在这篇文章中，我们将仔细研究一个名为GCN的著名图神经网络。首先，我们先直观的了解一下它的工作原理，然后再深入了解它背后的数学原理。

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为什么要用Graph？

许多问题的本质上都是图。在我们的世界里，我们看到很多数据都是图，比如分子、社交网络、论文引用网络。

  图的例子。(图片来自[1])

Graph上的任务

• 节点分类：预测特定节点的类型。

• 链接预测：预测两个节点是否有联系

• 社区检测：识别密集联系的节点群落。

• 网络相似性：两个(子)网络的相似性有多大？

机器学习的生命周期

在图中，我们有节点特征（代表节点的数据）和图的结构（表示节点如何连接）。

对于节点来说，我们可以很容易地得到每个节点的数据。但是当涉及到图的结构时，要从中提取有用的信息就不是一件容易的事情了。例如，如果2个节点彼此距离很近，我们是否应该将它们与其他对节点区别对待呢？高低度节点又该如何处理呢？其实，对于每一项具体的工作，仅仅是特征工程，即把图结构转换为我们的特征，就会消耗大量的时间和精力。

  图上的特征工程。(图片来自[1])

如果能以某种方式同时得到图的节点特征和结构信息作为输入，让机器自己去判断哪些信息是有用的，那就更好了。

这也是为什么我们需要图表示学习的原因。

  我们希望图能够自己学习 "特征工程"。(图片来自[1])

图卷积神经网络（GCNs）

论文：基于图神经网络的半监督分类（2017）[3]

GCN是一种卷积神经网络，它可以直接在图上工作，并利用图的结构信息。

它解决的是对图（如引文网络）中的节点（如文档）进行分类的问题，其中仅有一小部分节点有标签（半监督学习）。

在Graphs上进行半监督学习的例子。有些节点没有标签（未知节点）。  

主要思想

就像"卷积"这个名字所指代的那样，这个想法来自于图像，之后引进到图（Graphs）中。然而，当图像有固定的结构时，图（Graphs）就复杂得多。

从图像到图形的卷积思想。(图片来自[1])

GCN的基本思路：对于每个节点，我们从它的所有邻居节点处获取其特征信息，当然也包括它自身的特征。假设我们使用average()函数。我们将对所有的节点进行同样的操作。最后，我们将这些计算得到的平均值输入到神经网络中。

在下图中，我们有一个引文网络的简单实例。其中每个节点代表一篇研究论文，同时边代表的是引文。我们在这里有一个预处理步骤。在这里我们不使用原始论文作为特征，而是将论文转换成向量（通过使用NLP嵌入，例如tf-idf）。NLP嵌入，例如TF-IDF)。

让我们考虑下绿色节点。首先，我们得到它的所有邻居的特征值，包括自身节点，接着取平均值。最后通过神经网络返回一个结果向量并将此作为最终结果。

GCN的主要思想。我们以绿色节点为例。首先，我们取其所有邻居节点的平均值，包括自身节点。然后，将平均值通过神经网络。请注意，在GCN中，我们仅仅使用一个全连接层。在这个例子中，我们得到2维向量作为输出（全连接层的2个节点）。

在实际操作中，我们可以使用比average函数更复杂的聚合函数。我们还可以将更多的层叠加在一起，以获得更深的GCN。其中每一层的输出会被视为下一层的输入。

2层GCN的例子：第一层的输出是第二层的输入。同样，注意GCN中的神经网络仅仅是一个全连接层（图片来自[2]）。

让我们认真从数学角度看看它到底是如何起作用的。

直观感受和背后的数学原理

首先，我们需要一些注解

我们考虑图G，如下图所示。

从图G中，我们有一个邻接矩阵A和一个度矩阵D。同时我们也有特征矩阵X。

那么我们怎样才能从邻居节点处得到每一个节点的特征值呢？解决方法就在于A和X的相乘。

看看邻接矩阵的第一行，我们看到节点A与节点E之间有连接，得到的矩阵第一行就是与A相连接的E节点的特征向量（如下图）。同理，得到的矩阵的第二行是D和E的特征向量之和，通过这个方法，我们可以得到所有邻居节点的向量之和。

计算 "和向量矩阵 "AX的第一行。

• 这里还有一些需要改进的地方。

1. 我们忽略了节点本身的特征。例如，计算得到的矩阵的第一行也应该包含节点A的特征。

2. 我们不需要使用sum()函数，而是需要取平均值，甚至更好的邻居节点特征向量的加权平均值。那我们为什么不使用sum()函数呢？原因是在使用sum()函数时，度大的节点很可能会生成的大的v向量，而度低的节点往往会得到小的聚集向量，这可能会在以后造成梯度爆炸或梯度消失（例如，使用sigmoid时）。此外，神经网络似乎对输入数据的规模很敏感。因此，我们需要对这些向量进行归一化，以摆脱可能出现的问题。

在问题（1）中，我们可以通过在A中增加一个单位矩阵I来解决，得到一个新的邻接矩阵Ã。

取lambda=1（使得节点本身的特征和邻居一样重要），我们就有Ã=A+I，注意，我们可以把lambda当做一个可训练的参数，但现在只要把lambda赋值为1就可以了，即使在论文中，lambda也只是简单的赋值为1。

通过给每个节点增加一个自循环，我们得到新的邻接矩阵

对于问题(2): 对于矩阵缩放，我们通常将矩阵乘以对角线矩阵。在当前的情况下，我们要取聚合特征的平均值，或者从数学角度上说，要根据节点度数对聚合向量矩阵ÃX进行缩放。直觉告诉我们这里用来缩放的对角矩阵是和度矩阵D̃有关的东西（为什么是D̃，而不是D？因为我们考虑的是新邻接矩阵Ã 的度矩阵D̃，而不再是A了）。

现在的问题变成了我们要如何对和向量进行缩放/归一化？换句话说：

我们如何将邻居的信息传递给特定节点？我们从我们的老朋友average开始。在这种情况下，D̃的逆矩阵（即，D̃^{-1}）就会用起作用。基本上，D̃的逆矩阵中的每个元素都是对角矩阵D中相应项的倒数。

例如，节点A的度数为2，所以我们将节点A的聚合向量乘以1/2，而节点E的度数为5，我们应该将E的聚合向量乘以1/5，以此类推。

因此，通过D̃取反和X的乘法，我们可以取所有邻居节点的特征向量（包括自身节点）的平均值。

到目前为止一切都很好。但是你可能会问加权平均()怎么样？直觉上，如果我们对高低度的节点区别对待，应该会更好。

 但我们只是按行缩放，但忽略了对应的列（虚线框）。 

为列增加一个新的缩放器。

新的缩放方法给我们提供了 "加权 "的平均值。我们在这里做的是给低度的节点加更多的权重，以减少高度节点的影响。这个加权平均的想法是，我们假设低度节点会对邻居节点产生更大的影响，而高度节点则会产生较低的影响，因为它们的影响力分散在太多的邻居节点上。

在节点B处聚合邻接节点特征时，我们为节点B本身分配最大的权重（度数为3），为节点E分配最小的权重（度数为5）。

因为我们归一化了两次，所以将"-1 "改为"-1/2"

例如，我们有一个多分类问题，有10个类，F  被设置为10。在第2层有了10个维度的向量后，我们将这些向量通过一个softmax函数进行预测。

Loss函数的计算方法很简单，就是通过对所有有标签的例子的交叉熵误差来计算，其中Y_{l}是有标签的节点的集合。

层的数量

 #layers的含义 

层数是指节点特征能够传输的最远距离。例如，在1层的GCN中，每个节点只能从其邻居那里获得信息。每个节点收集信息的过程是独立进行的，对所有节点来说都是在同一时间进行的。

当在第一层的基础上再叠加一层时，我们重复收集信息的过程，但这一次，邻居节点已经有了自己的邻居的信息（来自上一步）。这使得层数成为每个节点可以走的最大跳步。所以，这取决于我们认为一个节点应该从网络中获取多远的信息，我们可以为#layers设置一个合适的数字。但同样，在图中，通常我们不希望走得太远。设置为6-7跳，我们就几乎可以得到整个图，但是这就使得聚合的意义不大。

例：收集目标节点 i 的两层信息的过程

GCN应该叠加几层？

在论文中，作者还分别对浅层和深层的GCN进行了一些实验。在下图中，我们可以看到，使用2层或3层的模型可以得到最好的结果。此外，对于深层的GCN（超过7层），反而往往得到不好的性能（虚线蓝色）。一种解决方案是借助隐藏层之间的残余连接（紫色线）。

不同层数#的性能。图片来自论文[3]

做好笔记

• GCNs用于图上的半监督学习。

• GCNs同时使用节点特征和结构进行训练

• GCN的主要思想是取所有邻居节点特征（包括自身节点）的加权平均值。度低的节点获得更大的权重。之后，我们将得到的特征向量通过神经网络进行训练。

• 我们可以堆叠更多的层数来使GCN更深。考虑深度GCNs的残差连接。通常，我们会选择2层或3层的GCN。

• 数学笔记：当看到对角线矩阵时，要想到矩阵缩放。

• 这里有一个使用StellarGraph库的GCN演示[5]。该仓库还提供了许多其他GNN的算法。

论文作者的说明

该框架目前仅限于无向图（加权或不加权）。但是，可以通过将原始有向图表示为一个无向的两端图，并增加代表原始图中边的节点，来处理有向边和边特征。

下一步是什么呢

对于GCN，我们似乎可以同时利用节点特征和图的结构。然而，如果图中的边有不同的类型呢？我们是否应该对每种关系进行不同的处理？在这种情况下如何聚合邻居节点？最近有哪些先进的方法？

在图专题的下一篇文章中，我们将研究一些更复杂的方法。

如何处理边的不同关系（兄弟、朋友、......）？

参考文献

[1] Excellent slides on Graph Representation Learning by Jure Leskovec (Stanford): https://drive.google.com/file/d/1By3udbOt10moIcSEgUQ0TR9twQX9Aq0G/view?usp=sharing

[2] Video Graph Convolutional Networks (GCNs) made simple: https://www.youtube.com/watch?v=2KRAOZIULzw

[3] Paper Semi-supervised Classification with Graph Convolutional Networks (2017): https://arxiv.org/pdf/1609.02907.pdf

[4] GCN source code: https://github.com/tkipf/gcn

[5] Demo with StellarGraph library: https://stellargraph.readthedocs.io/en/stable/demos/node-classification/gcn-node-classification.html

—THE END—

编辑 ∑Gemini

来源：雷锋网

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