些都是他作品中比较明显的自指因素。

我今天不打算从绘画和音乐等艺术作品中的自指现象谈“悖论现象”，更多是从语言中的自指现象来谈论。

日常语言中的自指句

在日常语言中，我们可以看到很多不那么形式化，比较通俗易懂能够接受的自指句。

这句子很短。

我是这个句子的主语。

这个句子有八个字。

的写着倒是话句这。

这是一个问句吗？

这句话是错的。

这种自指现象经常构成一些诡异，甚至一不小心会造成悖谬的发生。

“上海一男子因造谣称自己因造谣而被拘留15日而被拘留15日。”这句话可以看出有一些自指因素在其中，会导致很奇怪的形式发生。

“人们在历史中得到的唯一教训是人类在历史中不会得到任何教训。”这是听到比较多的一句话，不是严格意义上的自指，但是有某种意义上的循环和自我指射因素在里边。

“所有普遍化的原理都是有问题的。”这句话本身就是普遍化的原理，因为谈到了“所有”，是不是有问题？指向的所有普遍化原理中包不包括自己？这是后面会谈到的间接的自我指涉。

在日常语言中，我们会遇到大量的或是无害、或是有害、或是很奇怪的类似的自指语句。今天从会给大家带来一些悖论的自指现象出发，看到底怎么样产生悖论。产生悖论的根源是真的在于自指吗？讨论逻辑学中比较有名的悖论，再来看自指在其中所起的作用。

悖论与自指

1.导言：何谓悖论？

2.悖论中的自指：语义、逻辑和认知悖论。

3.悖论的消解：禁自指。

4.悖论的重生：反证法。

何谓悖论？

悖论就是很荒谬的东西，最简短定义就是：悖论是推出矛盾(或非常反直觉的结论)但原因不明的推理，即推理过程中的所使用的前提和推理规则都是看似合理正确的。

我们很多时候觉得推出非常反直觉的结论并不一定是矛盾，但也可以是一个悖论式的东西，反正结论是我不可接受的，不管是形式矛盾还是非形式的不可接纳的结论都可以。悖论的核心要点在于：推理的前提和推理规则似乎看上去都是正确的情况下，结论是不可接受的。重点要害在于“原因不明的推理”，我们知道结论不想接受又找不出错误发生在何种地方，就会导致思维上的困惑即所谓的悖论。

悖论的分类（W.Quine）

从古至今，各种各样的悖论很难用一个简单的定义全部囊括。我采用一个比较流行的分类，来自美国哲学家威拉德·范奧曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908－2000年)，他对悖论进行了三种分类：

a. 真实性悖论（veridical paradox）：违背直觉并不是真正的悖论。如：21岁的小张才过了5个生日。为什么这样子？因为他是2月29号出生的，每到一个闰年才会过一个生日。听上去很奇怪，这只是一些意外，不违背任何思维规律、形式规律。

b. 谬误悖论(falsidical paradox)：知道结论不可接受，因而前提中一定有某个地方错了，只是暂时没有找出而已。但是,我们有信心在推理和前提中有一个错误在里面存在。比如阿基里斯永远追不上乌龟/飞矢不动，这就是有名的芝诺悖论，知道结论是荒谬的，只是暂时没有在推理中找出悖论式结论出现的原因。

a和b不特别有威胁性，对人类思维危害性没有那么大，真正有危害的是第三种。

c. 矛盾（paradox/antinomy）：这种悖论其实就是矛盾，悖论中最严重的称之为“矛盾”。从公认的前提和推理得出P和非P（P∧┐P）这样的矛盾，觉得前提和推理规则都是正确的，完全看不出哪个地方有问题，但却得到了灾难性的P∧┐P直接对立的矛盾。罗素悖论、说谎者悖论都属于这一类。

我们所有的讨论基于一个前提：矛盾不可接受。如果推理中出现矛盾，会觉得推理肯定有问题或者是你的想法中有两个同时对立的想法，我们觉得应该修正想法。

矛盾一定不可接受吗？

在哲学逻辑中，也有人挑战这么一种观点：矛盾一定不可接受吗？G.Priest提出了一个新的立场——双面真理论（Dialetheism）：存在既真且假的命题。

真有两种方式：a.纯粹的真；b.真和假合在一起。举一个很简单的例子：老李正走在门中间的时候，对于“老李已经进来了”这个命题，可以既是肯定的同时也是否定的;因为这时“老李已经进来了”既是模棱两可的也是程度的问题，是一个双面真理。

从“双面真理论”角度出发，P∧┐P也没什么好吓人的，语言、思维中有一些矛盾是可以被接受的。这是比较极端的想法，在今天的讨论中，我们不预设这种立场，从形式的角度看，任何形式逻辑里如果有了一个矛盾，基本上系统瘫痪了，逻辑上的角度不能容忍P∧┐P的矛盾存在。

悖论中的自指：语义、逻辑和认知悖论

语义悖论（Semantic  Paradox）

a. 说谎者悖论（Liar Paradox）。说谎者悖论已经有2500多年的历史了，直到现在还有大量的文献讨论到底怎么样才算是一个合理、完美的解决，有一些住主流的解法，但没有一个公认的解法。

说谎者悖论表述非常简单：L说L自身是假的（我们用L表示语句）。就像一个人说：“我在说谎”，我们问“你真的在说谎吗？”。我们用语句的形式表达：L：L是假的。

用形式化的表达就是：P⇔┐T[p] 。双箭头等于等价于，P当且仅当并非T[p]。T表示真；┐表示否定。用一个语句说自己并非真的，所以说自己是假的。我们默认如果不是假的就是真的，如果不是真的就是假的。

问题在于，当去问P到底是真还是假的时候会出现一个矛盾。如果P是真的，P作为一个语句是真的，说明它陈述的内容成立。比如我说“草是绿的”这个语句是真的，它对应的现实情况就成立，现实中草真的是绿的；如果L是真，L说的东西就应该成立。但又说自己说说的东西是假的，如果L是真的，L就应该是假的，会导致一个矛盾出来。如果L是假的，L自身表述的内容说自己是假的，L陈述的东西和事实实际情况相对应，L此时是真的。所以得出：L是真的，当且仅当L是假的。“说谎者语句”是我们不可接受的一个结论，因为我们觉得一个东西要么是真的，要么是假的。不可能同时既是真又是假的。

b. 贝里悖论（Berry  Paradox）是罗素提出来的，据罗素说是一个图书馆管理员传授给他的一个所谓的悖论。

我们汉字虽然有很多，但还是可以假定有一个上限，比如1万个。由30个以内的汉字组成的短语不管怎么排列组合，数字会很大很大，但所组合出来的短语一定是有限的，在组合出来的短语中有一些指称的正整数。比如“中华人民共和国成立的年份1949年”、“爱因斯坦出生的年份是1879年”等类似的说法。由少于30个汉字组成的短语中，有一些短语定义了一些正整数，有一些短语没有定义正整数，我们把所有定义正整数的短语挑出来，组成的数字是有限的。因为所有的短语是有限的，挑出能定义正整数的短语也是有限的。

再考虑这样一个短语“不能用少于30个汉字组成的短语定义出那个最小的正整数”。因为少于30个汉字定义的正整数有限，一定有一个最大的，假设定义出来最大的正数是M，那么M+1是不是不能用少于30个汉字组成的短语定义出来。直观上觉得有那么一个数的存在，不能由少于30个汉字的短语定义出来。红色这句话本身是不是刚好少于30个汉字呢？它少于30个汉字，但是定义了用这句话描述的“不能”，定义了正整数。

如果问上述短语定义了一个确定的数字吗？如果定义了那个数字，按照规定是不能有少于30个汉字，上面这句话也少于30个汉字。所以定义数字M当且仅当不可能定义它，也会造成语义悖论出来，我们称之为语义悖论是因为涉及到和真假相关的概念，以及什么叫做可定义性，用短语定义一个正数，这些定义都是语义的semantic的概念。所以统一称之为语义悖论。

罗素悖论（Russell  Paradox）

大家可能都听过理发师悖论，但让我们首先来看下罗素悖论——理发师悖论最原始的版本、最核心的版本。

罗素悖论涉及到“集合”的概念，所以我们简单回顾“集合”的概念。“集合论”创始人康托（Georg Cantor，1845-1918年）对“集合”的定义是：我们的直觉或思维中能够确定且加以区分的对象所汇集成的总体。我们把这些对象称之为元素。”

直观地说，就是把一些不同的对象和元素放到一起组成一个大的集合。例如：“所有素数的集合”、“中国超过1000万人口的城市”、“所有的啤酒品牌”，当然是确定在某个时间段，因为这些是被发展的，在某个时间点上那些东西都是确定的，放在一起是那个集合。集合中的对象称之为“元素”。

由这些元素定义出一个集合之后，因为集合本身是一个确定的对象，因此可以有意地定义属于自身的集合和不属于自身的集合。如：“中国的所有城市”这个集合，这一集合的对象是由城市构成的，但是它本身并不是一个城市，所以当然不属于自身。大部分集合都是不属于自身的，比如由所有啤酒品牌定义的是一个抽象的集合，是一个数学对象而不是啤酒品牌，也不属于自身。

但也有若干奇怪的“属于自身的集合”，最简单的例子：“所有那些不是由城市组成的对象”构成的集合。只要不是城市就可以放进去，这个集合本身应不应该放进去呢？集合本身不是一个城市，所以也可以放进去。

罗素问的一个问题是，考虑如下很特殊的集合R：所有那些不属于自身的集合构成的集合。即R={x|x∉x}，x是集合中的元素；竖线后面表达的元素是要满足属性：x不属于x，∉这个符号表示不属于自身。

R中的元素是那些本身不属于自身的集合。现在问，由这些不属于自身的集合构成的新的对象是否属于自身？听起来像是有一些诡异的东西在运行，实际上如果用符号写出来没有什么特别,即{x|x∉x}，只是读起来比较绕，本身是一个由概括原则（comprehension principle）定义出来的对象。

这个集合会导致一个矛盾出来。如果R属于自身（R∈R），因为这个集合只搜集不属于自身的东西，如果集合R属于自身就不应该放进来。所以根据R的规定性定义，就不满足x不属于x（x∉x）这个条件，因此不能属于自身，如果R属于自身可以推出R不属于自身，这是矛盾。另一方面，如果R不属于自身（R∉R），那么根据R的规定性定义，一旦不属于自身，R就会属于自身（R ∉R），也就矛盾。

这就是著名的罗素悖论，有一些很直观的，可以从关于集合的直观想法和原则出发，得出所谓悖论式的集合——罗素集合，对集合概念做一个很大的修正。

认知悖论（Epistemic Paradox）

认知悖论和说谎者悖论非常相关，认知悖论不同于语义悖论和逻辑悖论。认知悖论是关于“知道”、“相信”等命题态度谓词的悖论。最著名的是知道者悖论（Paradox of the knower）。

知道者悖论有这样一个语句，KS（Knower Sentence）：这个语句不被任何人所知。即P ⇔┐K[p]（⇔当且仅当；K表示被知道）。为什么会导致悖论？可以推出这句话应该是真的才对。

接下来证明KS是真的。假设KS为假，那么KS所陈述的情形不成立，比如“雪是黑的”是假的。当一句话为假的时候，这句话表达的内容和现实不相吻合，是不成立的。KS是“这个语句不被任何人所知。”KS为假，那么也就是有某个人知道这个语句，某个人知道KS。如果某个人知道KS，根据在知识论中的基本原则，当我们说知道一个东西的时候蕴含的东西是真的，可以得出KS为真，知道KS得到KS为真，这是关于知识的基本规定条件。

从假设KS为假，得出结论KS为真，是矛盾的，所以KS为假是错的。KS为假是错的即KS为真。KS为真，矛盾在什么地方？上面语句是真的，我没有说既真又假。

矛盾在于，上面这一段推理可以由于任何一位有足够推理能力的理性人做出，事实上作出推理的过程中证明了KS为真，证明为真，因此也知道是真的。所以KS事实上是可以被我们知道的，被任何一位做出上面推理的理性人能够知道的。但是KS是可以被知道的，和他所陈述的内容不符。因为陈述的内容是不被任何人知道，但是这里可以证明可以被我们所知道，这个语句岂不就是假的了。因此KS为假，又得到这个矛盾，说自己不被任何人知道，又知道它，知道它肯定也是假的。知道它是假，由它为假又会导致矛盾。这比说谎者悖论稍微多了一步：把知识知道的情况加了一个其它条件，大致推理是一样的。

说谎者悖论、罗素悖论、认知悖论中都有一个很奇特的、很明显的现象——指涉到自己。说谎者语句说自己是假，罗素悖论说自己不属于自身的集合，直接谈到自己属于自身；认知悖论又提到语句不被任何人知道，语句指明自己不被任何人知道。

似乎但凡谈到自身就会出现矛盾。实际上哲学文献中有一些学者给出不是直接自指而是间接自指，不需要自指也能导致类似说谎者语句的矛盾——雅布罗悖论（Yablo Paradox）

无自指悖论：雅布罗悖论（Yablo Paradox）

结构上由无穷序列组成的，不需要指向自身；不需要通过间接指向自身就能够得出一些悖论。但是，它有某种类似自指的结构，虽然不是直接指涉自身，是通过某种序列的结构还是指到了某个语句。有时间再来看悖论中是否有自指的现象。

图片解悖方案——禁自指

通过上面4个悖论，可以看到自指现象（self-reference）、自我指涉的情形在悖论产生过程中都起了一个非常重要的作用。如果不谈自身，比如说谎者语句谈到某个语句“张三说的话是假的”，或者罗素悖论说“这个集合属于其他某个更大的集合”。似乎都不会产生矛盾，一旦抛弃掉或者是消除掉自我指涉的因素，悖论就不会诞生。因此，悖论根源归咎在自指的情形之中。这也是自悖论诞生之初很多人注意到的现象，因此会从禁止自指的角度找一条消解悖论的方法。

雅布罗虽然不是自指，也不是环形结构（cyclic structure）。环形结构是a指向b，b指向c，c指向a构成的结构，不是直接指向自身，通过链条最后还是指向自己，我们也作为广义的自指现象来看待。

雅布罗悖论比自指和环形结构更宽泛一点，可以看成某种非良基结（non-wellfoundedness），因为语句后面有无穷多的语句跟在后面，可以看成是某种广义上的自指悖论，因为非良基奠基的结构用来解决悖论的很多方式和自指、环形自指中技术性手段是差不多的，这里也视为广义上的自指。

从禁自指这一直观想法出发来消除悖论，最有名也最有影响的思路是罗素自身提出来的。罗素觉得在罗素悖论、说谎者悖论、语义悖论中，他觉得都有一个共同的因素在起作用，他没有用“自指”，而是称之为恶性循环（Vicious Circle  Principle）。给出的表述是：任何涉及到某个整体全部内容或对象的个体自身一定不得属于该整体（Whatever involves/presupposes all of a collection must not be one of the colection）。

这句话听起来很哲学，很绕。事实上直观想法很简单。如果定义一个对象或者是谈论这个对象，要通过某个整体谈论对象a，a本身必定不能在整体之中，不能通过包含了要定义对象的东西再来定义它，就会构成恶性循环。

罗素当然觉得并不是所有的循环、自指都是会导致悖论出现，只是说有一些恶性的自指循环才会导致。恶性是怎样的呢？这就是他给出的一个判断标准：任何对象当你涉及到某个整体的时候整体中都不能包含自己，不然就会导致悖论出现。

关于恶性循环原则有很多从逻辑上，比如直谓主义、非直谓主义技术上的讨论，从直观想法、哲学辩护上有很多质疑。但基本上可以看出大致思路：不能笼统地谈一个整体，如果整体中的对象不加界定、不区分层次的方式来谈论就会导致像上面这种恶性自指的发生，这是背后最基本的想法。

主流的解悖理论都可以看作是遵循罗素“恶性循环原则”的思想。比如他自己提出的解决所有的悖论的“分支类型论”（Russell），即分层级去谈，就可以避免直接自我指涉。

当谈到某一类对象的时候，比如所有城市的集合，集合本身和城市不是同一个层级，应该高一层才对。当作为其他集合的元素构成集合的时候，集合又比你高一层。他的想法是比较有吸引力的直观想法，要用一层一层、从下往上逐步递进的方式构造对象和语言系统。

解决说谎者悖论的语言分层理论，由塔尔斯基（Alfred Tarski，1902-1983年）提出：我们不能笼统地谈论真，只能谈论某一个系统中的真，更高系统中的真，虽然都是同一个“真”，但其实是真1、真2、真3，有一个层级。解决集合论悖论的迭代集合观念（The lterative Conception of Set）：从空集出发、幂集一步步向上走，都可以看作是罗素“恶性循环原则”消解悖论的直观指导方法之下比较精细的技术化理论。

另外，当前最新的从图论(graph-theoretical)的角度来刻画悖论式指称结构也可以看做是VCP的一个新的发展。从图论角度不谈直接自指，更多地克服雅布罗悖论导致的现象——不能简单的分层，需要通过更精细的方式刻画。

图片悖论与反证法

我想讨论的是沿着另外一个思路看这些悖论，在这个思路下，自指现象不再是核心因素，自指虽然也在起作用，但真正悖论的东西不是由自指产生的。我们转换一个思路，直观的含义是每一个悖论之后都暗含着给我们一个启示。什么意思？如果有一个悖谬现象发生，那么肯定是某个地方出问题了，正好可以利用悖论的产生，通过反证法的方式消除掉之前某个隐藏的假设，正是这个隐藏的假设导致悖谬现象的发生。

反证法（Reductio  ad  absurdum）：P→⊥⇒﹁P

我们如果想证明一个东西不成立，就需要证明它可以导致矛盾，从P导致矛盾得出非P；也可以用归谬法，把一个东西归到谬误证明它不成立。比如欧几里得证明了存在无穷多个素数，怎么证明存在无穷个素数？我们没办法直接证明，因为如果真的有无穷，有生之年也列举不完。所以，我们只能用反证的方式证明它：假设只有有穷个素数，一定有某个最大的素数，a1、a2…an。我们构建一个新的数字m，令所有的素数相乘+1=m，会发现m一定是一个新的素数。因为如果不是新的素数，一定会被其中某一个整除。m是一个新的素数，那么就与假设矛盾，所以就可以得出结论：并非只有有穷个素数，也就是存在无穷个素数。

罗素悖论听起来特别绕，所以就发明了通俗版的罗素悖论——理发师悖论（Barber  Paradox）。

假设某村有一位理发师，恰给本村那些不给自己理发的人理发。那么，他应否给自己理发呢？如果给自己理发，他就属于那些给自己理发的人。按照他的原则，他应该不给自己理发。这就产生了矛盾；如果不给自己理发，则他属于那种不给自己理发的人，根据他的原则，他应该给自己理发，也矛盾。

他到底要给不给自己理发？这就陷入了二难境地。应该给自己理发，同时也不应该给自己理发，这就是理发师悖论。

有的人说：如果理发师是女性，她不需频繁给自己理发，或者用其他理由、一些比较巧妙的方式说这不是悖论，说明其不成立。真的可以消解掉这个悖论吗？并不完全是这样的。|

反证法和悖论都是推出矛盾的推理，反证法也要推出矛盾，比如证明无穷多个素数中，最后也会得出一个矛盾出来。但是，二者有重大区别，因为反证法有一个明确的假设，而悖论却似乎看不出有什么假设。从外观上看，反证法有专门讲述其假设的“头”和“尾”，而悖论则无头无尾。这个区分背后根源是什么？

从悖论与反证发的相似结构中，可以得出隐蔽假设原理的很重要的启示方法。隐蔽假设原理是文兰老师用来统一解释悖论一个重要的发现，也是方法论中最核心的一点。如果一个悖论是一个反证法掐头去尾的翻译，那么除了翻译，这个悖论与反证法有相同假设，只不过对悖论来说，该假设是隐含的。

每个悖论都可以看成是某个反证法对一个相同的形式。只不过反证法中似乎把头隐去，看不出头和尾之间的关系，因此造成一种谬误和矛盾的错觉。如果把隐蔽的假设找出来，其实会得出一个定理。

用一个例子重新看待一下，把理发师悖论表述重新表述，前面加上“假设”二字。假设某村有一理发师，恰给本村那些不给自己理发的人理发……，也矛盾。

你可能会说，如果根据悖论和反证法的关系，从假设出发得出矛盾，最后不应该直接下论断说假设是错的么，就没有矛盾了。特意加上“假设”使之变成反证法，似乎解决了问题，但这有什么道理吗？道理是有的，这就涉及到“康托定理”的证明。

康托定理

康托定理和理发师悖论的消解有直接的关系，这里涉及到一个“幂集”的概念，一个集合的所有子集组成的集合构成一个新的幂集（powerset）。

康托定理（1895）说的是：对任意集合X，不存在从X到其幂集P（X）的满射。直观地说，不存在从原集合（X）到幂集P(X)的一一映射，幂集一定比原集更“大”。有了这个之后，我们就可以通过取幂集不停地构造更大的集合。即便是无穷集合，取一个幂集也可以构造一个比无穷更大的集合，这样无穷可以分为不同的等级。

怎么证明幂集一定比原集更“大”？重要的是证明方法。我通过反证法，假设存在一个从原集合到其幂集的满射——f：X→P（X），构造出一个新的集合C=Cf=｛x∈X|x∉f（x）｝，新的集合在幂集中没有任何可以对应的原相存在。

新的集合，左边是元素，右边是由子集构成的东西。每个元素对应一个子集，都可以问元素是不是在子集中？因为子集是由不同的元素构成的。刚好把元素不在其对应的子集中的东西收集起来，就构成康托集。

得出集合之后，可以通过反证法方式证明C（康托集）不是任何元素的像，不存在原集合中的X，原集和X中任何对象不可能对到它。因为，假设存在z属于原集合，z对到C会得出一个矛盾出来。用康托定理的目的是为了更好的讨论理发师悖论。

康托定理与理发师悖论

我们重新比较康托定理与理发师悖论，给看似很形式化的康托证明一个“理发”解释：把X理解为村民的集合，f理解为“理发映射”，即对每一个村民x，f（x）是被x理发的那些村民的集合，即x的“顾客集”，对应每个理发的人。上述定理中集合C可以表述成：C=｛x∈X|X∉f（x）｝，看上去很形式化的东西，表示的是该村那些不给自己理发的人构成的集，而f(z)=C的意思就是z恰好给本村那些不给自己理发的人理发，故z就是悖论中所宣称的那位理发师。

更进一步对照康托定理与理发师悖论。存在z∈X使得f(z)=C(某村有一理发师，恰给本村那些不给自己理发的人理发)若z∈f(z).则z∉C，但C=f(z)，故z∉f(z)，矛盾(若他给自己理发，则他属干那种给自己理发的人。按照他的原则，他应该不给自己理发，矛盾)。若z∉f(z)，则 z∈C，但C=f(z)，故z∈f(z)也矛盾(若他不给自己理发，则他属干那种不给自己理发的人。按照他的原则，他应该给自己理发，也矛盾)。

推理一步步对应下去，会发现和理发师悖论中推出的矛盾过程一模一样。显然，理发师悖论就是用理发语言叙述的康托证明。为什么一个是定理，一个是悖论呢？

因为康托是在作反证法，前面还有“假设”二字，后面还有结尾句“这证明不存在z∈X使得f(z)=C”。用理发的语言讲，康托是假设本村有一理发师恰给本村那些不给自己理发的人理发，推出矛盾后立刻下结论不存在这样一个理发师。一切正常，一点也不“悖”。

而理发师悖论照搬了康托的反证法，却移去了开头的“假设”二字(以及最后的结尾句)，致使人们把该理发师的存在当成了事实，推理似乎就没有了假设，推出矛盾也就原因不明，成了悖论。

理发师悖论的真正解答是，村里那位“恰给本村那些不给自己理发的人理发”的理发师的存在只是个假设。理发师悖论的矛盾证明这一假设不成立即村里不可能存在这样一个理发师，是逻辑的而不是性别的原因使得这样一个理发师不可能存在。

用悖论恰好证明假设是不能存在的。如果头和尾加进来，会发现任何一个悖论都可以转化为反证法。重点在于把头和尾找出来。如果利用这个想法再去看之前说的几个悖论，可以更好的看出它们得出一个什么样的定理？

从悖论到定理——反证法

从隐蔽假设原理出发，我们再回过头来重新审视自指悖论。无论自指在日常语言中是否真正可能，在形式语言中我们可以严格证明某种意义上的自指的不可避免性。

因为存在一个所谓对角化/不动点引理(Diagonal/Fixed-Point Lemma):假设S是包含一定量算术的形式化理论，则对此理论中的任意谓词φ(x)，都存在一个语句中，使得Sψф([ψ])。也就是说，只要谓词或者属性在理论中表达出来，一定存在一个语句，这个语句说自己有那个属性。言下之意，只要语言足够丰富一定会存在一些自指语句，任何语言能表述的属性都可以说自己。比如语言可以表达是白色的属性，一定存在一个语句说自己是白色的，可能有点儿荒谬，但从形式上看是这样的。

如果借用对角化/不动点引理再去看之前的悖论会发现：如果把∅（x）解释为“并非真”，那么我们就会得到悖论式的说谎者语句:说自己并非是真的，说自己是假的。

从这个悖论出发，我们并不一定非要当做悖论看待，可以挑出隐蔽的假设是什么。隐蔽的假设是，可以把∅（x）解释为“并非真”。意思是“真谓词可以在形式化语句中被定义”。假设通过说谎者悖论的语句以及悖论推理的存在可以得出一个定理：“真谓词不能在形式化语言中、同一个语言系统中被定义。”因此可以得到塔斯基关于真不可定义定理(Tarski's undefinability theorem/1935)：任何足够强的形式算术系统都无法在系统内定义形式算术中的真概念。从说谎者语句悖论出发，假设挑出或者是没有隐藏的假设可以把悖论转换为建设性的定理。

同样的道理，如果把∅（x）解释为“不可知”，那么我们就会得到看似一个悖论式的知道者语句。

实际上，如果找出隐藏在悖论后面的假设，可以用谓词的方式来处理“知道”这个模态概念，可以归纳这个假设是不成立的。这恰恰是蒙太古定理（Montague’s Theorem/1963):。

蒙太古定理：在任何足够强的形式系统中若干模态概念（比如可知）都不能一致的用句法（syntactical）的方式来处理。要用模态算子的方式，不能作为谓词，对应每个悖论可以建设性构造出一个定理出来。

如果我们将∅（x）解释为“不可证”，那么我们就会得出著名的哥德尔语句（Godel  Sentence）。存在一个语句说自己恰好有这个属性，如果属性在系统中能够表达出来，根据不动点引理一定存在一个语句：G↔﹁Prou（|G|）。所以这个语句的直观含义是“我是不可证的”。那么它是悖论吗？

假设G是(在系统内)可证的，如果形式系统的可靠的(sound，凡是可证的必定都是真的)，那么G是真的，其所陈述的情形成立，即它不可证，矛盾。故G必定是不可证的，但这恰好是G所表述的情形，因而G为真。所以G是一真但不可证的语句。于是，从这个看似悖论式的语句出发，我们就可得到:

哥德尔不完全性定理(Gödel’s Incompleteness Theorem/1931):任何一个一致的包含一定量算术的形式系统中一定存在不可判定命题，它既不能被系统判定为真，也不能判定为假。或者更通俗的说，一定存在真但不可被证明的命题。

小 结：

悖论出现的方式是多样的，解悖方案也是层出不穷的。我们虽然可以给一个大致的统一的定义，实际上解决每个悖论的思想并不能找出统一的方式消解掉所谓的悖论。文献中有一些修改经典逻辑/修改经典语义，除了真假之外再研究第三值、第四值、第五值，层级的概念或者是概念进行分层，概念、语言进行分层。真要带下标：真1、真2、真3...语言有语言1、语言2、语言3。

从悖论与反证法的角度看，自指只是其中一个显明但不是很显著(manifest but not salient）的因素。虽然自指在导致悖论中起了一个重要的作用，但如果找出隐藏在悖论后边的隐蔽假设，是可以获得一个正面的收获。可以把悖论转化成某种形式上的定理。利用自指，自指反而起一个核心作用帮助我们获得定理，只是我们要更加仔细地甄别隐蔽在每一个背后的假设。

这一点不光是从形式上能够直接看出来的，因此需要对每个不同的悖论都进行一个不同的处理。

参考文献:

1. 陈波，“悖论研究”，北京大学出版社，2017年;

2. 陈龙，“关于说谎者悖论句变元理论的几点评论”，《逻辑学研究》，2022年第2期，21-28;

3. 文兰，《悖论的消解》(第二版)，科学出版社，2019年;

4. 文兰，“说谎者悖论的隐蔽的假设”，《逻辑学研究》，2022年第2期，1-20。

5. R.M.Sainsbury,Paradoxes(2nd Edition),Cambridge University Press,2008

嘉宾讨论

@陈敬坤：

非常感谢陈龙老师的精彩分享。报告非常清晰，虽然涉及到逻辑上技术性的细节，但整体结构和观点是非常清楚的。讨论之前，我稍微用一点点时间和大家一起回顾一下陈龙老师的报告，说的不对的地方请陈龙老师提出来批评指正。

陈龙老师首先介绍了一本奇书——侯世达的《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》。这本书很有趣，很生动地介绍了哲学、音乐、绘画领域当中都出现的一个有趣现象——自指现象。

我记得这本书特别谈到巴赫的《卡农》（Canon），其中有一首称之为“螃蟹卡农”，经过若干变调之后又回到最初的音调。这首曲子可以无限循环播放，听起来没有任何不连贯的感觉出现，也是很有趣的现象。

通过这样一个引入，我们可以看到关于悖论的出现，陈龙老师的报告中也清楚地表达出来了，我们运用一些公认的推理规则，得出反直觉的，甚至矛盾的结论。具体来说，从一个命题假定其为真可以得出它的假；假定其为假又可以得出它的真，这就是悖论典型的形式。

陈龙老师又介绍了悖论的分类，比如真实性悖论、谬误悖论、矛盾悖论。严格来说，真实性悖论和谬误悖论都不算严格意义上的悖论，如果熟悉哲学史，我们应该都知道古希腊哲学和中国哲学当中都有类似的悖论，比如飞矢不动、爱基里斯追不上乌龟等等。

第三种是严格意义的悖论，它从公认的前提出发，按照正确的推理规则得出P且非P的矛盾情形情况，这种悖论也有不同的类型，比如语义、认知上的，以及其他的悖论。陈龙老师的报告主要是关注“自指”导致的悖论，说谎者、罗素悖论都是具有这样一种形式。

解决这种悖论的方案最典型、最主要的方式是消除自指，既然悖论由自指导致，禁止自指悖论就消解了，可以通过逻辑形式化的方式达到这样一个目的。

当然，这一解决方案的前提是要把悖论产生的原因机制归结自指。陈龙老师的报告中提出了非常不同的解决方案，从另外的角度来看，悖论的原因可能会有不同的一些结论。陈龙老师通过康托集合悖论的细致刻画，给出理发师悖论的例子，通过两个情形的对比发现理发师悖论中隐藏了一些假设。如果把隐藏的假设揭示出来，并消除这样的假设，就会发现理发师悖论的出现除了自指的原因之外，还可以从另外的角度来看，这个悖论恰恰表明了理发师悖论中假设的理发师事实上是不存在的，从而给出了解决悖论的新的方案，非常具有启发性。

下面进入悖论讨论的环节，邀请到两位嘉宾与我一起对陈龙老师的分享进行回应并展开讨论。

有请讨论嘉宾：南京大学哲学系及艺术学院教授艺术生导师殷曼楟老师，中央美术学院人文学院副教授、美术史博士张晨老师。首先有请殷曼楟老师对陈龙老师的分享做一个评论或者说回应。有请殷老师。

@殷曼楟：

我看过陈龙老师写的一篇关于“说谎者悖论”的文章，刚才您谈到认知悖论，解释理发师悖论时，我想到文章中谈说谎者悖论提到有一个隐蔽的假设原理。之所以形成悖论是由于里面隐藏了一个假设，悖论的呈现是让假设得以让人看见、让人发现，不知道我的理解是不是恰当。

@陈  龙：

核心观点是这样的。

@殷曼楟：

我觉得很有趣。因为您讲到罗素悖论假设的时候，比如理发师和理发师不给自己理发的这些人理发，您指的是集合问题，分属于不同的集合。认知悖论、知道者悖论中“这个语句不被任何人所知”这句话，这个悖论产生的主要问题是“这个语句”和后面的“不被任何人所知”是两个层面、两个层次的东西。在语言的表述中压到了一个语言的叙述序列里，所以会产生这个悖论。我认为这恰恰可能是一个问题。

您在书里谈到埃舍尔的画，我立马反映过来也是埃舍尔的“视错画”。您说到隐蔽假设原理，就像“这个语句不被任何人所知”一样，它所规定的原则本身是两个层面，但在表述中压到了好似一个层面上。

埃舍尔的绘画中也呈现出一个东西，绘画里包含了透视法规则。同时，在绘画过程中又把透视法的原则本身呈现出来了。关于叙述的“叙述”呈现出叙述的策略，您说的悖论也是这样一种策略。我不知道我的理解是不是对的。

@陈  龙：

谢谢殷老师的评论。您能看到画和自指语句中共同的点，觉得有一个层级上的区分，这句话看上去是在表达同一个东西，实际上有两个层面的东西在里面。比如罗素很多想解决说谎者悖论共同的或者不仅限于自指语句背后共同的想法。看上去是说的一句话，实际当我说这句话怎么怎么样的时候，是站在另外一个层面。借用到罗素说的恶性循环原则，当谈论一个整体、一个其他东西有什么性质的时候，自己不能把自己放在整体之中谈论。这样就会造成悖论式的现象发生。

有很多主流的，比如塔尔斯基（Alfred Tarski）解决说谎者悖论也是把语言分成一层一层的。在罗素那里，这个语句是不可能被知道的，他指的语句和本身不一定在同一层，一定是指之外的一个东西。所以不会导致自己又不被知道又被知道，被知道的东西和不被知道的东西不是同一个东西，所以就消解掉了。

通过区分层次确实是解决悖论的一个方法，把一个平面的东西拉开，如果能看出之间层级区分就能够消解掉，某种意义是很成功的消解悖论的方式。有一些语句通过分层级消除掉，但是还有一些日常语言中谈论使用的语言并没有那么直接，没有人会意识到它是第几层，表示其它的什么东西，似乎不需要通过分层级就能够理解，同样一层自指现象也是有的。

很多解悖方案都是这样，确实能够克服掉这个东西，但是要看克服矛盾所付出的代价有多少？如果像罗素的恶性循环原则，大家觉得需要付出的代价有点儿高，有的时候还是允在许同一层面谈自己的东西。不能因为出现了悖论就说这个东西有问题，如果没有出现悖论就认为没有问题，采用双标，这是大家对他这个方案有一点点诟病的地方。当然也不能说它是错的，它确实解决掉了一些悖论，没有任何一个解悖方案从技术角度是无懈可击，肯定要付出某些代价。

您类比到埃舍尔那幅画上，我觉得是挺有意思的，《瀑布》利用的是大家的视觉误差、透视法的一些原理。像说谎者悖论一样，利用的是大家对语言没有那么细心，没有精细地感知到中间的层级差别，看上去是同一层的而导致悖论，确实是共同点。您的想法很准确，有很多很主流的方案按就照这个思路来的。

@殷曼楟：

您说从逻辑语言表述角度发现悖论，我觉得这里存在着一个限定范围。逻辑语言追求表述的准确性、精确性，悖论才会在这样的追求中成为一个悖论。如果一个人习惯了看普通透视法的绘画，看到埃舍尔的绘画会突然为之一震，埃舍尔其实是通过呈现悖论的状态生产出了新的意义。这个意义恰恰是绘画特别有价值的部分，绘画或者艺术追求恰恰是和逻辑语言追求有一定的差异。埃舍尔的《瀑布》比《手画手》更让我有惊奇感。

在《瀑布》中，我觉得这就是一个楼梯，再琢磨一下才能意识到悖论的东西。在这个过程中，才意识到最后是由于遵循某个规则。这幅画呈现出悖论的过程中，其实是告诉我们，我们是按照某种规则和认知方式去看画的。这样，反而新的意义能够不断地生产出来，这是很有趣的一个问题。我看到这样一幅画会突然之间精神为之一震，因为它是打破某种按照原本规则预期的东西。

@陈  龙：

您这个点我很赞同，逻辑悖论某种意义上挑战的是大家的逻辑直觉。比如罗素悖论、说谎者悖论，我们对这些概念是知道的，知道它的规则，直到悖论突然以很令人震惊的方式出现之后，会觉得原来有一些东西是忽略掉的，需要多给一些思考，把之前被忽略的、我们背后的东西呈现出来。悖论其实不是一个灾难性的东西，而是帮助我们揭示隐藏的假设，看到另外一种角度或者眼光看不到的东西，这也是艺术作品的阅读意义和逻辑悖论能够带给我们一些有创新的一面。我们通常谈到逻辑思维可能是禁锢性的、囚禁想象力的。但这一点是有一个启发式的功能，跟艺术有一些相似之处。

@陈敬坤：

非常感谢殷老师的评论和提问。接下来请张晨老师对陈龙老师的分享做一个评论和回应，有请张老师。

@张  晨：

谢谢陈老师。刚才我非常认真地学习了陈老师的发言，对自我指涉的问题非常感兴趣。我试着从我熟悉的领域对自我指涉问题做一个回应，从几个角度展开。

在绘画中，也有一个非常著名的概念：“自我指涉”的绘画或者元绘画（Metapaintings），是指“自己指涉自己的绘画”、“关于绘画的绘画”、“画中画”，也充满很多悖论，我试图举一些例子讲。

为什么叫“元绘画”（Metapainting），在形而上学上，Meta有一种超越、向上的意思，元绘画也是一种绘画的形而上学，通过绘画的自我指涉讲绘画是什么的问题。很多元绘画是关于绘画是什么/绘画的起源。

老普林尼（Gaius Plinius Secundus）在《自然史》（Natural History）中讲过一段著名的故事：“古希腊柯林斯的少女在她的情人要远征的时候，前一天晚上对着墙上的倒影画上了史上第一幅画。”这样一个故事出现在艺术史的很多绘画中。

瓦萨里 《绘画的起源》 1573年

比如瓦萨里（Giorgio Vasari）的《绘画的起源》就是对这个故事的传承或者是再创作，这是典型的自我指涉的绘画。“绘画中的绘画”到底哪部分是画，哪部分是现实？绘画和现实之间的边界到底在哪儿？充满了一种悖论。

除了老普林尼绘画的起源之外，还有一种说法来自古希腊神话，文艺复兴时期的理论家阿尔贝蒂(Alberti, Leone Battista)在《论绘画》中也引用了这个神话——纳喀索斯的故事。

当美少年纳喀索斯看到水面中自己倒影的时候，第一幅绘画诞生了。卡拉瓦乔、科西尔斯等很多17世纪的艺术家都有对于纳喀索斯的描绘。通过描绘纳喀索斯对绘画作品本身进行自我指涉，回答绘画是什么，回答绘画起源的问题。

前面是元绘画，扩展到大众领域，有米歇尔(W.J.T.Mitchell)所说的元图像（Metapicture）。

委拉斯贵兹 《宫娥》1656-1657年， 现藏于马德里普拉多美术馆

最著名的元绘画是委拉斯贵兹的《宫娥》，米歇尔也在他的图像理论中引用福柯在《词与物》对于《宫娥》的论述。《宫娥》被米歇尔称为Meta-Metapicture（元-元图像）。

在福柯的论述中，《宫娥》也充满了“可见与不可见”的悖论，委拉斯贵兹到底在《宫娥》里画什么？委拉斯贵兹把自己画在《宫娥》里竖起一个画布，画布上画的又是什么？这幅画到底存不存在？是不是画国王？还是画公主？各种各样的谜团都以一种可见与不可见的悖论的形式存在，对福柯来说，这是一种再现绘画的虚空，也预示后来他所说的“主体之死”、“人之死”这样的命题。

《宫娥》保存在普拉多美术馆（(Museo del Prado)），这个美术馆曾经做过一场“元绘画”展览（元绘画：通往绘画的理念之旅），因为它有非常丰富的藏品来做这样一个元绘画展览。艺术史中有很多这样的Metapainting，比如格列柯（El Greco）的《圣维罗妮卡面纱》（The Veil of St Veronica，1580-82）到底是基督还是基督的画像，还是基督的圣像，还是基督本人？充满了一种悖论。包括在一些世俗绘画中，用画廊的形式。

格列柯《圣维罗妮卡的面纱》（The Veil of St Veronica）1580-82年  布面油画  51 x 66 cm  ， 私人收藏

“元绘画”展览中的海报，用的是皮雷-博雷尔·德尔喀索的《逃离批评家》，也让观众分不清是画内还是画外。

电影《利刃出鞘》截图

我还想到一些比较有意思的，比如元电影。《利刃出鞘》（Knives Out）这部电影里就出现了《逃离批评家家》这幅画，女主人公打开这幅画、这扇暗窗又进入案发现场。元绘画也进入到元电影，共同囊括在元图像概念之中。这部也是关于电影的电影，是嵌套结构的电影。

还有元雕塑，皮格马利翁是希腊神话中的一个雕塑家，他不喜欢凡间女子，用神奇的技艺雕刻了一座美丽的少女像，并把全部的爱恋都赋予了这座雕像，分不清是现实还是艺术，分不清是作品还是真人的这样一个故事。杰罗姆和玛格利特都有类似的作品。

马格利特的《这不是一只烟斗》更是充满了悖论，也是被福柯和很多学者充分讨论的关于绘画的绘画。

恩斯特 《超现实主义绘画》1942年，私人收藏

恩斯特（Max Ernst）跟玛格利特是同时代的超现实主义艺术家，他的《超现实主义绘画》这幅画画的是正在作画的艺术家，艺术家在画中作画，就像委拉斯贵兹在《宫娥》中画他的作品一样。超现实主义非常直接地影响了抽象表现主义，从欧洲到美国，这幅画中正在作画的艺术家也很像是抽象表现主义艺术家波洛克的绘画。

从这个意义上，抽象表现主义、波普艺术，包括新达达主义的贾斯博·琼斯的现当代艺术作品都可以称作是元绘画。

我想谈的另外一个问题，也是想跟各位老师指证的问题：美国批评家与艺术史家格林伯格（Clement Greenberg）通过对康德回溯，把对现代艺术、前卫艺术的自我批判梳理出一段现代艺术的发展史。从他的自我批判，绘画艺术不断自我指涉、不断自我批判、不断回到艺术形式本体与媒介自身的理论体系里，所有的现代主义绘画都可以被称为元绘画。所有现代主义的绘画要么是呈现作画的过程，要么呈现未完成的绘画感，要么呈现对于画法、透视法再次研究。所以，现代主义绘画都可以称为是自我指涉的元绘画。

我又想到另外一个问题：现代主义艺术史也遭遇到自己的困境，遭遇到像杜尚的《泉》这样的悖论，丹托（Arthur C Danto）对于安迪·沃霍尔《布里洛盒子》苦苦的思索，希望解决现代主义自我批判、自我指涉逻辑的困境。

法国哲学家德勒兹在他《差异与重复》的“思想形象”章节，从对康德的批判、反思中发展出差异与重复的理论，在德勒兹看来：康德式的、笛卡尔式的、传统形而上学式的思想总是以一种独断的形象进行思考。

德勒兹引用了戏剧学家阿尔托（Antonin Artaud）非常著名的主张：能不能朝向一种无形象的思想？能不能朝向一种抽象机器的运作？能不能唤起一种思想的差异与重复的力量？以此让康德、格林伯格这种自我指涉、自我批判的艺术理论也有能力批判自身，有能力思考自身，有能力展开真正的思考。

德勒兹用“图表”（Diagram）对康德的“图式”（schema）做了一个颠覆，并把这种颠覆非常具体的实现在对于艺术的论述里，包括培根的绘画、戈达尔的电影，在《千高原》还专门有一章“迭奏曲”（Refrain）。这种实现是一种辖域、解辖域、再辖域相结合的生成运动过程。他谈论的艺术不是完全枉顾逻辑、完全逃离结构、完全逃逸的状态。

保罗克利 《鸟鸣机器》 1922年 ，纽约现代艺术博物馆

恰恰相反，德勒兹的很多书都叫做“意义的逻辑”、“感觉的逻辑”，都是在跟结构发生关系，都是遇到一种边界、遇到阻力之后产生一种反作用力，再呈现一种力的强度运动。这是德勒兹对于艺术从自我指射、自我批判走向一种自我创造的理解。

所以在德勒兹看来，艺术一方面是一种力的差异与强度的创造；另一方面这种力的作用需要有一个结构、需要跟逻辑、需要跟体系不断地发生关系才能实现不断生成、循环往复的永远处在过程之中创造的运动。

我简单从这方面做一个回应，希望三位老师多多批评指正，谢谢！

@陈敬坤：

非常感谢张晨老师的分享，张晨老师从艺术史的角度为我们展现了涉及自我指涉方式的元绘画。从某种意义上讲，现代主义之后的创作在自我批评角度上都算作一种元层次上的绘画，包含绘画自身的深度反思。张老师也谈到以德勒兹为代表的欧陆思想家对于艺术理论的反思。

接下来进行自由讨论。通过殷老师和张老师的分享，我也有一点感想。自我指涉的现象在绘画、音乐、哲学当中都有大量的体现，但这种自我指涉导致的结果在各个领域中不太一样。在哲学、逻辑领域中会导致不同形式的悖论，比如说谎者悖论、理发师悖论等等。

在绘画中也有不同的体现，殷老师和张老师都谈到由于透视法的运用导致视觉上的错觉现象，比如埃舍尔的《瀑布》。也有一些并不是由于透视效果，比如像画手的那幅画，虽然也包含一些透视原则，但更类似语义上的悖论。运用透视原则导致的视觉错觉效果，更类似语形上导致的悖论。可以看出中这其中的确存在相互呼应的、深层结构上的类似之处。

在生活中，也有很多其他的悖论表现形式，但严格来说并不能算作是悖论，比如经常谈到的伦理学困境，更多表现为二难的形式，比如我们都熟悉的叉道车的伦理困境。我们也常常反思逻辑上的悖论、哲学上的悖论在日常生活中会带来怎样用处、意义？悖论对于普通人有什么样的意义？生活当中会不会遇到一些悖论的情形？各位老师可以回应一下。

@殷曼楟：

我想回到张晨老师举的元绘画中自我指涉的例子，对于艺术，尽管悖论不一定完全都是自我指涉提供的，但是自我指涉是非常巧妙的技巧，它能够揭示出悖论、呈现出悖论，从而让我们注意到本来不可见的那个规则、先验的前提、或假设的东西。从现代艺术的发展来看，这是一个非常重要的创造性产生的应激点。

张晨老师也提到米歇尔的图像理论以及语图关系问题。比如福柯对《宫娥》的解释，为什么画家想把自己画进去？为什么要呈现出他绘画的过程？很重要的前提性意识是对原本传统规则的打破——我意识到了我所采用的媒介，这就是现代艺术创作最重要的媒介意识！

我们假定像埃舍尔画手一样，就是想在纸面上画出一个逼真的手，这个时候的目的只是再现或者是模仿出逼真的手。但是，按照格林伯格理论中现代艺术的发展，在这个过程中再现手段成为我们追求的本身。画家意识到再现采取的策略、遵循的隐含规则是什么，意识到了媒介本身是什么。这个基础上，当我们意识到这些假设的时候，就能够开拓出新的创造性方向。

维米尔《绘画艺术》（The Art of Painting）1668年，收藏于奥地利维也纳的维也纳艺术史博物馆

因此，画家会把绘画过程，比如维米尔的《绘画艺术》（The Art of Painting）这幅画，就把他的绘画过程放进去了。埃舍尔绘画的时候是把绘画原本遵循的传统原则放进去了。

玛格利特的《这不是一支烟斗》，通过“这不是一支烟斗”这句话指明了这不是一眼看过去以为是烟斗的实物，而只是一幅画在画纸上的画，通过几层的叠套，不断地在意义层叠之中感觉到意义不断生成的过程，在语言和图像对话过程中形成了不断地解谜过程，因此有不断的意义生产过程。

对于悖论来说，这对逻辑的追求会带来极大的困难。但是它对于艺术创作的可能则带来了新的生发点，而且这个创新策略和当代的意识也是有关系的。

您抛出来的日常生活中的悖论问题，我还真的一下子想不到，因为日常生活中有太多被潜在的假设习以为常所遮蔽的东西。我认为这是很多的，我们需要了解到日常规则背后谁制定了规则，规则究竟是怎么制定的，如何约束了对于未来事态的预期。

@陈敬坤：

感谢殷老师。陈老师有要回应的吗？

@陈  龙：

感谢两位老师的评论，尤其是张晨老师准备了这么多的绘画作品，我从我理解的角度谈一下。您在展示中提到最重要的是所谓“突破差异以及创造力”的问题，也是殷老师和张老师一直强调的。

逻辑学家可能喜欢从差异中看到同一的东西，要找规律、找结构；艺术家是在同一中看到差异，差异性的东西反而是创造之源。从我的角度理解，自指某种意义上可以看成是创造力的一个边界，比如“不动点定理”初衷是给定一个集合，给定一个东西，通过某种方式不断扩大，像函数一样给你一个x不停地增加，增加到某一点会发现增加不动了，这就是逻辑学上的“不动点定理”。所以“自指”形成的，指涉自己不是经常很轻松的达到自指现象的，逻辑上完成真正的自指是要在很少见的不动点里边，X才能指向X自身。

达到不动点的过程可以看作是一个创造性过程，再往前走就走不动了，所以自指某种意义上是在往复、往前、扩张的过程中达到的边界，在不动点或者自指现象就会出现悖论式的现象。达到边界点之后，没法通过之前所有的手段和方式不断扩展，就会在特殊的点中有奇特的性质。不动点可以看作是创造力达到极度丰富化之后没法再用之前的手段扩张的一个方式。

在逻辑里，很多用自指是为了证明某种特殊东西的存在，我们只需要有那么一个自指的点存在就行了，真正长什么样我们不知道，是非构造性的，只是知道有什么性质。但在艺术中，不能这么抽象的断定只存在那么一个东西，需要给出一个更加具象的表现。

我很好奇会通过哪些形式把自指方式表达出来？比如语言中有“这一个语句”，可能不是特别严格，也可以用其他更加具体的手段，比如“什么时间，谁正在哪个房间说了某一句话”，通过详细的描述指出来。

在艺术中，不管是绘画或者是音乐，有没有更丰富的手段？作者不是直接把自己画进来，而是用更加巧妙的手段表现自指的结构？因为自指看上去是简单能达到的东西，但是逻辑里是某种努力之后得到的很艰难的点。

敬坤说到日常生活中的悖论，这可能是形式逻辑，形式逻辑的悖论就是矛盾（P并且非P），但在生活中，我们经常会说自己陷入到悖论式的处境，但其实并不是严格的悖论，比如有两个选项——A和B，只是A对我来说不是好的东西，B对我来说是好的，会陷入二难，但不是严格意义上的矛盾处境，只是二难处境。能否用处理悖论的方法帮助处理生活中的二难？我不知道，但形式化工具肯定需要更加精细。比如《决策论》会从干预角度看，比如哪个行为角度预期收益更大，只能通过不那么精确的概率方式帮助做出更好的判断。也许消解矛盾过程中的手段和方法能够在那个方面起到一些作用，但并没有那么直接，解决悖论更多看上去像是一个理论问题，是一个纯粹出于理论需求的东西，跟日常生活的关联度有多大？我觉得不是很容下判断的问题。

有一些研究动态信念、动态决策的过程会考虑这种行为，我不考虑主体的所有的动态，会在不断前进、不断动态变化过程中看如何修正自己的信念。比如出现了一个矛盾，那我放弃掉之前持有的某个观念就行了。具体怎么放弃，放弃哪一个？我们讨论悖论中的有些方式也许能够有一些帮助。

@陈敬坤：

感谢陈老师。我个人感觉，悖论对于普通人而言很重要的意义在于——殷老师和张老师都谈到了——向我们提示自我反思这个事情有多么重要。

悖谬的地方在于自我反思使用的理性是有限的，这一点在康德的“二律背反”中已经很深刻地揭示出来。黑格尔对康德有一个很有名的批评：我们在使用理性之前要对理性的能力、使用范围做一番考察，这就像要在下水之前学会游泳一样，是不可能的。对于自身理性能力的反思到底是不是可能？这是一个很严肃的哲学问题。

在认识论上也有类似的状况，怀疑论对于哲学认识的挑战伴随着哲学史的发展一直存在。怀疑论面临最经典的一个挑战是：怀疑到底是否可能？怀疑一切是否可能？怀疑能否怀疑自身？

晚期希腊哲学关于怀疑论引起的争论中已经包含类似于消除自指的方案，比如学园派的讨论当中已经提出怀疑不包含自身，也有一些其他的方案，类似后期维特根斯坦谈到的怀疑仅仅是一种态度，达到这样一个怀疑之后就把怀疑本身扬弃了。

此外，政治哲学领域中，柏拉图“理想国”的设计，试图让哲学成为一种城邦统治的力量。但是，柏拉图意义上的哲学成为城邦中的统治思想之后，哲学本身就可能成为一种暴政。类似的，在我们的生活当中也会遇到很多因为理性本身或者规则本身导致的各种悖谬的情况，可能也应该借助理性本身的规则和力量进行更深层次的讨论。我们的问题到底出在哪儿？能否提供解决方案？借助悖论进行反思是很有必要。

观众问答

问题1：被消解的悖论是否能够被看作反证法的一部分？

@陈  龙：

当然是反证法的一部分，反证法和悖论都是推出矛盾的推理，反证法的不同是之前明确把假设拎出来。有了假设之后，中间的悖论推理一直存在。只不过有悖论之后再下结论，假设前提不成立，是在隐含的假设下进行推理，这样就可以用归谬的方式说之前的假设不成立。悖论变成反证法主体部分，起到建设性的、正面的作用。

问题2：埃舍尔的作品更多的是强调视觉错觉还是自指与悖论？

@ 张  晨：

陈龙老师刚才问到关于绘画自我指涉的针对性，也跟这位观众提的埃舍尔的问题做一个勾连，也跟殷老师的总结概括也很有关系。

理解一件绘画作品还是要放在艺术史背景、上下文语境中，为什么《宫娥》这样的作品出现在17世纪其实有一个历史背景，因为文艺复兴时期艺术家的地位提升、艺术学院建立，很多有关绘画和艺术的教学法则和再现的秩序被建立。

埃舍尔的作品也需要放在这样的语境中看待，20世纪的艺术家有了一种自我意识，有了自由艺术的自觉性，对于怎么画、用什么方法画、用什么技术、用什么再现的秩序、用什么范式画有了一定的思考，通过画一幅画展开艺术家作为主体对于“怎么画”这个问题的思考。这是我以艺术背景的角度去回答这个问题。

@殷曼楟：

埃舍尔确实是自我指涉悖论非常好的例子。作为一个旁观者，我觉得视觉错觉和自指与悖论都很好的结合在他画作的创作手段里，因为这两者不矛盾。

从埃舍尔的画来说，它给出了一个大体上是符合透视法的视觉线索，让我们看到这个东西。贡布里希关于秩序感的讨论里特别谈到一点：在绘画作品中一下子看到什么，比如一下子看到了一只鸭子或者是一只兔子之类的，其实是视觉中断检测仪在起作用。可能画面给我们的视觉形象并不是特别完整的线索，里面有一些差错，但由于我们脑子里有了一个先见的概念，所以看过去的时候可以一下子忽略掉所有违和的部分，看起来很别扭的部分就会被忽略掉，比如我们可以一下子在埃舍尔的画中看到楼梯。这就是我们之前的认知方式、自觉方式在引导我们。

埃舍尔为什么要把错觉呈现出来？他有意让我们在观看过程中意识到误差的、错误的视觉线索是存在的。我们按照透视法的预期，本来应该看到的东西一下子就不一样了，出现了悖论性的景象。这个时候，视觉中断检测仪就起到相反的作用，揭示出我们其实是按照透视法的方式看画的。在这样的画里面，透视法再现图式策略的使用，以及不断指涉指出使用的是这种策略本身形成了回旋式的自我指涉的关系。

我们看到的各种各样有意的画出一个逼真的东西，但又让你意识到不是真正逼真的画，而是告诉你只是一幅画而已，视错画法是很经典的一种自我指涉的策略的运用。

还有一种策略上的运用，张晨老师刚才指出的玛格利特的《这不是一支烟斗》。埃舍尔是用画、用图像呈现出悖论，而玛格利特采用的是语言和图像的关系指出了悖论，这也是特别精巧的自我指涉的手段，比埃舍尔的视错觉画更具有策略性，思维编织的效果更强。

@陈敬坤：

我个人感觉埃舍尔的画应该是超越了视错觉这样一个简单的层面，应该是非常自觉的、有意识的表现感官或者理性表现出来的局限性。

埃舍尔《画廊》

除了视错觉的画之外，他还有很多寓意很深的画，比如《画廊》这幅画，完全可以用卞之琳著名的诗《断章》作为注脚：“你在桥上看风景，看风景的人在桥上看你。明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。”

还有一些画表现了逻辑学中的连锁悖论。比如“秃头悖论”，拔一根头发不能算秃，拔两根也不算，拔到多少根才能说这个人是秃头呢？很难说。埃舍尔的版画里面也有类似的表现。一幅长画卷，从左边起始部分开始，每一步做一些很小的改变，到后面的某个部分跟初始的部分完全不一样，再经过同样的细微变形又回到最初的状态。这些画作完全可以看成是哲学、文学当中的连锁悖论在绘画上的表现。

问题3：含有自指特征的悖论和芝诺悖论、康德二律背反的差异在哪里？或者他们属于同一类吗？

@陈  龙：

用奎因（Quine）的划分比较明晰，比如芝诺悖论、康德二律背反明确地告诉我们结论是错的，他们的目的是要我们找寻推理中的谬误，严格意义上并不会对我们造成困扰。用一个比喻性的说法是，我们知道那里有一个问题，不知道问题在哪里，但可以慢慢找出来。而在芝诺悖论中，我们甚至连问题在哪里都看不到，那可能叫做矛盾。更多的悖论是像芝诺悖论那样的，但到底有没有一个截然划分？现在看来是矛盾的东西，若干年后可能会成为思维中公认的，比如“罗素悖论”，有人说一百年前集合论是悖论，但现在集合论在学者看来是很自然的东西，只是消除掉之前的偏见和谬误而已。

问题4：是不是包含否定性的自指就会导致悖论？

@陈  龙：

不是。比如我现在陈述的这句话不是英语，否定性和肯定性并不都是决定性因素，可能有其他更复杂、更整体的结构才会导致悖论。

问题5：悖论的表现方式、表现手段、表现媒介、局限性是不是也是导致悖论产生的主要原因？

大家有想法都可以谈，刚才也谈到绘画当中通过透视法、通过一些方式来表现，这些表现方式本身局限性是不是也是导致产生困难或者是产生矛盾、产生悖论的一个重要原因？

@殷曼楟：

我没法给出一个比较符合逻辑学的理解，只是给出我自己的理解。无论是绘画或是陈龙老师给出的那么多的语言表述，都是在某个框架内去创作、表述的，其实这已经隐藏了对某个规则的遵循。既然是一个规则，它就有一个限定的使用范围，所以当我们在使用、去创作的时候，不管是有意或是无意，如果我们打破了限定的范围，悖论肯定会出现。

刚才陈龙老师讲认知悖论的时候，他举的例子是“这个语句不被任何人所知。”他当时给出了一个逻辑学的理解。我在看这句话的时候当时的理解是，这句话要分为两个层次：“这个语句”可能是指更加具体的内容，比如像绘画画出一个苹果之类的内容。“不被任何人所知”，这就是语言陈述的序列。在表述这句话的时候，我们总是想遵循一个叙述规则和层次来写，但其实写的过程中却有意无意越过了规则，这个过程中悖论会出现。从我个人理解上来讲，悖论产生于规则与反规则同时出现之时。

我觉得这句话就是在指这两个方面，“这个语句不被任何人所知。”这就是一个语言的叙述，但是“这个语句”本身不符合这个叙述。我们讲悖论的时候，硬是把句子规则纳入到叙述规则里去，所以才成为悖论，如果换一个更加具体的语境，假定我们商量了一个秘密，在这样一种具体语境中，“天知地知，你知我知”根本不构成悖论，因为这个语句是什么是有明确所指。自我指涉的绘画也是很巧妙的运用了思维的误区，当然这是我自己的一个理解。

@陈敬坤：

谢谢殷老师的分享，非常精彩，我最后再做一点补充。

大家谈了很多自指悖论在绘画中的表现，在音乐中其实也很有趣。在侯世达《集异璧》中也重点谈到一个很重要的曲式《卡农》（Canon）。

Canon在希腊文当中原本的意思表示的就是规则（rule），在英文当中被理解成“accepted  rule”接受的规则（公认的规则），主要是音乐中用来描述声音之间相互关系的规则，所以巴洛克音乐当中Canon是一种非常重要、非常基础的曲式。简单来说，《卡农》的特点是一个单一的主题，加入不同的声部作为这个主题的副本，加入速度的变化、音调的变化，可以有更加复杂的形式。《黄河大合唱》这样的合唱中就经常用到这样的技巧，我简单分享这么多。

最后，非常感谢陈龙老师的报告，感谢殷老师和张老师两位老师精彩的分享，给我们带来了艺术的体验，给我们带来了哲学的反思。