Cesium中的相机—方向余弦阵

前面在讨论两个不同坐标系之间的转换时都是通过欧拉旋转或者四元素来定义的。今天直接给出方向余弦阵的定义和用途。

方向余弦的定义

方向余弦是指在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。
如下图中，矢量A与坐标系三个轴i,j,ki,j,ki,j,k的夹角为α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ,则矢量A的方向余弦就是：
[cos⁡(α),cos⁡(β),cos⁡(γ)][\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma)][cos(α),cos(β),cos(γ)]

方向余弦矩阵

方向余弦矩阵是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系。
使用ib,jb,kbi_b,j_b,k_bib,jb,kb表示直角坐标系oxbybzb(b系)ox_by_bz_b(b系)oxbybzb(b系)的三个坐标轴的基向量，用ii,ji,kii_i,j_i,k_iii,ji,ki表示直角坐标系oxiyizi(i系)ox_iy_iz_i(i系)oxiyizi(i系)的三个坐标轴的基向量，则ib,jb,kbi_b,j_b,k_bib,jb,kb（单位向量）分别可用ii,ji,kii_i,j_i,k_iii,ji,ki表示：
{ib=(ib⋅ii)ii+(ib⋅ji)ji+(ib⋅ki)kijb=(jb⋅ii)ii+(jb⋅ji)ji+(jb⋅ki)kikb=(kb⋅ii)ii+(kb⋅ji)ji+(kb⋅ki)ki(1)\left\{\begin{matrix} i_b=(i_b\cdot i_i)i_i+(i_b\cdot j_i)j_i+(i_b\cdot k_i)k_i\\ j_b=(j_b\cdot i_i)i_i+(j_b\cdot j_i)j_i+(j_b\cdot k_i)k_i\\ k_b=(k_b\cdot i_i)i_i+(k_b\cdot j_i)j_i+(k_b\cdot k_i)k_i\\ \end{matrix}\right. \qquad(1)⎩⎨⎧ib=(ib⋅ii)ii+(ib⋅ji)ji+(ib⋅ki)kijb=(jb⋅ii)ii+(jb⋅ji)ji+(jb⋅ki)kikb=(kb⋅ii)ii+(kb⋅ji)ji+(kb⋅ki)ki(1)
上式中，
[(ib⋅ii),(ib⋅ji),(ib⋅ki)][(i_b\cdot i_i),(i_b\cdot j_i),(i_b\cdot k_i)][(ib⋅ii),(ib⋅ji),(ib⋅ki)]为单位矢量ibi_bib 在坐标系oxiyiziox_iy_iz_ioxiyizi的方向余弦；
[(jb⋅ii),(jb⋅ji),(jb⋅ki)][(j_b\cdot i_i),(j_b\cdot j_i),(j_b\cdot k_i)][(jb⋅ii),(jb⋅ji),(jb⋅ki)]为单位矢量jbj_bjb 在坐标系oxiyiziox_iy_iz_ioxiyizi的方向余弦；
[(kb⋅ii),(kb⋅ji),(kb⋅ki)][(k_b\cdot i_i),(k_b\cdot j_i),(k_b\cdot k_i)][(kb⋅ii),(kb⋅ji),(kb⋅ki)]为单位矢量kbk_bkb 在坐标系oxiyiziox_iy_iz_ioxiyizi 的方向余弦。

将ib,jb,kbi_b,j_b,k_bib,jb,kb分别在坐标系oxiyiziox_iy_iz_ioxiyizi的方向余弦组成矩阵MMM(注意，按列组成)：
M=[ib⋅iijb⋅iikb⋅iiib⋅jijb⋅jikb⋅jiib⋅kijb⋅kikb⋅ki](2)M=\begin{bmatrix} i_b\cdot i_i &j_b\cdot i_i &k_b\cdot i_i\\ i_b\cdot j_i &j_b\cdot j_i &k_b\cdot j_i\\ i_b\cdot k_i &j_b\cdot k_i &k_b\cdot k_i \end{bmatrix} \qquad(2)M=⎣⎡ib⋅iiib⋅jiib⋅kijb⋅iijb⋅jijb⋅kikb⋅iikb⋅jikb⋅ki⎦⎤(2)
则矩阵MMM即为b系到i系的坐标变换矩阵(推导过程略）。

假设点P在b系中的坐标为[xb,yb,zb]T\begin{bmatrix} x_b,y_b,z_b\end{bmatrix}^{T}[xb,yb,zb]T,在i系中的坐标为[xi,yi,zi]T\begin{bmatrix} x_i,y_i,z_i\end{bmatrix}^{T}[xi,yi,zi]T，则两者通过坐标旋转矩阵MMM联系：
[xiyizi]=M⋅[xbybzb](3)\begin{bmatrix} x_i\\y_i \\z_i \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x_b \\y_b \\z_b \end{bmatrix} \qquad(3)⎣⎡xiyizi⎦⎤=M⋅⎣⎡xbybzb⎦⎤(3)

方向余弦的应用

之前我们通过欧拉旋转或者四元素的方式得到两个坐标系之间的坐标变换矩阵MMM，而现在我们多了一种方法得到MMM。

假设上式中，iii系为原始坐标系，bbb系为相机坐标系，那么我只要知道了相机坐标系（b系）的三个坐标轴的基向量ib,jb,kbi_b,j_b,k_bib,jb,kb在iii系中的坐标（方向余弦，式1），就可以得到坐标变换矩阵MMM（式2）。实际上只要知道两个基向量即可，剩下的用前两个基向量叉乘即可。