数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.

近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.

计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.

现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.

计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.

概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：

第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.

第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.

第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.

★第一章　绪论

◇1.1 "数值分析"研究对象与特点

◇1.2 数值计算的误差

◇1.3　误差定性分析与避免误差危害

★第二章　方程求根

◇2.1 方程求根与二分法

◇2.2 迭代法及其收敛性

◇2.3　Steffensen加速迭代法

◇2.4 Newton迭代法

★第三章　解线性方程组的直接法

◇3.1 引言与矩阵一些基础知识

◇3.2 Gauss消去法

◇3.3 直接三角分解法

◇3.4 向量和矩阵范数

◇3.5 误差分析与病态方程组

★第四章　解线性方程组的迭代法

◇4.1 迭代法及其收敛性

◇4.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法

◇4.3　逐次超松弛迭代法

★第五章　插值与最小二乘法

◇5.1 插值问题与插值多项式

◇5.2 Lagrange插值

◇5.3 均差与Newton插值公式

◇5.4 差分与Newton前后插值公式

◇5.5　Hermite插值

◇5.6　分段低次插值

◇5.7　三次样条插值

◇5.8　曲线拟合的最小二乘法

◇5.9　正交多项式及其在最小二乘的应用

★第六章　数值积分

◇6.1　数值积分基本概念

◇6.2　梯形公式与Simpson求积公式

◇6.3　外推原理与Romberg求积

◇6.4 Gauss型求积公式

★第七章　常微分方程数值解

◇7.1 引言

◇7.2 简单的单步法及基本概念

◇7.3 Runge-Kutta方法

◇7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性

◇7.5 线性多步法

◇7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法

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2016-07-17 18:52

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