1. 无穷维空间的测度论-Wiener测度(二)

前情提要：偏微分方程与Wiener积分

Kolmogorov正向方程（Fokker-Planck方程）
抛物型偏微分方程初值问题解的Feynman-Kac公式。

1. 【复习】偏微分方程与随机微分方程

偏微分方程与随机微分方程可以说有着不解之缘。我们先简单地回顾一下本公众号曾经流传过的他们之间的【缘分】，然后再看看有了维纳积分这个概念后，Kolmogorov正向方程和抛物型偏微分方程初值问题解的Feynman-Kac公式会有怎样的表示。

回忆一下研究随机分析的几个重要方法（如下），用偏微分方程的理论研究扩散过程可以说的上是一个非常重要的方法（随机分析与经典分析的重要纽带！！），可参见随机过程：三种不同的理解方法：

第一种方法是采用分布的观点，马氏过程与算子半群。【随机过程专栏】
第二种方法是采取轨道的观点，并通过随机微分方程的解来表示轨道。【随机微分专栏】
第三个方法是研究由扩散过程引起的路径空间上的概率分布，这是路径积分的方法。【随机变分专栏】
第四种方法是利用偏微分方程来研究概率分布和期望值的动力学问题。【随机微分专栏】、【随机控制专栏】和【随机变分专栏：本文】

1.1 偏微分方程经典解

早在随机微分方程-与偏微分方程的关联中，我们就给出了Kolmogorov正向方程和抛物型偏微分方程初值问题解的Feynman-Kac公式，这是要求随机微分方程的系数满足一定的光滑性条件下才成立的。

下面给出一个定理，简单地回忆一下：

定理：设σ,b\sigma, bσ,b为满足线性增长条件的Lipschitz函数, X(t,x)X(t, x)X(t,x) 是方程
Xt=x+∫0tσ(Xs)dBs+∫0tb(Xs)dsX_t=x+\int^t_0\sigma(X_s)dB_s+\int_0^tb(X_s)ds Xt=x+∫0tσ(Xs)dBs+∫0tb(Xs)ds
的解, DDD是XXX的无穷小算子.

假设:
(i)(i)(i) Cb2⊂DC_{b}^{2} \subset DCb2⊂D.
(ii)(ii)(ii) 设 σ,b∈Cb2\sigma, b \in C_{b}^{2}σ,b∈Cb2 且 f∈Cb2f \in C_{b}^{2}f∈Cb2.

令u(t,x):=E[f(X(t,x))]u(t, x):=E[f(X(t, x))]u(t,x):=E[f(X(t,x))]，则u∈C1,2(R+×u \in C^{1,2}\left(\mathbb{R}_{+} \times\right.u∈C1,2(R+× Rn\mathbb{R}^{n}Rn)且
∂u(t,x)∂t=Lu\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}=L u ∂t∂u(t,x)=Lu
其中
$
L=\frac{1}{2}\left(\sigma \sigma^{{*}(x)\right)}{i j} \partial_{i j}^{2}+b{i}(x) \partial_{i}
$

总结：在σ\sigmaσ和bbb充分光滑的情况下, 若fff也充分光滑, 则函数
u(t,x):=E[f(X(t,x))]u(t, x):=E[f(X(t, x))] u(t,x):=E[f(X(t,x))]
满足方程
∂tu(t,x)=Lu(t,x)\partial_{t} u(t, x)=L u(t, x) ∂tu(t,x)=Lu(t,x)
uuu是这个方程的满足初始条件u(0,x)=f(x)u(0, x)=f(x)u(0,x)=f(x)的经典解. 由于上面第一个等式中右边的期望可以理解为连续函数空间上的积分, 因此又称为泛函积分.

用泛函积分来表示偏微分方程的经典解, 并利用这个表达式研究偏微分方程的性质, 是联系随机分析与经典分析的重要纽带（用概率方法解决分析问题）, 也是推动随机分析发展的重要引擎。

1.2 偏微分方程粘性解

如果σ,b,f\sigma, b, fσ,b,f都不够光滑, 那么这样定义出来的uuu就不一定是光滑函数. 这个函数还是不是方程的某种弱意义下的解?

早在随机控制专栏中，我们就复习了随机微分方程（以及倒向随机微分方程）与偏微分方程之间的联系，见倒向随机微分方程与偏微分方程之间的联系。值得注意的是偏微分方程粘性解的概念本身是从随机微分方程的控制问题中提出来的, 所以它天然就带有概率属性。当然了，我们还曾经介绍过偏微分方程与随机动态规划有以下联系，即随机动态规划原理得到的HJB方程。

2. Kolmogorov正向方程（Fokker-Planck方程）

2.1 转移概率密度

转移概率：对于任意的a∈R1a \in \mathbb{R}^{1}a∈R1, 用 δa(dξ)\delta_{a}(d \xi)δa(dξ) 表示R1\mathbb{R}^{1}R1上概率集中于{a}\{a\}{a}点的概率测度, 即对于任意一维Borel可测函数fff
∫R1f(ξ)δa(dξ)=f(a)\int_{\mathbb{R}^{1}} f(\xi) \delta_{a}(\mathrm{d} \xi)=f(a)∫R1f(ξ)δa(dξ)=f(a)
固定t∈(0,T]t \in(0, T]t∈(0,T], 对于任意的R1\mathbb{R}^{1}R1上Borel可测集B,I={x∈B, I=\{x \inB,I={x∈ C[0,T]∣x(t)∈B}C[0, T] \mid x(t) \in B\}C[0,T]∣x(t)∈B}是一个柱集，δx(t)(B)\delta_{x(t)}(B)δx(t)(B) 是C[0,T]C[0, T]C[0,T] 空间上这个柱集 III 的特征函数。

Wiener积分：EW[δx(t)(dξ)]E^{W}[\delta_{x(t)}(d \xi)]EW[δx(t)(dξ)]是R1\mathbb{R}^{1}R1上的概率测度，且
EW[δx(t)(B)]=12πt∫Re−u22tduE^{W}\left[\delta_{x(t)}(B)\right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2 t}} \mathrm{~d} uEW[δx(t)(B)]=2πt1∫Re−2tu2 du
注：EW[δx(t)(dξ)]E^{W}[\delta_{x(t)}(\mathrm{d} \xi)]EW[δx(t)(dξ)]关于Lebesgue测度绝对连续, 其Radon-Nikodym导数
dEW[δx(t)(⋅)]dξ=12πte−ξ22t\frac{\mathrm{d} E^{\mathrm{W}}\left[\delta_{x(t) }(\cdot)]\right.}{\mathrm{d} \xi}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \mathrm{e}^{-\frac{\xi^{2}}{2 t}} dξdEW[δx(t)(⋅)]=2πt1e−2tξ2
并且, 当fff是一维Borel可测函数时, 由Fubini定理有
∫R1f(ξ)EW[δx(t)(dξ)]=EW[f(x(t))]=∫R1f(ξ)12πte−ξ22tdξ\begin{gathered} \int_{\mathbb{R}^{1}} f(\xi) E^{W}[\delta_{x(t)}(\mathrm{d} \xi)]=E^{W}[f(x(t))] \\ \quad=\int_{\mathbb{R}^{1}} f(\xi) \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \mathrm{e}^{-\frac{\xi^{2}}{2} t} \mathrm{~d} \xi \end{gathered} ∫R1f(ξ)EW[δx(t)(dξ)]=EW[f(x(t))]=∫R1f(ξ)2πt1e−2ξ2t dξ

转移概率密度：如果我们把δ(a−ξ)\delta(a-\xi)δ(a−ξ)看成概率测度δa(dξ)\delta_{a}(d \xi)δa(dξ)的密度函数并引入记号
δt,ξ(x)=δ(x(t)−ξ),∀x∈C[0,T]\delta_{t, \xi}(x)=\delta(x(t)-\xi), \quad \forall x \in C[0, T]δt,ξ(x)=δ(x(t)−ξ),∀x∈C[0,T]
δt,ξ(x)\delta_{t, \xi}(x)δt,ξ(x)可以看成连续函数空间C[0,T]C[0, T]C[0,T]上的泛函。

δt,ξ(x)\delta_{t, \xi}(x)δt,ξ(x) 没有确切定义, 但EW[δt,ξ(x)]E^{W}\left[\delta_{t, \xi}(x)\right]EW[δt,ξ(x)]作为整体是有意义的，因为
EW[δt,ξ(x)]≜ddξEW[δx(t)(∙)]E^{W}\left[\delta_{t, \xi}(x)\right] \triangleq \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi} E^{W}\left[\delta_{x(t)}(\bullet)\right] EW[δt,ξ(x)]≜dξdEW[δx(t)(∙)]
可以将δt,ξ(x)\delta_{t,\xi}(x)δt,ξ(x)形式地定义成
δt,ξ(x)=12π∫−∞+∞e−iμ(x(t)−ξ)dμ\delta_{t, \xi}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-i \mu(x(t)-\xi)} \mathrm{d} \mu δt,ξ(x)=2π1∫−∞+∞e−iμ(x(t)−ξ)dμ
因为可以在形式上计算得到：
EW[δt,ξ(x)]=12πte−ξ22tE^{W}\left[\delta_{t,\xi}(x)\right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \mathrm{e}^{-\frac{\xi^{2}}{2t}} EW[δt,ξ(x)]=2πt1e−2tξ2
这就是EW[δx(t)(dξ)]E^{W}[\delta_{x(t)}(\mathrm{d} \xi)]EW[δx(t)(dξ)]关于Lebesgue测度的Radon-Nikodym导数。

注：将EW[δt,ξ(x)]E^{W}\left[\delta_{t,\xi}(x)\right]EW[δt,ξ(x)]作为一个整体, 定义成EW[δx(t)(dξ)]E^{W}\left[\delta_{x(t)}\left(\mathrm{d} \xi\right)\right]EW[δx(t)(dξ)] 的密度函数, 则上式有严格的含义.

2.2 Kolmogorov正向方程

引理1：证明思路下式先对Borel可测集的特征函数满足→\rightarrow→简单函数→\rightarrow→极限

设0<t⩽T,G(x)0 < t \leqslant T, G(x)0<t⩽T,G(x)为C[0,T]C[0, T]C[0,T]上Wiener可积函数, 则

EW[G(x)δx(t)(dξ)]E^{W}\left[G(x) \delta_{x(t)}(d \xi)\right]EW[G(x)δx(t)(dξ)]是R1\mathbb{R}^{1}R1上关于Lebesgue测度绝对连续的全有限广义测度;
对于任意的 R1\mathbb{R}^{1}R1上Borel可测函数fff, 等式
∫−∞+∞f(ξ)EW[G(x)δx(t)(dξ)]=EW[f(x(t))G(x)]\int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) E^{W}\left[G(x) \delta_{x(t)}(\mathrm{d} \xi)\right]=E^{W}[f(x(t)) G(x)] ∫−∞+∞f(ξ)EW[G(x)δx(t)(dξ)]=EW[f(x(t))G(x)]
在下述意义下相等: 如果两个积分中任意一个存在, 则另一个也存在, 并且二者相等。

引理2

设 0<s<t⩽T0 < s < t \leqslant T0<s<t⩽T, 设G(x)G(x)G(x)是Wiener可积函数, 而且G(x)G(x)G(x)只与函数xxx在[0,s][0, s][0,s]上的值有关, 则
EW[δt,ξ(x)G(x)]=∫−∞+∞EW[δt−s,ξ−η(x)]EW[δs,η(x)G(x)]dηE^{W}\left[\delta_{t,\xi}(x) G(x)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} E^{W}\left[\delta_{t-s, \xi-\eta}(x)\right] E^{W}\left[\delta_{s,\eta}(x) G(x)\right] \mathrm{d} \eta EW[δt,ξ(x)G(x)]=∫−∞+∞EW[δt−s,ξ−η(x)]EW[δs,η(x)G(x)]dη

引理1+引理2→\rightarrow→关于抛物型偏微分方程基本解的Donser-Lions定理

设V(ξ)V(\xi)V(ξ)是R1\mathbb{R}^{1}R1上下有界实值可积函数, 则
u(t,ξ)=EW[δt,ξ(x)e−∫0tV(x,s)ds]u(t, \xi)=E^{W}\left[\delta_{t, \xi}(x) e^{-\int_{0}^{t} V(x,s) d s}\right] u(t,ξ)=EW[δt,ξ(x)e−∫0tV(x,s)ds]
是下列偏微分方程
{∂u(t,ξ)∂t=12∂2u(t,ξ)∂ξ2−V(ξ)u(t,ξ)u(0,ξ)=δ(ξ)lim⁡ξ→±∞u(t,ξ)=0\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u(t, \xi)}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u(t, \xi)}{\partial \xi^{2}}-V(\xi) u(t, \xi) \\ u(0, \xi)=\delta(\xi) \\ \lim _{\xi \rightarrow \pm \infty} u(t, \xi)=0 \end{array}\right. ⎩⎨⎧∂t∂u(t,ξ)=21∂ξ2∂2u(t,ξ)−V(ξ)u(t,ξ)u(0,ξ)=δ(ξ)limξ→±∞u(t,ξ)=0
的解。

Kolmogorov正向方程（Fokker-Planck方程）Donser-Lions定理推论:
令p(t,η,ξ)=EW[δt,ξ−η(x)e−∫0tV(η+x(s))ds]p(t, \eta, \xi)=E^{W}[\delta_{t, \xi-\eta}(x) {e}^{-\int_{0}^{t} V(\eta+x(s)) d s}]p(t,η,ξ)=EW[δt,ξ−η(x)e−∫0tV(η+x(s))ds]
则 p(t,η,ξ)p(t, \eta, \xi)p(t,η,ξ)是下列偏微分方程
{∂p(t,η,ξ)∂t=12∂2p(t,η,ξ)−V(ξ)p(t,η,ξ)p(0,η,ξ)=δ(ξ−η)lim⁡ξ→±∞p(t,η,ξ)=0\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial p(t, \eta, {\xi})}{\partial t}=\frac{1}{2} \partial^{2} p(t, \eta, \xi)-V(\xi)p(t,\eta,\xi) \\ p(0, \eta, \xi)=\delta(\xi-\eta) \\ \lim _{\xi\rightarrow \pm \infty} p(t, \eta, \xi)=0 \end{array}\right.⎩⎨⎧∂t∂p(t,η,ξ)=21∂2p(t,η,ξ)−V(ξ)p(t,η,ξ)p(0,η,ξ)=δ(ξ−η)limξ→±∞p(t,η,ξ)=0
的解。

3.Feynman-Kac方程(由Fokker-Planck方程推出)

3.1. Feynman-Kac方程

引理：p(t,ξ,η)=p(t,η,ξ)p(t, \xi, \eta)=p(t, \eta, \xi)p(t,ξ,η)=p(t,η,ξ)

Feynman-Kac方程 设 V(ξ)V(\xi)V(ξ) 是下有界可积函数, f(ξ)f(\xi)f(ξ) 是一维有界可测函数, 则
u(t,ξ)=EWξ[f(x(t))e−∫0tV(x(s)))ds]u(t, \xi)=E^{W_\xi} \left[f(x(t)) {e}^{\left.-\int_{0}^{t} V(x (s))\right) d s}\right]u(t,ξ)=EWξ[f(x(t))e−∫0tV(x(s)))ds]
是下列偏微分方程
{∂u(t,ξ)∂t=12∂2u(t,ξ)∂ξ2−V(ξ)u(t,ξ)u(0,ξ)=f(ξ)\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u(t, \xi)}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u(t, \xi)}{\partial \xi^{2}}-V(\xi) u(t, \xi) \\ u(0, \xi)=f(\xi) \end{array}\right.{∂t∂u(t,ξ)=21∂ξ2∂2u(t,ξ)−V(ξ)u(t,ξ)u(0,ξ)=f(ξ)
的解。

证明：由 WξW_{\xi}Wξ 的定义可得, 对于空间C[0,T]C[0, T]C[0,T]上的泛函FFF, 等式
EWξ[F(x)]=Ew[F(x+ξ)]E^{W_\xi}[F(x)]=E^{w}[F(x+\xi)] EWξ[F(x)]=Ew[F(x+ξ)]
在下述意义下相等: 等号两边中任意一个存在, 另一个必有意义, 而且两者相等。于是
u(t,ξ)=EW[f(ξ+x(t))e−∫0tV(ξ+x(t))ds]=∫−∞+∞f(η)p(t,ξ,η)dη=∫−∞+∞f(η)p(t,η,ξ)dη\begin{aligned} u(t, \xi) &=E^{W}\left[f(\xi+x(t)) \mathrm{e}^{-\int_{0}^{t} V(\xi+x(t)) ds}\right] \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\eta) p(t, \xi, \eta) \mathrm{d} \eta \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\eta) p(t, \eta, \xi) \mathrm{d} \eta \end{aligned} u(t,ξ)=EW[f(ξ+x(t))e−∫0tV(ξ+x(t))ds]=∫−∞+∞f(η)p(t,ξ,η)dη=∫−∞+∞f(η)p(t,η,ξ)dη
由 Kolmogorov正向方程（Fokker-Planck方程） 可得定理成立。

3.2. 高维Feynman-Kac方程

以上我们只考虑有限区间 [0,T][0, T][0,T] 上全体连续函数组成的空间中的Wiener测度以及关于Wiener测度的积分。

对于Banach空间C[0,∞)C[0, \infty)C[0,∞)可类似地构造Wiener测度

用R\mathscr{R}R表示所有下列柱集组成的代数:
I={x∈C[0,∞)∣(x(t1),x(t2),⋯,x(tn))∈E}I=\left\{x \in C[0, \infty) \mid\left(x\left(t_{1}\right), x\left(t_{2}\right), \cdots, x\left(t_{n}\right)\right) \in E\right\} I={x∈C[0,∞)∣(x(t1),x(t2),⋯,x(tn))∈E}
其中n∈Z+,0<t1<t2<⋯<tn<∞,E∈Bn \in \mathbf{Z}_{+}, 0 < t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{n} < \infty, E \in \mathscr{B}n∈Z+,0<t1<t2<⋯<tn<∞,E∈B, B\mathscr{B}B表示空间C[0,∞)C[0, \infty)C[0,∞)的Borel域.

易证由R\mathscr{R}R生成的最小σ\sigmaσ代数σ(R)=B\sigma(\mathscr{R})=\mathscr{B}σ(R)=B. 定义R\mathscr{R}R 上的有限可加测度WWW, 可知WWW是B\mathscr{B}B上完全可加伿度。于是它可以唯一地拓张成(C[0,∞),B)(C[0, \infty), \mathscr{B})(C[0,∞),B)上的概率测度, 还用WWW记这个测度, 称为(C[0,∞),B)(C[0, \infty), \mathscr{B})(C[0,∞),B)上的Wiener测度。易知,
supp⁡W={x∈C[0,∞)∣x(0)=0}\operatorname{supp} W=\{x \in C[0, \infty) \mid x(0)=0\} suppW={x∈C[0,∞)∣x(0)=0}
定义(C[0,∞),B)(C[0, \infty), \mathscr{B})(C[0,∞),B)上从ξ\xiξ出发的Wiener测度WξW_{\xi}Wξ, 此时
supp⁡Wξ={x∈C[0,∞)∣x(0)=ξ}\operatorname{supp} W_{\xi}=\{x \in C[0, \infty) \mid x(0)=\xi\} suppWξ={x∈C[0,∞)∣x(0)=ξ}

对于Banach空间 C([0,∞),Rd)C\left([0, \infty), \mathbb{R}^{d}\right)C([0,∞),Rd), 也可以引入Wiener测度。

设 x=(x1,x2,⋯,x2)∈C([0,∞),Rd)x=\left(x^{1}, x^{2}, \cdots, x^{2}\right) \in C\left([0, \infty), \mathbb{R}^{d}\right)x=(x1,x2,⋯,x2)∈C([0,∞),Rd), 则定义ddd维-Wiener测度为
W(dx)=W(dx1)×W(dx2)×⋯×W(dxd)W(\mathrm{d} x)=W\left(\mathrm{d} x^{1}\right) \times W\left(\mathrm{d} x^{2}\right) \times \cdots \times W\left(\mathrm{d} x^{d}\right) W(dx)=W(dx1)×W(dx2)×⋯×W(dxd)
于是在WWW下每个分量xix^{i}xi具有一维Wiener 分布, 而且各分量相互独立.

Feynman-Kac方程和Fokker-Planck方程：前面介绍的Feynman-Kac方程和Fokker-Planck方程的Wiener积分都是对任意给定的 TTT, 关于C[0,T]C[0, T]C[0,T]上Wiener测度作的积分. 它们是相应的微分方程在0⩽t<T0 \leqslant t < T0⩽t<T中的解，这些积分是关于 C[0,∞)C[0, \infty)C[0,∞) 上Wiener 测度W作的积分, 于是它们作为相应微分方程的解在 0⩽t<∞0 \leqslant t < \infty0⩽t<∞ 上成立.

下面是高维情形时的Feynman-Kac 公式

高维Feynman-kac: 设 V(ξ)V(\xi)V(ξ) 是 Rd\mathrm{R}^{d}Rd 上下有界可积函数, f(ξ)f(\xi)f(ξ) 是 Rd\mathbf{R}^{d}Rd 上有界可测函数. 记 WξW_{\xi}Wξ为 C([0,∞),Rd)C\left([0, \infty), \mathbf{R}^{d}\right)C([0,∞),Rd) 上从 ξ\xiξ 出发的 ddd 维 Wiener 测度, 则
u(t,ξ)=EWξ[f(x(t))e−∫0tV(x(s))ds]u(t, \xi)=E^{W_\xi}\left[f(x(t)) \mathrm{e}^{-\int_{0}^{t} V(x(s)) ds} \right] u(t,ξ)=EWξ[f(x(t))e−∫0tV(x(s))ds]
是下列偏微分方程
{∂u(t,ξ)∂t=12Δu(t,ξ)−V(ξ)u(t,ξ),t>0u(0,ξ)=f(ξ)\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u(t, \xi)}{\partial t}=\frac{1}{2} \Delta u(t, \xi)-V(\xi) u(t, \xi), t>0 \\ u(0, \xi)=f(\xi) \end{array}\right. {∂t∂u(t,ξ)=21Δu(t,ξ)−V(ξ)u(t,ξ),t>0u(0,ξ)=f(ξ)
的解, 其中Δ=∑j=1d∂2∂ξj2\Delta=\sum_{j=1}^{d} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi_{j}^{2}}Δ=∑j=1d∂ξj2∂2是关于ξ\xiξ的Laplace算子.

参考文献：

[1]无限维空间上的测度和积分-抽象调和分析(夏道行)
[2]泛函分析讲义,张恭庆
[3]随机分析学基础, 黄志远