文章目录

线性定常齐次状态方程的解
- 1. 用矩阵指数函数直接求解
- 2. 用拉氏变换求解
矩阵指数函数
- 矩阵指数函数的性质
- 矩阵指数函数的应用
状态转移矩阵
- 状态转移矩阵的性质
- 状态转移矩阵的应用
- - 例 1
  - 例 2
  - 例 3
  - 例 4

本章重点讨论的是线性定常连续系统状态方程求解的方法。

线性定常齐次状态方程的解

对于线性定常系统：
{x˙=Ax+Buy=Cx+Du,x(t0)=x(0)\left\{\begin{matrix} \dot x=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{matrix}\right. ,x(t_0)=x(0){x˙=Ax+Buy=Cx+Du,x(t0)=x(0)
当外加输入函数 u=0 时，上述状态空间表达式为：
{x˙=Axy=Cx,x(t0)=x(0)\left\{\begin{matrix} \dot x=Ax\\ y=Cx \end{matrix}\right. ,x(t_0)=x(0){x˙=Axy=Cx,x(t0)=x(0)
此时的状态方程叫做线性定常齐次状态方程(LTI homogeneous state equation)，因系统状态的运动是在没有外加输入控制下由系统的初始状态引起的，因此控制系统的运动也称为自由运动。初始状态不为 0 时的运动为强迫运动。

齐次状态方程可在时域内直接求解，也可以用拉普拉斯变换求解。

1. 用矩阵指数函数直接求解

先假设线性定常齐次状态方程的解为时间 t 的幂级数形式，即
x(t)=b0+b1t+b2t2+L+bktk+⋯x(t) =b_0+b_1t+b_2t^2+L+b_kt^k +\cdotsx(t)=b0+b1t+b2t2+L+bktk+⋯
注意上式中 bi(i=1,2,⋯ )b_i(i=1,2,\cdots)bi(i=1,2,⋯) 为待定系数矩阵。当 t=0 时， x(0)=b0x(0)=b_0x(0)=b0 。
将所设的解带入原方程中可得
b1+2b2t+3b3t+⋯+kbktk−1+⋯=A(b0+b1t+b2t2+L+bktk+⋯ )b_1+2b_2t+3b_3t+\cdots+kb_kt^{k-1}+\cdots=A(b_0+b_1t+b_2t^2+L+b_kt^k +\cdots)b1+2b2t+3b3t+⋯+kbktk−1+⋯=A(b0+b1t+b2t2+L+bktk+⋯)
由于上式对所有的时间 t 都要成立,因此等式两边同幂项的系数应相等，即:
b0=x(0)b_0=x(0)b0=x(0)
b1=Ab0b_1=Ab_0b1=Ab0
b2=12Ab1=12!A2b0b_2=\frac 1 2 Ab_1=\frac 1 {2!} A^2b_0b2=21Ab1=2!1A2b0
b3=13Ab2=13!A3b0b_3=\frac 1 3 Ab_2=\frac 1 {3!} A^3b_0b3=31Ab2=3!1A3b0
⋯\cdots⋯
bk=1kAbk−1=1k!Ak3b0b_k=\frac 1 k Ab_{k-1}=\frac 1 {k!} A^k3b_0bk=k1Abk−1=k!1Ak3b0
⋯\cdots⋯
因此齐次方程的解可以写成：
x(t)=(I+At+12!A2t2+⋯+1k!Aktk+⋯ )x(0)x(t)=(I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots)x(0)x(t)=(I+At+2!1A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯)x(0)
对于方阵，由其组成的无穷矩阵级数的和类似于纯量指数，定义为矩阵指数函数(Matrix Exponential Function)，记为
eAt=I+At+12!A2t2+⋯+1k!Aktk+⋯=∑k=0∞1k!Aktke^{At}=I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {k!}A^kt^keAt=I+At+2!1A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯=k=0∑∞k!1Aktk
所以，线性定常齐次状态方程式的解也可写成
x(t)=eAtx(0)x(t)=e^{At}x(0)x(t)=eAtx(0)
按矩阵指数函数法求解齐次状态方程，在已知初始状态 x(0)的基础上，需要求解矩阵指数函数 eAte^{At}eAt ，这给人工计算带来不便。

但级数展开式中的每一项适合于用计算机计算。

2. 用拉氏变换求解

对于线性定常齐次状态方程式也可用拉普拉斯变换求解，它的求解方法与纯量一阶微分方程求解相似。对方程式两边取拉氏变换得：

拉普拉斯变换时域的 f′(t)f'(t)f′(t) 对应于 s 域的 sF(s)−f(0)sF(s)-f(0)sF(s)−f(0)

sX(s)−x(0)=AX(s)sX(s)-x(0)=AX(s)sX(s)−x(0)=AX(s)
整理得到
(sI−A)X(s)=x(0)(sI-A)X(s)=x(0)(sI−A)X(s)=x(0)
故
X(s)=(sI−A)−1x(0)X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)X(s)=(sI−A)−1x(0)
对两边取拉氏反变换得
x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)

所以我们得到了两种微分方程的解，所以有微分方程解的唯一性可知：
eAt=L−1[(sI−A)−1]e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]eAt=L−1[(sI−A)−1]
采用拉氏变换法适合人工求解，且一般均能获得解析形式的结果。

矩阵指数函数

可以看到，要解状态方程，实际上只需要求出矩阵指数函数就可以了。下面讨论矩阵指数函数的性质

矩阵指数函数的性质

n×n 维方阵 A 的矩阵指数函数 eAte^{At}eAt 是一个无穷级数，可以证明该级数对所有有限时间是绝对收敛的。具有以下性质：

eAte˙Aτ=eA(t+τ)e^{At}\dot e^{A\tau}=e^{A(t+\tau)}eAte˙Aτ=eA(t+τ)
eA0˙=Ie^{A\dot 0}=IeA0˙=I
e−At=[eAt]−1e^{-At}=[e^{At}]^{-1}e−At=[eAt]−1
若 A 和 B 可交换，即 AB=BA ，则 e(A+B)t=eAte˙Bte^{(A+B)t}=e^{At}\dot e^{Bt}e(A+B)t=eAte˙Bt
若 A 和 B 不可交换，即 AB≠BAAB\neq BAAB̸=BA ，则 e(A+B)t≠eAte˙Bte^{(A+B)t}\neq e^{At}\dot e^{Bt}e(A+B)t̸=eAte˙Bt
若矩阵 An×nA_{n\times n}An×n 有不相等的特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn,A‾\overline AA 为对角矩阵。则
A‾=diag[λ1,λ2,⋯ ,λn]=[λ10λ2⋱0λn]\overline A=diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & 0\\ &\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{bmatrix}A=diag[λ1,λ2,⋯,λn]=⎣⎢⎢⎡λ10λ2⋱0λn⎦⎥⎥⎤
则对角矩阵 A‾\overline AA 的矩阵指数函数为
eA‾t=diag[eλ1t,eλ2t,⋯ ,eλnt]e^{\overline A t}=diag[e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},\cdots,e^{\lambda_n t}]eAt=diag[eλ1t,eλ2t,⋯,eλnt]
若矩阵 An×nA_{n\times n}An×n 有不相等的特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn,A‾\overline AA 为对角矩阵。则有线性变换
x=Mx‾x=M\overline xx=Mx
使得 A‾=M−1AM=diag[λ1,λ2,⋯ ,λn]\overline A=M^{-1}AM=diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]A=M−1AM=diag[λ1,λ2,⋯,λn]
eA‾t=M−1eAtM=diag[eλ1t,eλ2t,⋯ ,eλnt]e^{\overline A t}=M^{-1}e^{ A t}M=diag[e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},\cdots,e^{\lambda_n t}]eAt=M−1eAtM=diag[eλ1t,eλ2t,⋯,eλnt]
eAt=MeA‾tM−1e^{A t}=Me^{\overline A t}M^{-1}eAt=MeAtM−1
特别是，当 A 为可控标准型时，变换矩阵 M 为范德蒙矩阵 M=[11⋯1λ1λ2⋯λn⋮⋮⋱⋮λ1n−1λ2n−1⋯λnn−1]M=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \lambda_1& \lambda_2 &\cdots & \lambda_n\\ \vdots& \vdots &\ddots &\vdots \\ \lambda_1^{n-1}& \lambda_2^{n-1} &\cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}M=⎣⎢⎢⎢⎡1λ1⋮λ1n−11λ2⋮λ2n−1⋯⋯⋱⋯1λn⋮λnn−1⎦⎥⎥⎥⎤
若矩阵 JiJ_iJi 为 mi×mim_i\times m_imi×mi 阶约当矩阵，即 Ji=[λi10λi⋱⋱10λi]mi×miJ_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & 0\\ &\lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0 & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}Ji=⎣⎢⎢⎡λi01λi⋱⋱01λi⎦⎥⎥⎤mi×mi
则 eJit=eλit=[1tt22!⋯tmi−1(mi−1)!01t⋯tmi−2(mi−2)!⋮⋮⋱⋱⋮0001t00001]e^{J_it}=e^{\lambda_it}=\begin{bmatrix} 1&{\rm{t}}&{\frac{{{t^2}}}{{2!}}}& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 1}}}}{{({m_i} - 1)!}}}\\ 0&1&t& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 2}}}}{{({m_i} - 2)!}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&1&t\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}eJit=eλit=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮00t1⋮002!t2t⋱00⋯⋯⋱10(mi−1)!tmi−1(mi−2)!tmi−2⋮t1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
即对角线上元素全为 1 ，往上 k 次变为 tkk!\frac {t^k}{k!}k!tk.
若矩阵 An×nA_{n\times n}An×n 有重特征值 λ1,λ2,⋯ ,λm\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_mλ1,λ2,⋯,λm,且 J=T−1AT=[J1J2⋱Jm]mi×miJ=T^{-1}AT=\begin{bmatrix} {{J_1}}&{}&{}&{}\\ {}&{{J_2}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{{J_m}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}J=T−1AT=⎣⎢⎢⎡J1J2⋱Jm⎦⎥⎥⎤mi×mi
则 eJt=T−1eAtT=[eJ1t0eJ2t⋱0eJmt]mi×mie^{Jt}=T^{-1}e^{At}T=\begin{bmatrix} {{e^{{J_1}t}}}&{}&{}&0\\ {}&{{e^{J_2t}}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ 0&{}&{}&{{e^{{J_m}t}}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}eJt=T−1eAtT=⎣⎢⎢⎡eJ1t0eJ2t⋱0eJmt⎦⎥⎥⎤mi×mi
矩阵指数函数 eAte^{At}eAt 的导数为
deAtdt=AeAt=eAtA\frac {\mathrm{d} e^{At}}{\mathrm{d} t}=Ae^{At}=e^{At}AdtdeAt=AeAt=eAtA
也就是说该导数和纯量导数是一致的。
若矩阵 An×nA_{n\times n}An×n 有 n 个特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn,则矩阵指数函数可以表示为有限项之和:
eAt=∑i=0n−1Aiαi(t)e^{At}=\sum_{i=0}^{n-1}A^i \alpha_i(t)eAt=i=0∑n−1Aiαi(t)
- 若 n 个特征值互不相同，则
  [α0(t)α1(t)⋮αn−1(t)]=[1λ1⋯λ1n−11λ2⋯λ2n−1⋮⋮⋱⋮1λn⋯λnn−1]−1[eλ1teλ2t⋮eλnt]\begin{bmatrix} \alpha_0(t)\\ \alpha_1(t)\\ \vdots\\ \alpha_{n-1}(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&{{\lambda _1}}& \cdots &{\lambda _1^{n - 1}}\\ 1&{{\lambda _2}}& \cdots &{\lambda _2^{n - 1}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1&{{\lambda _n}}& \cdots &{\lambda _n^{n - 1}} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t}\\e^{\lambda_2 t}\\\vdots\\e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡α0(t)α1(t)⋮αn−1(t)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1λ1λ2⋮λn⋯⋯⋱⋯λ1n−1λ2n−1⋮λnn−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡eλ1teλ2t⋮eλnt⎦⎥⎥⎥⎤
- 若特征值相同且均为 λ\lambdaλ ，则
  [α0(t)α1(t)⋮αn−1(t)]=[00⋯100⋯(n−1)λ⋮⋮⋮01⋯(n−1)λn−21λ⋯λn−1]−1[tn−1(n−1)!eλttn−2(n−2)!eλt⋮teλteλt]=[1λλ2⋯λn−1012λ⋯(n−1)λn−2⋮⋮⋮⋮000⋯(n−1)λ000⋯1]−1[eλtteλt⋮tn−2(n−2)!eλttn−1(n−1)!eλt]\begin{bmatrix} {{\alpha _0}(t)}\\ {{\alpha _1}(t)}\\ \vdots \\ {{\alpha _{n - 1}}(t)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0& \cdots &1\\ 0&0& \cdots &{(n - 1)\lambda }\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ 0&1& \cdots &{(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\ 1&\lambda & \cdots &{{\lambda ^{n - 1}}} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} {\frac{t^{n-1}}{{(n - 1)!}}{e^{\lambda t}}}\\ {\frac{t^{n-2}}{{(n - 2)!}}{e^{\lambda t}}}\\ \vdots \\ {t{e^{\lambda t}}} \\ e^{\lambda t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&\lambda & \lambda^2&\cdots &{{\lambda ^{n - 1}}}\\ 0&1&2\lambda& \cdots &{(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\ \vdots & \vdots &\vdots&{}& \vdots \\ 0&0&0& \cdots &{(n - 1)\lambda }\\ 0&0&0& \cdots &1\\ \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} e^{\lambda t}\\ {t{e^{\lambda t}}} \\ \vdots \\ {\frac{t^{n-2}}{{(n - 2)!}}{e^{\lambda t}}}\\ {\frac{t^{n-1}}{{(n - 1)!}}{e^{\lambda t}}}\\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡α0(t)α1(t)⋮αn−1(t)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡00⋮0100⋮1λ⋯⋯⋯⋯1(n−1)λ⋮(n−1)λn−2λn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(n−1)!tn−1eλt(n−2)!tn−2eλt⋮teλteλt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮00λ1⋮00λ22λ⋮00⋯⋯⋯⋯λn−1(n−1)λn−2⋮(n−1)λ1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡eλtteλt⋮(n−2)!tn−2eλt(n−1)!tn−1eλt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

矩阵指数函数的应用

例题：已知 x˙=[01−2−3]x\dot x=\begin{bmatrix} 0&1\\ -2&-3 \end{bmatrix}xx˙=[0−21−3]x,x(t)∣t=0=x(0)x(t)|_{t=0}=x(0)x(t)∣t=0=x(0),求解方程
解：要求解该齐次状态方程的解，关键是矩阵指数函数 eAte^{At}eAt 的求解。根据前面所述，可采用以下四种方法。
方法 1 ：定义法：
eAt=I+At+12!A2t2+⋯+1k!Aktk+⋯=[1001]+[0t−2t−3t]+12![−2t2−3t26t27t2]+⋯e^{At}=I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots\\=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&t\\-2t&-3t\end{bmatrix}+\frac 1 {2!}\begin{bmatrix} -2t^2&-3t^2\\6t^2&7t^2\end{bmatrix}+\cdotseAt=I+At+2!1A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯=[1001]+[0−2tt−3t]+2!1[−2t26t2−3t27t2]+⋯
方法 2 ：由拉普拉斯变换法求：

方法 3 ：由线性变换求
根据性质 5 和性质 6
因为可以看到 A 的特征值全部都是不相同的， M 矩阵就是范德蒙矩阵。

方法 4 ：由矩阵指数函数的性质 10 来求

由以上四种方法求出矩阵指数函数后，由线性定常系统齐次状态方程解的表达式 x(t)=eAtx(0)x(t)=e^{At}x(0)x(t)=eAtx(0) 得：

状态转移矩阵

由线性定常系统齐次状态方程的解可知，若以 t ＝ 0 作为初始时间，系统在任意 t ≥ 0 时刻的状态向量是由初始时刻状态按规律进行转移的。因此矩阵指数函数亦称状态转移矩阵，记为
ϕ(t)=eAt\phi(t)=e^{At}ϕ(t)=eAt
此时 x(t)=eAtx(0)x(t)=e^{At}x(0)x(t)=eAtx(0)
更一般地，若以 t=t0t=t_0t=t0 作为初始时间，系统状态的初始值为 x(t0)x(t_0)x(t0) ，则系统在任意时刻 t≥t0t\geq t_0t≥t0 的状态亦可由初始状态转移而来，即：
x(t)=eA(t−t0)x(t0)x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)x(t)=eA(t−t0)x(t0)
因为 x(t)=eAtx(0)x(t)=e^{At}x(0)x(t)=eAtx(0) ， x(t0)=eAt0x(0)x(t_0)=e^{At_0}x(0)x(t0)=eAt0x(0),所以可以推导得到上式。
此时系统的状态转移矩阵记为 ϕ(t,t0)=eA(t−t0)\phi(t,t_0)=e^{A(t-t_0)}ϕ(t,t0)=eA(t−t0)
{x(t)=ϕ(t)x(0)x(t)=ϕ(t−t0)x(t0)\begin{cases} x(t)=\phi(t)x(0)\\ x(t)=\phi(t-t_0)x(t_0) \end{cases}{x(t)=ϕ(t)x(0)x(t)=ϕ(t−t0)x(t0)
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移在不断地作坐标变换，也就是不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。其物理意义如下图所示：

状态转移矩阵的性质

不变性
ϕ(t,t)=eA0=I\phi(t,t)=e^{A0}=Iϕ(t,t)=eA0=I
状态转移矩阵满足其状态方程本身 ( 第一个 ϕ\phiϕ 上面有一个点，表示导数)
ϕ˙(t,t0)=Aϕ(t−t0)\dot \phi(t,t_0)=A\phi(t-t_0)ϕ˙(t,t0)=Aϕ(t−t0)
可逆性
ϕ−1(t2,t1)=ϕ(t1,t2)\phi^{-1}(t_2,t_1)=\phi(t_1,t_2)ϕ−1(t2,t1)=ϕ(t1,t2)
转移矩阵的逆矩阵意味着转移时间的倒转，即从 t1 到 t2 的转移矩阵等于从 t2 到 t1 的转移矩阵的逆
分解性
ϕ(t1+t2)=eA(t1+t2)=eAt1eAt2=ϕ(t1)ϕ(t2)\phi(t_1+t_2)=e^{A(t_1+t_2)}=e^{At_1}e^{At_2}=\phi(t_1)\phi(t_2)ϕ(t1+t2)=eA(t1+t2)=eAt1eAt2=ϕ(t1)ϕ(t2)
路径无关
由性质 4 可得，
[ϕ(t)]n=ϕ(nt)[\phi(t)]^n=\phi(nt)[ϕ(t)]n=ϕ(nt)
表示由 t=0 时刻状态转移 n 次，等于由 t=0 到 nt 时刻的状态转移，路径无关。
传递性
ϕ(t2,t1)ϕ(t1,t0)=ϕ(t2,t0)\phi(t_2,t_1)\phi(t_1,t_0)=\phi(t_2,t_0)ϕ(t2,t1)ϕ(t1,t0)=ϕ(t2,t0)

状态转移矩阵的应用

例 1

解：根据性质 2 ： ϕ˙(t,0)=Aϕ(t−0)\dot \phi(t,0)=A\phi(t-0)ϕ˙(t,0)=Aϕ(t−0) 当 t=0 即 ϕ˙(t)∣t=0=Aϕ(t)∣t=0=A∗I=A\dot \phi(t)|_{t=0}=A\phi(t)|_{t=0}=A*I=Aϕ˙(t)∣t=0=Aϕ(t)∣t=0=A∗I=A
所以 A=ϕ˙(t)∣t=0=[−2e−t+2e−2t2(−2e−2t+e−t)−e−t+2e−2t−4e−2t+e−t]∣t=0=[0−21−3]A=\dot \phi(t)|_{t=0}=\begin{bmatrix} { - 2{e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{2( - 2{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}})}\\ { - {e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{ - 4{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}}} \end{bmatrix}|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0&-2\\ 1&-3 \end{bmatrix}A=ϕ˙(t)∣t=0=[−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t2(−2e−2t+e−t)−4e−2t+e−t]∣t=0=[01−2−3]

例 2

解： x(t)=ϕ(t−t0)x(t0)x(t)=\phi(t-t_0)x(t_0)x(t)=ϕ(t−t0)x(t0) ，所以需要求 ϕ(t)=eAt\phi(t)=e^{At}ϕ(t)=eAt

例 3

则现在有四个未知数四个方程只要是线型无关的，那就一定能求出来。
ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 在 t=0 时都为单位阵。

例 4

解：之前用定义法和拉式反变换法求过这类问题，还可以用其他办法。
方法 1 ：
使用性质 10 ，首先计算 A 的特征值

发现有重特征值，则重特征值和非重特征值的处理方法不同。

方法 2 ：
根据性质 8 ：

若矩阵 An×nA_{n\times n}An×n 有重特征值 λ1,λ2,⋯ ,λm\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_mλ1,λ2,⋯,λm,且 J=T−1AT=[J1J2⋱Jm]mi×miJ=T^{-1}AT=\begin{bmatrix} {{J_1}}&{}&{}&{}\\ {}&{{J_2}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{{J_m}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}J=T−1AT=⎣⎢⎢⎡J1J2⋱Jm⎦⎥⎥⎤mi×mi
则 eJt=T−1eAtT=[eJ1t0eJ2t⋱0eJmt]mi×mie^{Jt}=T^{-1}e^{At}T=\begin{bmatrix} {{e^{{J_1}t}}}&{}&{}&0\\ {}&{{e^{J_2t}}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ 0&{}&{}&{{e^{{J_m}t}}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}eJt=T−1eAtT=⎣⎢⎢⎡eJ1t0eJ2t⋱0eJmt⎦⎥⎥⎤mi×mi

先求出特征值为 λ1=2,λ2=λ3=−1\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=-1λ1=2,λ2=λ3=−1 ，约当矩阵为：
J=[2000−1100−1]J=\begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&{ - 1}&1\\ 0&0&{ - 1} \end{bmatrix}J=⎣⎡2000−1001−1⎦⎤
由于性质 7 ：

若矩阵 JiJ_iJi 为 mi×mim_i\times m_imi×mi 阶约当矩阵，即 Ji=[λi10λi⋱⋱10λi]mi×miJ_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & 0\\ &\lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0 & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}Ji=⎣⎢⎢⎡λi01λi⋱⋱01λi⎦⎥⎥⎤mi×mi
则 eJit=eλit=[1tt22!⋯tmi−1(mi−1)!01t⋯tmi−2(mi−2)!⋮⋮⋱⋱⋮0001t00001]e^{J_it}=e^{\lambda_it}=\begin{bmatrix} 1&{\rm{t}}&{\frac{{{t^2}}}{{2!}}}& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 1}}}}{{({m_i} - 1)!}}}\\ 0&1&t& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 2}}}}{{({m_i} - 2)!}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&1&t\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}eJit=eλit=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮00t1⋮002!t2t⋱00⋯⋯⋱10(mi−1)!tmi−1(mi−2)!tmi−2⋮t1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

所以：
eJt=[e2t000e−tte−t00e−t]e^{Jt}=\begin{bmatrix} {{e^{2t}}}&0&0\\ 0&{{e^{ - t}}}&{t{e^{ - t}}}\\ 0&0&{{e^{ - t}}} \end{bmatrix}eJt=⎣⎡e2t000e−t00te−te−t⎦⎤
这里的关键是求性质 8 中的变换矩阵 T,设 T=[t1,t2,t3]T=[t_1,t_2,t_3]T=[t1,t2,t3].
实质上可以看做一个相似对角化的过程。
t1t_1t1 是 λ1\lambda_1λ1 这个特征值所对应的特征向量。

t2t_2t2 是特征值是 λ2\lambda_2λ2 所对应的特征向量。
t3t_3t3 是特征值是 λ3\lambda_3λ3 所对应的广义特征向量。(广义特征向量是矩阵变换为约当标准型所使用的)
知识点在维基百科

现代控制工程（二）状态方程的解相关推荐

[深入浅出Cocoa]之消息（二）-详解动态方法决议(Dynamic Method Resolution)
[深入浅出Cocoa]之消息(二)-详解动态方法决议(Dynamic Method Resolution) 罗朝辉 (http://www.cnblogs.com/kesalin/) 本文遵循&quo ...
ViewPager 详解（二）---详解四大函数
前言:上篇中我们讲解了如何快速实现了一个滑动页面,但问题在于,PageAdapter必须要重写的四个函数,它们都各有什么意义,在上节的函数内部为什么要这么实现,下面我们就结合Android的API说明 ...
RxJS 系列之二 - Observable 详解
查看新版教程,请访问前端修仙之路 RxJS 系列目录 RxJS 系列之一 - Functional Programming 简介 RxJS 系列之二 - Observable 详解 (本文) RxJS ...
C语言一维/二维数组解引用难理解点以及一道难题
C语言指针相关的坑爹题先来一点简单的求下面各代码打印结果(32位环境): int a[3][4] = {0}; printf("%d\n",sizeof(a)); printf ...
CORS跨域资源共享(二)：详解Spring MVC对CORS支持的相关类和API【享学Spring MVC】
每篇一句重构一时爽,一直重构一直爽.但出了问题火葬场前言上篇文章通过我模拟的跨域请求实例和结果分析,相信小伙伴们都已经80%的掌握了CORS到底是怎么一回事以及如何使用它.由于Java语言中的w ...
十二、详解计算网络中的流量控制和差错控制、HDLC
十二.详解计算网络中的流量控制和差错控制提示:这里可以添加系列文章的所有文章的目录,目录需要自己手动添加例如:第一章 Python 机器学习入门之pandas的使用提示:写完文章后,目录可以自动 ...
飞行器控制笔记（二）——姿态解算之坐标变换与欧拉角更新姿态
飞行器控制笔记(二)--姿态解算之坐标变换与欧拉角更新姿态飞行器控制笔记(二)--姿态解算之坐标变换与欧拉角更新姿态一.基本假定二.坐标变换矩阵 2.1绕z轴旋转 2.2绕y轴旋转 2.3绕x轴 ...
DFT - 对芯片测试的理解（二）详解
DFT - 对芯片测试的理解(二) 详解参考: https://www.docin.com/p-2014360649.html The basic view of DFT scan chain 这图 ...
新版彩虹授权系统花粥二开全解修复版源码
正文: 新版彩虹授权系统花粥二开全解修复版源码,此系统是彩虹新写的,由花粥在网上找到并且修复,亲测可用,安装教程: 上传源码解压到服务器/主机,访问域名即可安装. 程序: wwthy.lanzouy. ...
32.深度解密三十二：详解影响QQ群整体排名的那些秘密
网络营销推广技术.技巧深度解密(三十二)指南: 1.本文档适合零基础以及互联网营销推广人员,主要讲解营销QQ群排名的一些问题. 2.原创版权文档,任何抄袭或者全部.部分模仿都是侵权行为. 3.敬畏法律 ...

现代控制工程（二）状态方程的解