FFT——快速傅里叶变换

这块不写东西空荡荡的，我决定还是把FFT的定义给贴上吧

FFT（Fast Fourier Transformation）是离散傅氏变换（DFT）的快速算法。即为快速傅氏变换。它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

这三段话其实一点用也没有

FFT是干什么的

FFT在算法竞赛中就有一个用途：加速多项式乘法(暴言)

简单来说，形如 a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXna_0X^0+a_1X^1+a_2X^2+⋯+a_nX^na0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn 的代数表达式叫做多项式，可以记作f(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXnf(X)=a_0X^0+a_1X^1+a_2X^2+⋯+a_nX^nf(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn，其中a0,a1,⋯,ana_0,a_1,⋯,a_na0,a1,⋯,an叫做多项式的系数，XXX是一个不定元(就是不可以合并)，不表示任何值，不定元在多项式中最大项的次数称作多项式的次数

如果我们当前有两个多项式f(X),g(X)f(X),g(X)f(X),g(X)，现在要把他们乘起来(求卷积)，最朴素的做法就是

∑i=02n−1(∑j=0iaj∗bi−j)∗xi\sum \limits _{i=0}^{2n-1} (\sum \limits _{j=0} ^{i} a_j*b_{i-j})*x^ii=0∑2n−1(j=0∑iaj∗bi−j)∗xi

这样的复杂度是Θ(n2)\varTheta(n^2)Θ(n2)的，十分不美观，FFT就是要将这个过程优化为Θ(nlog⁡n)\varTheta(n \log n)Θ(nlogn)

前置技能

多项式

见上文

复数

复数形如a+bia+bia+bi，其中i=−1i=\sqrt {-1}i=−1

aaa叫作复数的实部，bibibi叫做复数的虚部

复数(a1+b1i)∗(a2+b2i)(a_1+b_1i)*(a_2+b_2i)(a1+b1i)∗(a2+b2i)相乘的值，即a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)ia_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)ia1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i也是一个复数，同时我们也得到了复数的乘法法则

复数c+dic+dic+di可以用这种方式表示出来

复数乘法的在复平面中表现为辐角相加，模长相乘

单位根

复数www满足wn=1w^n=1wn=1称作www是nnn次单位根，下图包含了所有的888次单位根(图中圆的半径是1)

同样的，下图是所有的4次单位根

聪明的你也许已经发现了单位根的些许性质，即

w2n2m=wnmw_{2n}^{2m}=w_{n}^{m}w2n2m=wnm

wnm=−wnm+n2w_n^m=-w_n^{m+\frac{n}{2}}wnm=−wnm+2n

这两个要记住，一会很有用

多项式的系数表达法

我们有多项式f(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXnf(X)=a_0X^0+a_1X^1+a_2X^2+⋯+a_nX^nf(X)=a0X0+a1X1+a2X2+⋯+anXn，令a⃗=(a0,a1,a2,...,an)\vec{a}=(a_0,a_1,a_2,...,a_n)a=(a0,a1,a2,...,an)，则称A(X)A(X)A(X)为多项式f(X)f(X)f(X)的系数表示法

在系数表示法下，计算多项式乘法是Θ(n2)\varTheta (n^2)Θ(n2)的

多项式的点值表达法

任取n+1n+1n+1个互不相同的S={p1,p2,...,pn+1}S=\{p_1,p_2,...,p_{n+1}\}S={p1,p2,...,pn+1}，对f(X)f(X)f(X)分别求值得到f(p1),f(p2),...,f(pn+1)f(p_1),f(p_2),...,f(p_{n+1})f(p1),f(p2),...,f(pn+1)，那么称A(X)={(p1,f(p1)),(p2,f(p2)),...,(pn+1,f(pn+1))}A(X)=\{(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),...,(p_{n+1},f(p_{n+1}))\}A(X)={(p1,f(p1)),(p2,f(p2)),...,(pn+1,f(pn+1))}为多项式f(X)f(X)f(X)在SSS下的点值表示法

可以把多项式想象成一个nnn次函数，点值表示法就是取SSS下每一个横坐标时对应的点，因为nnn次函数可以由n+1n+1n+1个点确定下来(可以将每一个点列一个nnn次方程)，所以nnn维点值与nnn维系数一一对应

更重要的一点，点值表示法下的乘法运算获得了简化

两个多项式PPP,QQQ分别取点(x,y1)(x,y_1)(x,y1)和(x,y2)(x,y_2)(x,y2)，P∗QP*QP∗Q就会取到点(x,y1∗y2)(x,y_1*y_2)(x,y1∗y2)；

令C=P∗QC=P*QC=P∗Q，因为C(X)=P(X)∗Q(X)C(X)=P(X)*Q(X)C(X)=P(X)∗Q(X)，所以C(x)=P(x)∗Q(x)C(x)=P(x)*Q(x)C(x)=P(x)∗Q(x)，即C(x)=y1∗y2C(x)=y_1*y_2C(x)=y1∗y2

所以在点值表示法下，计算多项式乘法是Θ(n)\varTheta(n)Θ(n)的

FFT的具体过程

FFT就是将系数表示法转化成点值表示法相乘，再由点值表示法转化为系数表示法的过程，第一个过程叫做求值(DFT)，第二个过程叫做插值(IDFT)

求值

还记得我们之前提到的单位根吗？再回顾一下：

w2n2m=wnmw_{2n}^{2m}=w_{n}^{m}w2n2m=wnm

wnm=−wnm+n2w_n^m=-w_n^{m+\frac{n}{2}}wnm=−wnm+2n

想要求出一个多项式的点值表示法，需要选出n+1n+1n+1个数分别带入到多项式里面，带入一个数的复杂度是Θ(n)\varTheta(n)Θ(n)的，那么总复杂度就是Θ(n2)\varTheta(n^2)Θ(n2)的，因为单位根有上面两个优美的性质，所以我们尝试可以取nnn次单位根组成SSS，看看能不能加速我们的运算

设A0(X)A_0(X)A0(X)为A(X)A(X)A(X)偶次项的和，设A1(X)A_1(X)A1(X)为A(X)A(X)A(X)奇次项的和，即

A0(X)=a0x0+a2x1+...+an−1xn/2A_0(X)=a_0x^0+a_2x^1+...+a_{n-1}x^{n/2}A0(X)=a0x0+a2x1+...+an−1xn/2

A1(X)=a1x0+a3x1+...+an−2xn/2A_1(X)=a_1x^0+a_3x^1+...+a_{n-2}x^{n/2}A1(X)=a1x0+a3x1+...+an−2xn/2

因为A(wnm)=a0wn0+a1wnm+a2wn2m+a3wn3m+...+an−1wn(n−1)∗m+anwnnmA(w_n^m)=a_0w_n^0+a_1w_n^m+a_2w_n^{2m}+a_3w_n^{3m}+...+a_{n-1}w_n^{(n-1)*m}+a_nw_n^{nm}A(wnm)=a0wn0+a1wnm+a2wn2m+a3wn3m+...+an−1wn(n−1)∗m+anwnnm

所以有

也就是说，只要有了A0(X)A_0(X)A0(X)和A1(X)A_1(X)A1(X)的点值表示，就能在Θ(n)\varTheta(n)Θ(n)时间算出A(X)A(X)A(X)的点值表示，对于当前层确定的位置iii，就可以用下一层的两个值更新当前的值，我们称这个操作为“蝴蝶变换”

因为这个过程一定要求每层都可以分成两大小相等的部分，所以多项式最高次项一定是2p2^p2p(p∈Np\in Np∈N)次方，如果不是的话，直接在最高次项补零就可以啦

于是我们有了递归的写法：

void FFT(Complex* a,int len){if(len==1) return;Complex* a0=new Complex[len/2];Complex* a1=new Complex[len/2];for(int i=0;i<len;i+=2){a0[i/2]=a[i];a1[i/2]=a[i+1];}FFT(a0,len/2);FFT(a1,len/2);Complex wn(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len));Complex w(1,0);for(int i=0;i<(len/2);i++){a[i]=a0[i]+w*a1[i];a[i+len/2]=a0[i]-w*a1[i];w=w*wn;}return;
}

但递归版的FFT常数巨大，实现起来比较复杂，于是又有了迭代的写法

重新考虑下递归FFT的过程，在第iii次求解中，我们将所有元素二进制iii位为000的放在了左面，iii位为111的放在了右面，事实上，每个元素最终到的是他二进制颠倒过来的位置

再拿一张别人的图

迭代写法：

inline void DFT(Complex a[]){for(int i=0;i<len;i++)///pos[i]代表反转后的位置if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);for(int i=2,mid=1;i<=len;i<<=1,mid<<=1){///len代表多项式最高次项///第一层i是枚举合并到了哪一层。Complex wm(cos(2.0*pi/i),sin(2.0*pi/i));for(int j=0;j<len;j+=i){///第二层j是枚举合并区间。Complex w(1,0);for(int k=j;k<j+mid;k++,w=w*wm){///第三层k是枚举区间内的下标。Complex l=a[k],r=w*a[k+mid];a[k]=l+r;a[k+mid]=l-r;}}}return;
}

插值

有人证出来插值只要将所有wnmw_n^mwnm换成wnm+n2w_n^{m+\frac{n}{2}}wnm+2n，也就是所有的虚部取相反数，再将最终结果除以lenlenlen，就是插值的过程了

究竟为什么？我觉得人生一定要有点遗憾可以参考这里，我就不多说了

支持插值的迭代写法：

const double DFT=2.0,IDFT=-2.0;///进行求值，第二个参数传DFT，插值传IDFT
inline void FFT(Complex a[],double mode){for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);for(int i=2,mid=1;i<=len;i<<=1,mid<<=1){Complex wm(cos(2.0*pi/i),sin(mode*pi/i));for(int j=0;j<len;j+=i){Complex w(1,0);for(int k=j;k<j+mid;k++,w=w*wm){Complex l=a[k],r=w*a[k+mid];a[k]=l+r;a[k+mid]=l-r;}}}if(mode==IDFT)for(int i=0;i<len;i++)a[i].x/=len;return;
}

现在，你已经会写FFT了！

生成函数

小AAA有aia_iai个价值为AiA_iAi的物品，小BBB有bib_ibi个价值为AiA_iAi的物品，求用两个组成价值为cic_ici的方案数

生成函数可以解决上面的这个问题，构造两个多项式，第iii项表示价值为iii的物品有多少个，对两个人分别构造，乘在一起的多项式就代表所有的方案数了

NTT——快速数论变换

当FFT需要取模时，复数的存在就特别尴尬了，有没有什么东西可以代替单位根呢？

原根性质：假设ggg是素数ppp的一个原根，则g1,g2,...,g(p−1)g^1,g^2,...,g^{(p-1)}g1,g2,...,g(p−1)在模ppp意义下两两不同，且结果恰好为111~p−1p-1p−1

wnn≡g(p−1)≡1(modp)w_n^n≡g^{(p-1)}≡1(mod\ p)wnn≡g(p−1)≡1(mod p)(中间那个是费马小定理)

所以可以把g(p−1)/ng^{(p-1)/n}g(p−1)/n看成wn1w_n^1wn1的等价。

但这种质数必须是NTT质数(费马质数)，即(p−1)(p-1)(p−1)有超过序列长度的2的正整数幂因子的质数

具体证明还是看这里吧

参考资料：
Pick’s blog
Fenghr的博客
Miskcoo’s Space

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