正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6800

题目大意

给出一个nnn此多项式PPP，对于k∈[0,m−1]k\in[0,m-1]k∈[0,m−1]所有的求P(ck)P(c^k)P(ck)
输出答案对998244353998244353998244353取模
1≤n,m≤1061\leq n,m\leq 10^61≤n,m≤106

解题思路

g(n)=∑i=0n−1aici×ng(n)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ic^{i\times n}g(n)=i=0∑n−1aici×n
然后根据i×n=(i+n2)−(i2)−(n2)i\times n=\binom{i+n}{2}-\binom{i}{2}-\binom{n}{2}i×n=(2i+n)−(2i)−(2n)有
g(n)=c−(n2)∑i=0n−1aic(i+n2)c−(i2)g(n)=c^{-\binom{n}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}a_ic^{\binom{i+n}{2}}c^{-\binom{i}{2}}g(n)=c−(2n)i=0∑n−1aic(2i+n)c−(2i)
然后这是一个反着卷积的形式，直接上NTT就好了

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e6+10,P=998244353;
ll n,m,c,a[N],r[N],F[N],G[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;b%=P-1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n)
{return n*(n-1)/2;}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll tmp=power(3,(P+1)/p),len=p>>1;if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&c,&m);ll inv=power(c,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=0;i<n+m;i++)F[i]=power(c,C(n+m-i-1));for(ll i=0;i<n;i++)G[i]=a[i]*power(inv,C(i))%P;ll len=1;while(len<n+m)len<<=1;for(ll i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);NTT(F,len,1);NTT(G,len,1);for(ll i=0;i<len;i++)F[i]=F[i]*G[i]%P;NTT(F,len,-1);for(ll i=n+m-1;i>=n;i--)printf("%lld ",F[i]*power(inv,C(n+m-i-1))%P);return 0;
}

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P6800-[模板]Chirp Z-Transform【NTT】

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