随机游走与马尔科夫链的一些基础
转载自:http://blog.csdn.net/assiduousknight/article/details/18150803
这几天在看一些使用到了随机游走的相关文献,整理一下常用的公式和性质
随机游走(random walk)矩阵可以看做是马尔科夫链的一种特例。对于一个图G的邻接矩阵A来说,A中的非零元素描述了图G中每一条边的权重(这里一般要求A的对角线为零)。这个权重描述了节点之间的相似性。如果我们对A进行按行归一化,即
D是A的度矩阵,是一个对角阵,对角线元素 D(i,i)=∑jA(i,j) 。这样的到的矩阵P就是一个随机游走矩阵。每个点与其他所有节点的跳转概率之和为1,
一个随机游走矩阵对应的是一个遍历的马尔科夫链,也就是说任意两个状态之间都可以互相到达。从任意状态at出发,经过一步转移,下一时刻的概率为
这样一直进行下去,经过一定时间可以到达稳态(equilibirum state)。所谓稳态,就是说状态的概率分布不再进行变化:
这里 π 就是稳态。仔细观察这个方程,可以看出稳态实际上就是随机游走矩阵特征值1所对应的特征向量。另外一个计算稳态的方法是
马尔科夫链的基础矩阵定义为
其中I是一个单位阵,P为对应的随机游走矩阵,W是将稳态按行堆叠形成的矩阵。对于一个正规的马尔科夫链(即P的任何次方都没有负值的元素),W可以看做 Pn 中n趋于无穷大的情况。通过基础矩阵,我们可以计算马尔科夫链的很多特性。其中主要包括了各种访问时间:
1. 从状态i出发返回状态i的时间期望:
2. 从状态i出发,回到状态i之前,访问状态j的次数期望:
3. 从状态i出发,到达状态j的时间期望:
4. 从状态j出发,到达状态i之前,访问状态j的次数期望(i≠j):
5. 从状态i出发,到达状态l之前,访问状态j的次数期望(i≠l):
6. 从稳态出发,到达状态i的时间期望:
7. 从稳态出发,到达状态i之前,访问状态j的次数:
下面给出三个定理
1. 对状态i≠j,
2. 对状态i≠l,j≠l,
3. 对任意状态i,
和i无关。
注:上述标记中,上标的加号代表不计算初始时间,也就是如果从状态i出发经过n步回到状态i,那么
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- 【转载】随机游走及马尔科夫链(本体映射相关)
http://blog.csdn.net/songzitea/article/details/18087401
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