引言

二叉堆的实现见：Java中的优先队列——二叉堆

索引二叉堆又称为最小索引优先队列。它的特点是堆元素位置不变。

保存堆元素的数组不变，即不交换数组中任意元素的位置。利用一个额外的指向堆元素下标(或索引)的索引数组(pq)来代替它进行交换，同时为了操作方便，再维护一个pq的翻转数组(pq中的值作为新数组的索引，索引作为新数组的值)。

文字看起来有点懵就对了。我们直接看它的结构。

数据结构核心原理与算法应用

结构

假设我们按{4,2,3,1,6,5,7}的顺序插入，并且一旦插入结束之后，不会交换元素的位置。我们又想进行取堆顶元素等操作，怎么办？
可以新增一个特殊的数组(pq)来维护keys数组的索引，根据keys数组中元素的大小移动pq数组的位置。使得可以通过pq[1]得到最小元素。

pq维护的是keys数组的索引。因此pq[1]的值一定是keys数组中最小值的索引，上图中最小值为1，其索引为3。因此pq[1] = 3。
那么取堆顶元素可以：keys[pq[1]]。

当构建完成索引二叉堆后，pq的结构如下：

pq相当是二叉堆对应的数组，按惯例，该索引从1开始。不过，这个数组中的元素不是堆元素的值，而是堆元素在keys数组中的下标。

pq和keys的关系如下：

其实很简单，pq的值指向keys中对应的下标即可。因此，我们就可以根据keys中相应值的大小调整pq数组来达到使keys数组满足堆序性的目的。

索引二叉堆中还有一个特殊的翻转数组。翻转的就是pq，我们命名这个翻转数组为reversed。
pq中的值作为翻转数组的索引，索引作为翻转数组的值。根据上面的例子，其翻转数组如下：

就是将pq中下标和其对应的值翻转了一下得到的数组。

为什么要这个翻转数组呢，其实它只是一个辅助数组，比如我们要得到keys数组索引5(keys数组的索引称为关联索引)在pq中对应的索引。那么就可以通过reversed[5]得到。该值为6,而pq[6] = 5 。

总结一下，它们之间满足这样一个等式：pq[reversed[i]] = reversed[pq[i]] = i 其中,i为keys数组的索引。

理解了这个结构，再去理解它的实现代码就不难了。

代码

package com.algorithms.heap;import java.util.Arrays;
import java.util.Iterator;
import java.util.NoSuchElementException;/*** 索引二叉堆<p/>* 具有堆元素位置不变的性质* <p>* 保存堆元素的数组不变，即不交换数组中任意元素的位置。利用一个额外的指向堆元素下标的索引数组(pq)来代替它进行交换，* 同时为了操作方便，再维护一个pq的翻转数组(pq中的值作为新数组的索引，索引作为新数组的值)** @author yjw* @date 2019/6/3/003*/
@SuppressWarnings("unchecked")
public class IndexMinPQ<Key extends Comparable<? super Key>> implements Iterable<Integer> {/*** 堆中最大元素数量*/private final int capacity;/*** 堆中元素数量*/private int size = 0;/*** 指向堆元素引用的数组* 数组中的元素指向堆元素(keys)的索引* 数组里面只是索引，具体参与比较的还是对应的堆元素* <p>* 该数组满足堆性质,很容易知道最小元素为keys[pq[1]]* <p>* 索引范围: (0,size]*/private int[] pq;/*** <strong>保存的是关联索引i -> pq中对应的索引，其下标就是关联索引</strong>* <p>* 以pq中值作为reversed的索引,pq值对应的索引作为reversed的值。* 相当于将pq数组值和下标翻转过来得到的数组。* <p>* 满足： reversed[pq[i]] = pq[reversed[i]] = i** 索引范围： [0,size - 1)*/private int[] reversed;/*** 堆元素数组，该数组不会进行交换操作* <p>* 索引范围： [0,size - 1)*/private Key[] keys;public IndexMinPQ(int capacity) {if (capacity < 0) {throw new IllegalStateException();}this.capacity = capacity;keys = (Key[]) new Comparable[capacity + 1];pq = new int[capacity + 1];reversed = new int[capacity + 1];Arrays.fill(reversed, -1);//-1表示没有关联任何pq的索引}private void rangeCheck(int i) {if (i < 0 || i >= capacity) {throw new IndexOutOfBoundsException();}}/*** @param i 索引* @return 该索引是否在堆中*/public boolean contains(int i) {rangeCheck(i);return reversed[i] != -1;}public int size() {return size;}/*** 后面所说的索引i(public 方法参数中的i)都指的是keys数组中的索引,也就是关联索引*//*** 关联元素e与索引i* <p>* 想查询i对应的元素，除了keys[i]，还可以通过keys[pq[reversed[i]]]** @param i* @param key*/public void insert(int i, Key key) {if (contains(i)) {throw new IllegalStateException("index is already in the heap");}size++;keys[i] = key;pq[size] = i;//将索引添加到pq中最后的位置，保存新元素e在keys中的索引reversed[i] = size;//翻转pqswim(size);//上滤}/*** 删除最小的元素并返回它的关联索引** @return*/public int deleteMin() {if (isEmpty()) {throw new NoSuchElementException();}//pq下标为1的元素即keys中最小元素的关联索引，int min = pq[1];swap(1, size--);//用最后一个元素替代最小元素的位置sink(1);//下滤reversed[min] = -1;        // 标记为已删除keys[min] = null;    // 防止内存泄漏！！pq[size + 1] = -1;        // 标记之前的最后一个元素为已删除return min;}/*** 删除关联索引i处的元素，注意删除的是keys[i]对应的元素** @param i*/public void delete(int i) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}/*** 得到pq数组中的索引index,然后删除keys[i]处的元素*/int index = reversed[i];/*** 同样用最后一个元素替代该元素*/swap(index, size--);/*** 这里需要进行上滤和下滤操作* 有可能堆中最后的元素小于index处的父节点*/swim(index);sink(index);keys[i] = null;//防止内存泄漏reversed[i] = -1;//表明关联索引i没有关联任何元素了}/*** 返回关联最小元素的索引** @return*/public int minIndex() {if (isEmpty()) {throw new NoSuchElementException();}return pq[1];}public Key minKey() {return keys[minIndex()];}/*** 返回与索引i关联的元素** @param i* @return*/public Key keyOf(int i) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}return keys[i];}public boolean isEmpty() {return size == 0;}private boolean less(int i, int j) {return keys[pq[i]].compareTo(keys[pq[j]]) < 0;}/*** 将i关联的元素值增加到 key** @param i* @param key 要满足大于i处的值*/public void increaseKey(int i, Key key) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}if (keys[i].compareTo(key) >= 0) {throw new IllegalArgumentException("Calling increaseKey() with given argument would " +"not strictly increase the key");}keys[i] = key;//因为是增大值，所以只需要下滤sink(reversed[i]);}public void decreaseKey(int i, Key key) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}if (keys[i].compareTo(key) <= 0) {throw new IllegalArgumentException("Calling decreaseKey() with given argument " +"would not strictly decrease the key");}keys[i] = key;//上滤swim(reversed[i]);}public void changeKey(int i, Key key) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}keys[i] = key;//因为不知道是增加了还是减少了，所以需要在两个方向进行交换swim(reversed[i]);sink(reversed[i]);}/*** 另一种写法* @param i* @param key*//*public void changeKey(int i, Key key) {if (!contains(i)) {throw new NoSuchElementException();}if (keys[i].compareTo(key) < 0) {increaseKey(i, key);} else if (keys[i].compareTo(key) > 0) {decreaseKey(i, key);}}*/// swim/swap/sink都是对pq和reversed数组进行的，keys数组只能进行置null操作！！！/*** 上滤** @param k*/private void swim(int k) {/*** 当k比它的父节点要小时，上滤* 直到k不小于它的父节点* 或k变成了堆顶(k=1)*/while (k > 1 && less(k, k / 2)) {swap(k, k / 2);k = k / 2;}}/*** 下滤** @param k*/private void sink(int k) {//如果有孩子，不停的下滤，直到满足堆的性质//k * 2 <= size 说明至少有左孩子while (k * 2 <= size) {int child = k * 2;//如果有右孩子(child +1)，且右孩子更小if (child < size && less(child + 1, child)) {child = child + 1;}if (less(k, child)) {//如果小于孩子,就不用下滤了break;}swap(k, child);k = child;//更新k}}/*** 交换pq和reversed数组** @param i* @param j*/private void swap(int i, int j) {int tmp = pq[i];pq[i] = pq[j];pq[j] = tmp;reversed[pq[i]] = i;reversed[pq[j]] = j;}@Overridepublic Iterator<Integer> iterator() {return new HeapIterator();}@Overridepublic String toString() {StringBuilder sb = new StringBuilder();sb.append("capacity: ").append(capacity).append(",current size: ").append(size).append("\n");sb.append("keys:").append(Arrays.toString(keys)).append("\n");sb.append("pq:").append(Arrays.toString(pq)).append("\n");sb.append("reversed:").append(Arrays.toString(reversed));return sb.toString();}private class HeapIterator implements Iterator<Integer> {private IndexMinPQ<Key> copied;public HeapIterator() {copied = new IndexMinPQ<>(pq.length - 1);for (int i = 1; i <= size; i++) {//pq数组已经满足堆序性，因此没有元素会移动copied.insert(pq[i], keys[pq[i]]);}}@Overridepublic boolean hasNext() {return !copied.isEmpty();}@Overridepublic Integer next() {if (!hasNext()) {throw new NoSuchElementException();}return copied.deleteMin();}}public static void main(String[] args) {Integer[] ints = {4, 2, 3, 1, 6, 5, 7};//假设以这个顺序插入堆IndexMinPQ<Integer> pq = new IndexMinPQ<>(ints.length);for (int i = 0; i < ints.length; i++) {pq.insert(i, ints[i]);}System.out.println(pq);// print each key using the iterator/*for (int i : pq) {System.out.println(i + " " + ints[i]);}*/}
}

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