沉没成本不是成本-----通俗解释几何分布与指数分布的无记忆性？

在经济学上，有一个概念是沉没成本，大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。针对这个概念有一个常见的说法：

这句话的意思是，既然沉没成本不可收回，那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子，买票去看电影，放映10分钟你就知道这是一部烂片，那么有两个选项（图片出自沉没成本谬误）：

此时这张电影票已经消费了，没有办法收回，购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开，不要去考虑为这张电影票付出的金钱。还有很多别的例子，这里就不一一列举了：

下面要介绍的几何分布、指数分布的无记忆性，可以看作“沉没成本不是成本”这句话的数学例子。

1 几何分布

1.1 几何分布的简单介绍

扔硬币是最简单的随机现象了：

扔次硬币，前面次都是反面，第次正好是正面：

这个随机事件可以用随机变量来表示：

它的概率可以记作：

这样的随机事件称为服从几何分布。

1.2 赌徒心理

有一个赌徒在赌大小，他一直在押“大”，可是台上连续出了十把“小”，让他输了很多钱：

赌徒认为，前面出了那么多把“小”，再出“小”的可能性非常小了，他想把他的全部身家押“大”，搏一把翻本。当然，这完全是赌徒心理，最合理的做法是马上抽身止损，下面看看数学是怎么解释的。

这是一个典型的几何分布，可以用随机变量来表示：

把分析需要的几个事件分别列出来：

可以证明，“扔了十把'小'条件下，下一把出‘大’”的概率和“扔一把就出‘大’”完全一样，即：

这就是所谓的几何分布无记忆性。也可以通俗地解释为，前面十把输的钱是沉没成本，完全不影响之后出“大”的概率。赌徒应该及时抽身止损，保住最后一点身家。

2 指数分布

2.1 厕所问题

小明在自家小卖部苦苦等待第一位上门的客人，已经等待三个小时了：

小明想去上厕所，可是只有憋着，因为它想到等了这么久了，客人上门的概率会随着时间的推移而不断提高，所以一定要等到客人之后再去上厕所。这种想法对吗？

这也类似于几何分布，可以用随机变量来表示：

不过时间是连续的，所以这个分布称为指数分布。与几何分布大同小异，同样具有无记忆性，前面等的三个小时是沉没成本，不会影响之后的来客概率，该上厕所就去上厕所。

2.2 电器寿命

指数分布也经常用于预测电器的寿命：

因为指数分布的无记忆性，同学们常常很困惑，为什么用指数分布来表示电器的寿命。电器不是用的时间越长，坏的可能性越大吗？

如果将电器考虑作理想的电器，器件不会老化。此时，电器的寿命是随机的。内部彷佛每秒钟都在扔硬币，扔到了正面，电器就坏了。在这种情况下，我们认为电器的寿命服从指数分布。

现实中是不会有理想电器的，但是如果只考虑短时间内的电器寿命，那么就可以将之视作理想电器，认为它的寿命服从指数分布。

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