文章目录

1 INTRODUCTION
2 PRELIMINARIES
- 2.1 文献综述
- 2.2 对现有的约束处理方法的挑战
3 PROPOSED ALGORITHM
- 3.1 密度估计方法
- 3.2 CA的更新机制
- 3.3 DA的更新机制
- 3.4 后代繁殖
4 EXPERIMENTAL SETUP
- 4.1 基准函数
- 4.2 指标
5 EMPIRICAL STUDIES
6 CONCLUSION
7 REFERENCES

摘要在求解约束多目标优化问题时，一个重要的问题是如何同时兼顾收敛、多样性和可行性。针对这一问题，提出了一种无参数约束处理技术–两档案进化算法，用于有约束的多目标优化问题。它同时维护两个协同档案：一个是推动种群走向帕累托前沿的驱动力，称为收敛导向档案（convergence-oriented archive）；另一个是主要倾向于维持种群多样性的多样性导向档案(diversity-oriented archive)。特别是，为了补充CA的行为并提供尽可能多的多样化信息，DA旨在探索CA未充分开发的区域，包括不可行的区域。为了利用这两种档案的互补作用，我们开发了一种受限的交配选择机制，根据它们的进化状态自适应地从它们中选择合适的交配亲本。在一系列测试函数上的复杂实验和一个真实世界的案例研究充分证明了我们提出的算法相对于五种最先进的约束进化多目标优化器的竞争力。

1 INTRODUCTION

有约束的多目标问题（CMOP）可以描述为：
minimizeF(x)=(f1(x),f2(x),...,fm(x))Tsubjecttogi(x)≥aj,j=1,2,...,qhi(x)=bj,j=q+1,...,ℓx∈Ω\begin{aligned} minimize \ \ &\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=(f_1(\boldsymbol{x}),f_2(\boldsymbol{x}),...,f_m(\boldsymbol{x}))^T \\ subject \ \ to\ \ &g_i(\boldsymbol{x})\ge a_j, \ \ j=1,2,...,q \\ &h_i(\boldsymbol{x})= b_j,j=q+1,...,\ell \\ &\boldsymbol{x}\in \varOmega \end{aligned} minimize subject to F(x)=(f1(x),f2(x),...,fm(x))Tgi(x)≥aj, j=1,2,...,qhi(x)=bj,j=q+1,...,ℓx∈Ω x\boldsymbol{x}x对第jjj个约束条件的违反程度计算方法为：
cj(x)={<gi(x)/aj−1>,j=1,...,q<∣hj(x)/bj−1∣−ϵ>,j=q+1,...,ℓc_j\left( \boldsymbol{x} \right) =\begin{cases} \left< g_i\left( \boldsymbol{x} \right) /a_j-1 \right> ,&j=1,...,q\\ \left< \left| h_j\left( \boldsymbol{x} \right) /b_j-1 \right|-\epsilon \right> ,&j=q+1,...,\ell\\ \end{cases} cj(x)={⟨gi(x)/aj−1⟩,⟨∣hj(x)/bj−1∣−ϵ⟩,j=1,...,qj=q+1,...,ℓ ϵ\epsilonϵ是一个容忍项，可以将等式约束放松为不等式约束。<⋅>\left< \cdot \right>⟨⋅⟩表示当括号内大于等于零时函数值为0，否则函数值为负数。因此x\boldsymbol{x}x整体的违反程度为：
CV(x)=∑j=1ℓcj(x)CV(\boldsymbol{x})=\sum_{j=1}^{\ell}{c_j\left( \boldsymbol{x} \right)} CV(x)=j=1∑ℓcj(x)当 CV(x)=0CV(\boldsymbol{x})=0CV(x)=0 时说明x\boldsymbol{x}x是可行的，否则x\boldsymbol{x}x不可行。
给定两个可行解x1,x2∈Ω\boldsymbol{x}^{1},\boldsymbol{x}^2\in \varOmegax1,x2∈Ω，若在任一目标函数上F(x1)F(\boldsymbol{x}^{1})F(x1)都不差于F(x2)F(\boldsymbol{x}^{2})F(x2)，且至少在一个目标上完全优于F(x2)F(\boldsymbol{x}^{2})F(x2)，则称x1\boldsymbol{x}^1x1支配x2\boldsymbol{x}^2x2（x1⪯x2\boldsymbol{x}^{1} \preceq\boldsymbol{x}^{2}x1⪯x2）。若∄x∈Ω\nexists\boldsymbol{x}\in\varOmega∄x∈Ω 使得x⪯x∗\boldsymbol{x}\preceq\boldsymbol{x^*}x⪯x∗，则称x∗\boldsymbol{x^*}x∗是帕累托最优解（Pareto-optimal），所有帕累托最优解的集合称为帕累托解集（Pareto set;PS）,帕累托前沿面（Pareto front;PF）定义为：PF={F(x)∣x∈PS}PF=\left\{ \boldsymbol{F(x)}| \boldsymbol{x}\in PS \right\}PF={F(x)∣x∈PS}。
一般而言，收敛性、多样性和可行性是CMOP的三个基本问题。大多数现有的约束处理技术在考虑可行域内的收敛和多样性之间的平衡之前，首先倾向于将种群尽可能地留在可行域。但这可能会导致种群陷入局部最优或局部可行域，特别是当可行域很窄或在搜索空间中分布不均匀时。
在本文中我们提出了一种两阶段进化算法（C-TAEA）,同时维持两个协作互补的档案：一个是收敛导向档案（CA），一个是多样性导向档案（DA）。C-TAEA主要的特点如下：
1）正如名字所示，CA是进化过程中保证解的收敛性和可行性的主导力量，它能够使解接近PF。
2）相比之下，DA在没有考虑可行性的情况下，主要倾向于保持进化过程的收敛性和多样性。特别是，DA探索了CA尚未开发的领域。这不仅提高了CA在当前搜索的可行域内的种群多样性，而且有助于跳出局部最优或局部可行域。
3）为了利用这两个协作档案的互补效应和精英信息，我们提出了一种受限的交配选择机制，根据CA和DA的进化状态分别从CA和DA中选择合适的交配亲本。
本文的其余部分组织如下：第二节简要概述了为解决CMOP的最新的进化算法，然后引出了我们的动机。第三节介绍了所提出算法的技术细节。在第四节和第五节中，对所提出的算法的有效性和竞争力进行了实证研究，并在不同的基准问题上与五种最新的约束EMO算法进行了比较。最后，第六节对全文进行了总结，并对今后的发展方向提出了设想。

2 PRELIMINARIES

2.1 文献综述

多目标优化中现有的约束处理技术的思想可以分为以下三类：
第一类主要是由可行性主导的，其中可行方案总是被赋予更高的优先级以生存到下一次迭代。在1990年的算法[13]中对约束的重视程度高于对目标函数的重视程度，这导致了对可行解决方案的搜索优先于最佳解决方案。还有一些算法[14]直接忽视不可行解，这样的算法在遇到狭窄的可行域时会产生很多问题。后来Deb[2]等人提出了一种带约束的支配关系。即只要满足以下条件就称x1\boldsymbol{x}^1x1支配x2\boldsymbol{x}^2x2：1）x1\boldsymbol{x}^1x1可行而x2\boldsymbol{x}^2x2不可行；2）二者都不可行但CV(x1)<CV(x2)CV(\boldsymbol{x}^1)<CV(\boldsymbol{x}^2)CV(x1)<CV(x2)；3）二者都可行且x1≺x2\boldsymbol{x}^1\prec\boldsymbol{x}^2x1≺x2。在现有的NSGA-II和NSGA-III的基础上使用该支配关系接可以解决CMOP问题。借用此想法，几个MOEA/D变体[15]-[17]在子问题更新过程中使用CV作为替代标准。与文献[2]不同，Oyama et al[18]提出了一种改进的支配关系，根据该关系，优先选择违反较少约束的解。为了改善不可行解的可解释性，Takahama和Sakai[19]以及Martínez和Coello[20]提出了一种ϵ−constrained\epsilon-constrainedϵ−constrained支配关系，其中当两个解的CV之差小于阈值ϵ\epsilonϵ时，两个解违反约束的程度相同，特别的是，该阈值可以根据种群中可行解的比例自适应地调整。Asafuddoula等人[21]提出了一种自适应约束处理方法：当不可行解的CV值小于阈值时，将不可行解视为可行解。同样，Fan等人[22]也提出了类似的观点：基于角度的约束支配原理，即当两个不可行解的角度大于某一阈值时，两个不可行解被认为是彼此非支配的。
第二类是在搜索过程中平衡收敛和可行性。Jiménez等人[23]提出了一个最小-最大公式，该公式驱动可行解向最优解进化，并驱动不可行解向可行性进化。Ray等人[24]提出了一种Ray-Tai-Seow算法，该算法使用三种不同的方法对非支配解进行比较和排序。具体地说，第一排序过程是根据对目标函数的排序，第二种是根据不同的约束条件进行的；第三种是基于目标值和约束条件的组合。基于同样的严密性，Young[25]提出了一种约束优势关系，该关系根据目标空间和约束空间的混合排序来比较解。Angantyr等人[26]也提出了类似的方法，使用目标空间和约束空间中的等级的加权平均排名。[5]提出了一种新的CMO约束处理技术：将CMOP的每个原始目标函数转换为距离度量和惩罚函数的和。特别地，将改进的目标函数用于NSGA-II的非支配排序过程中，可以在可行域和不可行域中搜索最优解。为了提高种群的多样性，Li et al.[27]提出了一种方法：保留孤立的不可行解。为了利用包含在不可行解中的有用信息，Peng et al.[28]提出使用一组分布在不可行域中的不可行权重来保留大量多样性较高的不可行解。Ning et al.[29]提出了一种约束非支配排序方法，该方法根据解的Pareto排序和约束的排序得到解的约束非支配排序.。在[30]中，提出了一种对偶进化，其中不可行粒子向可行粒子进化，可行粒子向PF进化。
最后一类试图将不可行解修复为可行解。例如，Harada等人[31]提出了一种所谓的Pareto下降修复算子，它在约束空间中探索不可行解附近可能的可行解。然而，在实际应用中，梯度信息通常是不可用的。Singh等人[32]建议使用模拟退火法来加快从不可行解向可行解的移动过程。焦立中等人[33]提出了一种可行引导策略，其中可行方向被定义为从一个不可行解开始到其最近可行解的一个向量。然后，通过利用可行方向提供的信息，将不可行解引导到可行域。

2.2 对现有的约束处理方法的挑战

通过对上述文献的回顾，我们发现大多数多目标优化中的约束处理技术过于强调可行性的重要性，而很少同时考虑收敛、多样性和可行性之间的平衡。当遇到复杂的约束时，这可能会导致搜索无效。
以文献[15]中的测试问题C1-DTLZ3为例，它的目标函数与[34]的DTLZ3相同，约束条件为：
c(x)=(∑i=1mfi(x)2−16)(∑i=1mfi(x)2−r2)\text{c}\left( \mathbf{x} \right) =\left( \sum_{i=1}^m{f_i\left( \mathbf{x} \right) ^2-16} \right) \left( \sum_{i=1}^m{f_i\left( \mathbf{x} \right) ^2}-r^2 \right) c(x)=(i=1∑mfi(x)2−16)(i=1∑mfi(x)2−r2)下图显示了当r=6r=6r=6时MOEA/D和NSGA-III的运算结果。由于可行域与不可行域交织在一起，所哟当解离开可行边界，CV值就会增大。因此可行性主导的结果就是解只能停留在外层可行边界。

文献[15]中的测试问题C2-DTLZ2为例，它的目标函数与[34]的DTLZ2相同，约束条件为：
c(x)=max⁡{max⁡mi=1[(fi(x)−1)2+∑j=1,j≠imfj2−r2][∑i=1m(fi(x)−1m)2−r2]}\begin{aligned} \text{c}\left( \mathbf{x} \right) =\max \left\{ \underset{i=1}{\overset{m}{\max}}\left[ \left( f_i\left( \mathbf{x} \right) -1 \right) ^2+\sum_{j=1,j\ne i}^m{f_{j}^{2}}-r^2 \right] \left[ \sum_{i=1}^m{\left( f_i\left( \mathbf{x} \right) -\frac{1}{\sqrt{m}} \right) ^2}-r^2 \right] \right\} \end{aligned} c(x)=max⎩⎨⎧i=1maxm⎣⎡(fi(x)−1)2+j=1,j=i∑mfj2−r2⎦⎤[i=1∑m(fi(x)−m1)2−r2]⎭⎬⎫下图给出了该例子的图示，其中可行区域在PF上是不连续的。如果每个可行部分较小，则可行性驱动的策略将很容易陷入部分可行。此外，最先进的基于分解的EMO算法中使用的权重向量，例如C-MOEA/D和C-NSGA-III，如果它们的大小足够小，则很可能没有一个穿过这些可行段。这给基于分解的EMO算法寻找可行解带来了很大的困难。如图所示的结果完全验证了我们的断言，当我们将r设置为相对较小的值(例如0.1时)时，C-MOEA/D和C-NSGA-III都无法在所有三个可行部分上找到帕累托最优解。

在这些讨论的基础上，我们发现过度使用可行性信息会限制受限EMO算法的搜索能力。在第三节中，我们将演示如何使用两个归档策略平衡在整个搜索空间中同时实现收敛、多样性和可行性。特别是，我们发现，合理利用不可行信息有助于解决勘探和开采之间的两难境地。

3 PROPOSED ALGORITHM

我们提出的C-TAEA的总体流程图如下图所示。顾名思义，C-TAEA保留两个协作档案，CA和DA，每个档案都有相同的固定大小NNN。具体来说，CA起主要作用，负责将种群导向可行域并接近PF；DA作为补充，主要用于探索CA开发不足的区域。值得注意的是，为了提供尽可能多的多样化信息，DA的更新不考虑可行性信息。在繁殖过程中，交配亲本根据其进化状态分别从CA和DA中选择，如第III-D节所述。然后，根据第III-B节和第III-C节分别描述的机制，使用子代来更新CA和DA。

3.1 密度估计方法

在解释C-TAEA中CA和DA的更新机制之前，我们首先介绍了对这两种情况都有用的密度估计方法。为了便于密度估计，我们借鉴了MOEA/D-M2M[35]的思想，将目标空间划分为NNN个子区域，每个子区域由标准单纯形上唯一权向量表示。特别地，我们使用我们先前提出的可扩展到多目标场景的权重向量生成方法[27]来采样一组均匀分布的权重向量，即W={w1,...,wN}\text{W}= \left\{\text{w}^1,..., \text{w}^N\right\}W={w1,...,wN}。具体地说，一个子区域Δi\Delta ^iΔi，其中i∈{1,...,N}i\in\left\{1,...,N\right\}i∈{1,...,N}，它的定义为：
Δi={F(x)∈Rm∣<F(x),wi>≤<F(x),wj>}\Delta ^i = \left\{ \mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)\in \mathbb{R}^m|\left<\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right),\text{w}^i \right>\le\left<\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right),\text{w}^j \right> \right\} Δi={F(x)∈Rm∣⟨F(x),wi⟩≤⟨F(x),wj⟩} 其中j∈{1,...,N}j\in\left\{1,...,N\right\}j∈{1,...,N}，<F(x),w>\left<\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right),\text{w} \right>⟨F(x),w⟩表示F(x)\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)F(x)与w\text{w}w之间的锐角。建立子区域后，种群中的每个解x\mathbf{x}x都与下指标如下的子区域对应联系：
k=argmin⁡i∈{1,...,N}<Fˉ(x),wi>k=\underset{i\in \left\{ 1,...,N \right\}}{arg\min}\left< \mathbf{\bar{F}}\left( \mathbf{x} \right) ,\mathbf{w}^i \right> k=i∈{1,...,N}argmin⟨Fˉ(x),wi⟩这里Fˉ(x,t)\mathbf{\bar{F}}\left( \mathbf{x},t\right)Fˉ(x,t)是归一化的x\mathbf{x}x的目标向量，其第iii个目标函数的计算方法为：
fiˉ(x)=fi(x)−zi∗zinad−zi∗\bar{f_i}\left( \mathbf{x}\right)=\frac{f_i\left( \mathbf{x} \right) -z_i^*}{z_{i}^{nad}-z_i^*} fiˉ(x)=zinad−zi∗fi(x)−zi∗其中i∈{1,...,N}i\in\left\{1,...,N\right\}i∈{1,...,N}，zi∗=minx∈Sfi(x)z_i^*=min_{\mathbf{x}\in S}f_i(\mathbf{x})zi∗=minx∈Sfi(x)，zinad=maxx∈Sfi(x)z_i^{nad}=max_{\mathbf{x}\in S}f_i(\mathbf{x})zinad=maxx∈Sfi(x)，SSS指当前解所在的解集。
算法1给出了该关联过程的伪代码。将解与子区域关联后，子区域的密度被计算为与其关联的解的个数。
Algorithm 1:关联过程
Input：解集SSS，权重向量集WWW
Output：子区域Δ1,...,ΔN\Delta ^1,...,\Delta ^NΔ1,...,ΔN
Step 1) Δ1←∅\Delta ^1\gets \emptysetΔ1←∅,…,ΔN←∅\Delta ^N\gets \emptysetΔN←∅
Step 2) 对每一个x∈S\mathbf{x}\in Sx∈S，以及每一个w∈W\mathbf{w}\in Ww∈W都计算：
d⊥(x,w)=x−wTx/∥w∥d^{\bot}\left( \mathbf{x,w} \right) =\mathbf{x}-\mathbf{w}^{\mathbf{T}}\mathbf{x/}\lVert \mathbf{w} \rVert d⊥(x,w)=x−wTx/∥w∥Step 3) 令k←argmin⁡w∈Wd⊥(x,w)k\gets \underset{\mathbf{w} \in W}{arg\min}d^{\bot}\left( \mathbf{x,w} \right)k←w∈Wargmind⊥(x,w)
Step 4) Δk←Δk∪{x}\Delta ^k\gets \Delta ^k\cup \left\{\mathbf{x}\right\}Δk←Δk∪{x}
Step 5) 最后输出Δ1,...,ΔN\Delta ^1,...,\Delta ^NΔ1,...,ΔN
注意：伪代码中的x\mathbf{x}x实际指目标空间中的解，也就是上文中的F(x)\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)F(x)。
简述版：用[35]MOEA/D-M2M中的方法将目标空间分为 NNN个子空间Δ1,...,ΔN\Delta ^1,...,\Delta ^NΔ1,...,ΔN，再用[2]中的方法生成均匀分布的权重向量集WWW，对解集中的每个解F(x)\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)F(x)求出与其夹角最小的权重向量wk\mathbf{w}^kwk，将该解分配到Δk\Delta ^kΔk。

3.2 CA的更新机制

CA的作用与参考文献中其他有约束的EMO算法相似。它首先将种群尽可能地推向可行域，然后试图在可行域内平衡收敛性和多样性。算法2给出了CA更新机制的伪代码。具体来说，我们首先形成混合种群HCH_CHC，即 CA 和子代QQQ的组合。HCH_CHC中的可行解被储存到临时档案SCS_CSC中(算法2的第3-5行)。之后，后续的程序取决于SCS_CSC的大小。

1）若SCS_CSC的大小等于NNN，即提前设定的CA的大小，则SCS_CSC就是新的CA，此次更新程序终止。
2）若∣SC∣>N\left| S_C\right|>N∣SC∣>N，我们使用[2]中的快速非支配排序方法，将SCS_CSC分为不同的非支配等级：F1F_1F1、F2F_2F2等。从F1F_1F1开始，依次选择每个非支配等级构成临时档案SSS直至档案大小等于NNN或超过NNN。如果我们将最后一个可接受的非支配水平表示为FlF_lFl，则属于Fl+1F_{l+1}Fl+1以后的解不再被考虑。需要注意的是，如果SSS的大小等于NNN，则SSS可以用作新的CA；否则，我们将S中的每个解与其对应的子区域相关联，并计算SSS的密度信息，依次删去最拥挤区域的最差解，直到SSS的大小等于NNN(算法2的第11-21行)。值得注意的是，为了改善一个分区域内的人口多样性，我们提出了以下过程来确定最差解xw\mathbf{x}^wxw。首先，我们计算Δi\Delta ^iΔi内每个个体x\mathbf{x}x与其最近点的距离：
dist(x)=min⁡x′∈Δi,x≠x′∥x−x′∥dist(\mathbf{x})=\underset{\mathbf{x'}\in \mathbf{\Delta }^i,\mathbf{x}\ne \mathbf{x'}}{\min}\lVert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \rVert dist(x)=x′∈Δi,x=x′min∥x−x′∥具有最小距离的解被储存在临时档案StS_tSt中，而xw\mathbf{x}^wxw的定义如下：
xw=argmaxx∈St{gtch(x∣wi,z∗)}\mathbf{x}^w=\underset{\mathbf{x}\in S_t}{argmax}\left\{ g^{tch}(\mathbf{x}|\mathbf{w}^i,\mathbf{z^*})\right\} xw=x∈Stargmax{gtch(x∣wi,z∗)}这里，
gtch(x∣wi,z∗)=max1≤j≤m{∣fj(x)−zj∗∣/wji}g^{tch}(\mathbf{x}|\mathbf{w}^i,\mathbf{z^*})=\underset{1\le j\le m}{max}\left\{\left|f_j(\mathbf{x})-z_j^*\right|/w_j^i \right\} gtch(x∣wi,z∗)=1≤j≤mmax{∣∣fj(x)−zj∗∣∣/wji}
3）若∣SC∣<N\left| S_C\right|<N∣SC∣<N，我们求解如下双目标优化问题：
minimizeF(x)=(f1(x),f2(x))Twhere{f1(x)=CV(x)f2(x)=gtch(x∣wi,z∗)minimize \ \ \mathbf{F}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x})\right)^T \\ where \begin{cases} f_1(\mathbf{x})=CV(\mathbf{x}) \\ f_2(\mathbf{x})=g^{tch}(\mathbf{x}|\mathbf{w}^i,\mathbf{z}^*) \\ \end{cases} minimize F(x)=(f1(x),f2(x))Twhere{f1(x)=CV(x)f2(x)=gtch(x∣wi,z∗)
在上述问题的基础上，用快速非支配排序的方法将HCH_CHC中的不可行解划分为几个非支配等级，前几个级别的解在CA中有更高的优先级，多余的解根据其CV进行删除，CV值较大的优先删除。这些操作都是为了进一步平更收敛性、多样性和可行性。
简述版：每次迭代都从上一代CA和本次生成的子代Q形成HCH_CHC中选择。首先选出HCH_CHC中可行的解放入SCS_CSC，接下来讨论SCS_CSC与N大小不同时的情况：∣SC∣=N\left| S_C\right|=N∣SC∣=N时，CA←SC\gets S_C←SC；∣SC∣>N\left| S_C\right|>N∣SC∣>N时，首先对SCS_CSC中的解进行非支配排序得到{F1,F2,...}\left\{F_1,F_2,...\right\}{F1,F2,...}，依次将其放入一个暂时的集合SSS直至∣S∣=N\left| S\right|=N∣S∣=N，若出现了∣S∣>N\left| S\right|>N∣S∣>N的情况，则对此时SSS中的x\mathbf{x}x对应的F(x)\mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)F(x)进行归一化后分到不同的子空间（3.1中的方法），选出最拥挤的子空间并计算其中每个解与最近邻的距离，距离最小的称之为最差解，优先删除，每删除一个解后重新检查此时∣S∣>N\left| S\right|>N∣S∣>N是否仍成立，若仍成立，则继续判断最拥挤的子空间是否发生变化，再计算该子空间中每个解计算最近邻，循环直至∣S∣=N\left| S\right|=N∣S∣=N。∣SC∣<N\left| S_C\right|<N∣SC∣<N时，从HCH_CHC中不可行解中选择非支配解排序靠前的补全CA，如果在非支配解排序过程中又出现∣S∣>N\left| S\right|>N∣S∣>N的情况，仍是依次删除最差解，此时最差解的评判标准是CV值的大小，CV越大则解越差。

3.3 DA的更新机制

与CA不同，DA的目的是维持解的多样性。它的更新机制有两个特点：1)它没有考虑约束；2)它以最新的CA作为参考集，探索CA的未开发区域来补充CA。算法3给出了这种更新过程的伪代码。

具体而言，类似于3.2节，我们首先将DA与子代种群QQQ相结合，以形成混合种群HdH_dHd。然后，按照3.1节(算法3的第1-3行)中介绍的方法，将HdH_dHd中的每个解和最新的CA分别与其对应的子区域相关联。然后，我们依次研究每个子区域，并决定HdH_dHd中的解是否保留在DA中。每个子区域在第itritritr次迭代中最多保留itritritr个解，对于当前子区域Δi\Delta^iΔi，i∈{1,...,N}i\in\left\{1,...,N\right\}i∈{1,...,N}，如果在Δi\Delta^iΔi的CA中已经存在itritritr个解，则在此迭代过程中，HdH_dHd中的解将不会留在Δi\Delta^iΔi中。否则，将选择与Δi\Delta^iΔi相关的HdH_dHd中最好的非支配解，表示为Oi\mathbf{O}^iOi，并将其选入新的DA(算法3的第10-12行)。这里，最优解xb\mathbf{x}^bxb被定义为：
xb=argminx∈Oi{gtch(x∣wi,z∗)}\mathbf{x}^b=\underset{\mathbf{x}\in O_i}{argmin}\left\{ g^{tch}(\mathbf{x}|\mathbf{w}^i,\mathbf{z^*})\right\} xb=x∈Oiargmin{gtch(x∣wi,z∗)}直至DA被填满。

3.4 后代繁殖

两个档案之间的互动和合作是C-TAEA中至关重要的一步。除了CA和DA的更新机制的互补行为外，促成这种合作的另一个因素是受限制的交配选择。一般来说，它的主要目的是利用这两个档案的精英信息进行后代繁殖。算法4提供了该受限交配选择过程的伪代码。

具体地说，我们首先将CA和DA组合成复合集HmH_mHm。然后，我们分别评估CA和DA的非支配解在HmH_mHm中的比例(算法4的第2行和第3行)。如果ρc>ρd\rho_c>\rho_dρc>ρd，则CA的收敛状态好于DA。因此，第一个交配亲本是从CA中选择的；否则，它来自DA(算法4的第4-7行)。至于另一个交配亲本，它是从CA还是DA中选择，取决于非支配解在CA中的比例。CA拥有的非支配解越多，它被选为交配池的机会就越大。如算法4的第5-11行所示，我们使用二进制锦标赛选择来选择交配亲本。

如算法5所示，与[2]中提出的算法相同，该锦标赛选择过程是可行性驱动的。具体来说，如果随机选择的候选者都是可行的，则根据帕累托优势进行选择；如果只有一个可行，则选择可行的；否则，以随机的方式选择交配亲本。一旦选择了交配的双亲，我们就使用流行的模拟二进制交叉[36]和多项式突变[37]来繁殖后代。原则上，只需稍加修改即可应用任何其他复制操作符。

4 EXPERIMENTAL SETUP

在讨论实证结果之前，这一部分简要介绍了我们的实证研究中用于同行比较的基准问题、性能指标和最新的约束EMO算法。

4.1 基准函数

从文献[15]中选取了5个约束测试问题(即C1-DTLZ1/DTLZ3、C2-DTLZ2和C3-DTLZ1/DTLZ4)和6个新提出的测试问题(DC1-DTLZ1/DTLZ3、DC2DTLZ2/DTLZ4和DC3-DTLZ1/DTLZ4)组成了基准测试集。所有这些测试问题都可以扩展到任意数量的目标，其中我们在这里设置了m∈{3,5,8,10,15}m\in\left\{3,5,8,10,15\right\}m∈{3,5,8,10,15}。补充材料的第一节给出了这些测试问题的详细描述，包括数学定义和性质。

4.2 指标

选择了两个广泛使用的度量来评估不同算法的性能。
1）Inverted Generational Distance（IGD）：设 P∗P^*P∗是在PF上均匀采样的一组点，PPP是EMO算法求得的解集，则PPP的IGD值为：
IGD(P,P∗)=∑z∈P∗dist(z,P)∣P∗∣IGD(P,P^*)=\frac{\sum_{\mathbf{z}\in P^*}{dist\left( \mathbf{z},P \right)}}{\left| P^* \right|} IGD(P,P∗)=∣P∗∣∑z∈P∗dist(z,P)
其中，dist(z,P)dist\left( \mathbf{z,}P \right)dist(z,P)表示z\mathbf{z}z与PPP中最近点的欧氏距离。
2）Hypervolume (HV)：设zr=(z1r,...,zmr)T\mathbf{z}^r=\left(z_1^r,...,z_m^r \right)^Tzr=(z1r,...,zmr)T是可以被所有帕累托最优目标向量支配的最差解，PPP的HV值为目标空间中由PPP和zr\mathbf{z}^rzr围成的体积：
HV(P)=VOL(⋃z∈P[z1,z1r]×...×[zm,zmr])HV(P)=VOL(\bigcup_{z\in P}{\left[ z_1,z_{1}^{r} \right] \times ...\times \left[ z_m,z_{m}^{r} \right]}) HV(P)=VOL(z∈P⋃[z1,z1r]×...×[zm,zmr])
其中，VOL表示勒贝格测度。
较小的IGD和较大的HV表示解更接近PF。

5 EMPIRICAL STUDIES

6 CONCLUSION

本文针对约束多目标优化问题，提出了一种无参数约束处理技术C-TAEA。在C-TAEA中，我们同时维护两个协作档案。具体地说，一种被称为CA，主要关注于推动人口向PF靠拢；另一种，被称为DA，主要倾向于探索CA未被开发的区域(即使是那些不可行的区域)，从而提供更多样化的信息。在这种情况下，CA和DA具有不同的行为和互补的作用。特别是，它们通过一种有限的交配选择机制相互补充，该机制为后代繁殖选择互补的交配亲本。C-TAEA的性能已经在一系列基准问题上进行了调查，这些问题具有各种类型的约束和多达15个目标。实验结果充分证明了该算法在CMOP上的竞争力，并与五种最新的约束EMO算法进行了比较。除了人工基准问题外，C-TAEA的有效性也已在WDN设计优化的真实案例研究中得到验证。
约束多目标优化问题在实际应用中普遍存在。本文考虑的CMOP并不包含现实世界中的所有类型的约束。希望本文能启发更多关于约束多目标优化的研究，包括其他约束公式的研究以及在现实世界优化场景中的应用。正如前面在[6]-[8]中所证明的，我们认为C-TAEA不仅仅是一个特定的算法。相反，它的基本思想，即同时维护多个互补和协同的档案，可以广泛应用于一般的EMO算法设计。在未来，从算法设计和理论基础两个角度对其潜在机制进行深入研究是值得探讨的。此外，我们计划研究这一双档案协作框架在更广泛的问题上的有效性，例如无约束的MOP，包括那些具有复杂属性的MOP(例如，具有复杂PSS的问题[43]以及不平衡的收敛和多样性[44])、动态优化(例如，具有变化的目标或约束的问题[45])。

7 REFERENCES

(仅列出了本文中所提到的文献)
[2] K. Deb, S. Agrawal, A. Pratap, and T. Meyarivan,“A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 6, no. 2, pp. 182–197, Apr. 2002.
[5] Y. G. Woldesenbet, G. G. Yen, and B. G. Tessema,“Constraint han- dling in multiobjective evolutionary optimization,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 13, no. 3, pp. 514–525, Jun. 2009.
[15] H. Jain and K. Deb,“An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point based nondominated sorting approach, part II: Handling constraints and extending to an adaptive approach,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 18, no. 4, pp. 602–622, Aug. 2014.
[16] M. A. Jan and Q. Zhang,“MOEA/D for constrained multiobjective optimization: Some preliminary experimental results,” in Proc. U.K. Workshop Comput. Intell. (UKCI), 2010, pp. 1–6.
[17] R. Cheng, Y. Jin, M. Olhofer, and B. Sendhoff, “A reference vector guided evolutionary algorithm for many-objective optimization,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 20, no. 5, pp. 773–791, Oct. 2016.
[18] A. Oyama, K. Shimoyama, and K. Fujii, “New constraint- handling method for multi-objective and multi-constraint evolutionary optimization,” Jpn. Soc. Aeronaut. Space Sci. Trans., vol. 50, no. 167, pp. 56–62, 2007.
[19] T. Takahama and S. Sakai,“Efficient constrained optimization by the ϵ\epsilonϵ constrained rank-based differential evolution,” in Proc. IEEE Congr.Evol. Comput. (CEC), 2012, pp. 1–8.
[21] M. Asafuddoula, T. Ray, and R. A. Sarker, “A decomposition-based evolutionary algorithm for many objective optimization,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 19, no. 3, pp. 445–460, Jun. 2015.
[22] Z. Fan et al.,“Angle-based constrained dominance principle in MOEA/D for constrained multi-objective optimization problems,” in Proc. IEEE Congr. Evol. Comput. (CEC), 2016, pp. 460–467.
[23] F. Jiménez, A. F. Gómez-Skarmeta, G. Sánchez, and K. Deb,“An evolutionary algorithm for constrained multi-objective optimization,” in Proc. IEEE Congr. Evol. Comput. (CEC), 2002, pp. 1133–1138.
[24] T. Ray, K. Tai, and K.-C. Seow,“Multiobjective design optimization by an evolutionary algorithm,” Eng. Optim., vol. 33, no. 4, pp. 399–424, 2001.
[26] A. Angantyr, J. Andersson, and J.-O. Aidanpaa, “Constrained optimization based on a multiobjective evolutionary algorithm,” in Proc. IEEE Congr. Evol. Comput. (CEC), 2003, pp. 1560–1567.
[27] K. Li, K. Deb, Q. Zhang, and S. Kwong,“An evolutionary many objective optimization algorithm based on dominance and decomposition,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 19, no. 5, pp. 694–716, Oct. 2015.
[28] C. Peng, H.-L. Liu, and F. Gu, “An evolutionary algorithm with directed weights for constrained multi-objective optimization,” Appl. Soft Comput., vol. 60, pp. 613–622, Nov. 2017.
[29] W. Ning et al.,“Constrained multi-objective optimization using constrained non-dominated sorting combined with an improved hybrid multi-objective evolutionary algorithm,” Eng. Optim., vol. 49, no. 10, pp. 1645–1664, 2017.
[30] A. E. Sorkhabi, M. D. Amiri, and A. R. Khanteymoori,“Duality evolution: An efficient approach to constraint handling in multi-objective particle swarm optimization,” Soft Comput., vol. 21, no. 24, pp. 7251–7267, 2017.
[31] K. Harada, J. Sakuma, I. Ono, and S. Kobayashi,“Constraint-handling method for multi-objective function optimization: Pareto descent repair operator,” in Proc. 4th Int. Conf. Evol. Multi Criterion Optim. (EMO), 2006, pp. 156–170.
[32] H. K. Singh, T. Ray, and W. Smith,“C-PSA: Constrained Pareto simulated annealing for constrained multi-objective optimization,” Inf. Sci., vol. 180, no. 13, pp. 2499–2513, 2010.
[33] L. Jiao, J. Luo, R. Shang, and F. Liu, “A modified objective function method with feasible-guiding strategy to solve constrained multi-objective optimization problems,” Appl. Soft Comput., vol. 14, pp. 363–380, Jan. 2014.
[35] H. Liu, F. Gu, and Q. Zhang,“Decomposition of a multiobjective optimization problem into a number of simple multiobjective subproblems,” IEEE Trans. Evol. Comput., vol. 18, no. 3, pp. 450–455, Jun. 2014.
[36] K. Deb and R. B. Agrawal,“Simulated binary crossover for continuous search space,” Complex Syst., vol. 9, no. 2, pp. 115–148, 1994.
[37] K. Deb and M. Goyal,“A combined genetic adaptive search (GeneAS) for engineering design,” Comput. Sci. Informat., vol. 26, no. 4, pp. 30–45, 1996.

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