Manacher入门

写在前面

manachermanachermanacher比想象中好理解得多

至少它给了我学习字符串的信心

能干啥

manachermanachermanacher，中文马拉车（您别说，这名字还挺形象），主要用于计算字符串每一个位置为对称中心的回文串长度（等价于个数）

包括偶回文，即长度为偶数的回文串

算法流程

考虑下面的问题：给一个字符串，求最长回文子串

我会暴力！

枚举判断O(n3)O(n^3)O(n3)

我会优化！

考虑到以ccc为中心，acbacbacb不是回文串，左右怎么接都不是回文串

所以可以枚举中间点（偶回文判断一下即可），然后向两边拓展

复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)

我会玄学！

O(n2)O(n^2)O(n2)还不够不符合字符串算法均为线性复杂度公理

在此基础上继续优化

我们记录maxrmaxrmaxr为目前找到的回文串右端点的最右的位置 pospospos为这个回文串的对称中心

开一个数组pip_ipi表示回文半径（和其他文章不同，本文回文半径指一个端点到中心的距离，即直接相减）

回文串最本质的特征是什么？左右关于中心对称。

如果一个回文串对称中心的一侧有另一个回文子串，那么对称过去也有一个相同长度的回文子串

黄色部分完全一致，这就是manacher的核心

（先不考虑偶回文）

① i<maxri<maxri<maxr(取不取等于无所谓)

设j,ij,ij,i关于pospospos对称即j=pos∗2−ij=pos*2-ij=pos∗2−i

根据上面的推导，令pi=pjp_i=p_jpi=pj即可

当然如果jjj为中心的最长回文左端点越界了

那就不能保证上面的性质（实际上可以保证不成立），所以要和j−maxlj-maxlj−maxl(即maxr−imaxr-imaxr−i)取minminmin。

jjj越界时还需要让iii继续拓展。当然为了刷短代码减少讨论，都拓展一下好了

②i≥maxri \geq maxri≥maxr

啥都不能保证，直接暴力扩展

综上：

如果i<maxri<maxri<maxr,按上述条件更新pip_ipi
暴力拓展
更新maxrmaxrmaxr和pospospos

然后……对，没了，就三行。

这就是manachermanachermanacher的全过程，复杂度O(n)O(n)O(n)，后面有证明

实现

上面没有讨论偶回文，主要是转化过程比较难看，容易使人丧失信心。

其实也不难。只需要在字符两两之间加一个字符,如‘#’；然后首尾也加上‘#’，再在开头加一个标识符防止越界。注意要和之前的不同，如‘@’

这样偶回文可以看做中心是‘#’的回文

普及T1模拟水平

这样处理后，所有回文串左右端点都是‘#’，然后就可以跑了

证明

什么？不是只改了一个地方吗？怎么变O(n)O(n)O(n)了？

回顾整个流程，真正暴力拓展的时候要么jjj左端点越界，要么iii越界(jjj左端点没越界时，根据反证法，iii实际上无法拓展)

jjj左端点越界时，iii右端点出生点就在maxrmaxrmaxr，再拓展就超出去了

也就是说，每次暴力拓展，都意味着maxrmaxrmaxr更新，而maxrmaxrmaxr只会往右跑

换一个角度，实际上暴力拓展是把maxrmaxrmaxr推到最右边，次数是O(n)O(n)O(n)的

所以总复杂度是O(n)O(n)O(n)的

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
char s[MAXN],ss[MAXN];
int pos,maxr;
int p[MAXN];
int main()
{scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;i++) ss[i<<1]=s[i],ss[(i<<1)|1]='#';n=(n<<1)|1,ss[0]='@',ss[1]='#';strcpy(s,ss);for (int i=1;i<=n;i++){if (i<maxr) p[i]=min(p[(pos<<1)-i],maxr-i);while (s[i-p[i]-1]==s[i+p[i]+1]) ++p[i];if (i+p[i]>maxr) maxr=i+p[i],pos=i;}return 0;
}

由于所有位置为中心的最长回文串左右端点都是‘#’

回文串长度leni=2pi+1−12=pilen_i= \frac {2p_i+1-1}{2} = p_ileni=22pi+1−1=pi

然后用来搞事情就可以了

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