问题描述：

拼凑面额

给你六种面额1、5、10、20、50、100元的纸币，假设每种币值的数量都足够多，编写程序求组成N元(N为0-10000的非负整数)的不同组合的个数。

输入描述: 输入为一个数字N，即需要拼凑的面额

输出描述: 输出也是一个数字，为组成N的组合个数。

示例

输入：5

输出：2

问题分析：

经典题目，类似于揹包问题或者上台阶问题(上台阶问题只有两种情况，而这个有几种面额零钱就有多少种情况)，昨天晚上58到家的现场宣讲会笔试题，其实牛客网上也有的，链接已经给出。现在总结一下，动态规划解决，具体思路如下：

(1)设 dp[n,m]表示 N元钱，且有零钱M种时，不同组合数。并且，把基本零钱放到nums=[1, 5, 10, 20, 50, 100]。(后面的m，都可以理解为第m种零钱，或者当前有m种零钱即可)

(2)现在思考 dp[n,m]怎么求？很容易联想到上台阶问题，要想得到dp[n,m]的值，一定是从∑ j = 0 m d p [ n − n u m s [ j ] , m ] + d p [ n , m − 1 ] \sum _{j=0} ^{m}{dp[n-nums[j], m]}+dp[n, m-1]∑j=0m​dp[n−nums[j],m]+dp[n,m−1]得到的，具体点：

A、当m相等时，当前状态一定是前m种状态的总和，即，∑ j = 0 m d p [ n − n u m s [ j ] , m ] \sum _{j=0} ^{m}{dp[n-nums[j], m]}∑j=0m​dp[n−nums[j],m]。

B、当n相等时，很显然当前有m种零钱，它情况一定包含m-1种零钱的所有情况，即，d p [ n , m − 1 ] dp[n, m-1]dp[n,m−1]

C、最后 dp[n,m]就是这两种情况的和。

要注意的是n-nums[m]>=0是前提条件。所以得出状态转移方程为：

1. n >=nums[j] 时：d p [ n , m ] = d p [ n , m − 1 ] + ∑ j = 0 m d p [ n − n u m s [ j ] , m ] dp[n,m]=dp[n, m-1]+\sum _{j=0} ^{m}{dp[n-nums[j], m]}dp[n,m]=dp[n,m−1]+∑j=0m​dp[n−nums[j],m]

2. n < nums[j] 时：d p [ n , m ] = d p [ n , m − 1 ] dp[n,m]=dp[n, m-1]dp[n,m]=dp[n,m−1]

3. 此外就边界情况，均为1

(3)dp空间压缩，先看一下下面得图片：

dp[10,2] = dp[10,1] + dp[0, 2] = 3 + 1 = 4 在结合上面的公式不难发现，当前值，只和上面一行的值(情况B)，还有本行的值(情况A)有关，所以，现在可以压缩一下dp空间，即，一行一行的计算。

Python3实现：

# @Time :2018/10/12

# @Author :LiuYinxing

# 动态规划 - 类似于揹包问题、上台阶问题

class Solution:

def solve(self, n):

nums = [1, 5, 10, 20, 50, 100] # 基本面额

dp = [1] * (n + 1) # 初始化dp

for j in range(1, 6):

for i in range(1, n+1):

if i >= nums[j]: # 约束条件

dp[i] += dp[n - nums[j]]

return dp[-1]

if __name__ == '__main__':

solu = Solution()

print(solu.solve(n=7))

声明： 总结学习，有问题或不妥之处，可以批评指正哦。

[1] 题目/参考-链接:www.nowcoder.com/questionTerminal/14cf13771cd840849a402b848b5c1c93