碰撞检测—分离轴理论

最近在用opengl写一个小游戏，动画和人机交互都很简单，逻辑控制，边界问题都是目前的一个难题，正好找了几篇碰撞检测的资料，看着挺不错的

http://www.cppblog.com/mybios/archive/2006/11/19/15408.html（高级碰撞检测）

http://www.cnblogs.com/tinfish/archive/2012/03/21/2410474.html（分离轴理论）

http://blog.csdn.net/haochao/article/details/3917993

http://blog.csdn.net/shenlan282/article/details/7179575（三维）

三维：在求解碰撞法线、接触集合之前，得先确定长方体之间是否碰撞。一个相对简单的判断凸多面体相交性的方法是分离轴定理（SAT，Separating Axis Theorem）。直观来看，如果两个凸多面体不相交，那么必定存在一个空间平面，使得这两个多面体分别位于平面两侧。如果找不到这样的平面，那么可以判定其相交。这个情况等价于：如果能找到垂直于某个平面的直线，使得多面体在这条直线上的投影不相交，那么就可以判定多面体不相交；否则就相交。这条直线，就是分离轴。一般而言，检验多面体在直线上的投影，会比检验多面体是否位于平面两侧更加方便。

SAT是一种检测凸多边形相交的算法，他的内容是，如果能找到一条轴，使得两个无题在该轴上的投影互不重叠，那么着两个物体就是不相交的。

强荐：转载http://hi.baidu.com/jrsnail/blog/item/19f9b4b30e11ecacd9335a8d.html

简介

本文是阐述如何在2D动作游戏中进行精确而高效的碰撞检测。这里的碰撞是基于多边形而不是基于精灵的。这两者之间在设计上会有不同。

基于精灵的碰撞检测是通过精灵之间的重叠的像素来完成的。而多边形使用向量数学来精确计算交点，时间和碰撞方向。虽然多边形仅仅是精灵的一个近似，但是它比精灵系统要高级。

可以精确模拟逼真的简单物理学，例如反弹，摩擦，斜面的滑行

碰撞检测可以更精确的用于高速精灵系统。在基于精灵的系统中，如果物体移动过快就会在跳过另一个物体。

基于向量数学因此可以扩展到3D，然而精灵碰撞系统被严格限制在2D的情况下。

特性

本文使用的算法只适用于凸多边形，例如三角形，四边形，六边形，圆形。对于非凸多边形，你可以将其分解为多个凸多边形，例如三角形。

算法可以用于快速移动或慢速移动的多边形。不管物体移动多快，碰撞都不会丢失。它也可以处理重叠的问题，并促使交叠物体分离。

演示也支持分割多边形交叉。这可以用于子弹的建模。

同时提供了简单的物体系统，弹力，一些基本的摩擦和静摩擦力。用于确保物体不会从斜面上滑落。

有一个刚体系统的例子，使用了Chrsi Hecker的物理教程。

限制

有序碰撞。就是说并不是有序的进行碰撞。这对于快速移动的物体会出现一定的问题。一旦碰撞被检测到，它就被直接处理了。理想状态下你可能需要找到一个碰撞点并处理它，然后寻找更多的碰撞。但是对于2D动作游戏，这通常是不必要的。

一、分离坐标轴方法

这个方法是碰撞检测的核心。它的规则非常简单并且非常易于实现。这个方法也非常快并且非常可靠，因为计算中没有使用除法操作，下面给出一个简单的基于两个BOX的碰撞检测的例子。

算法试图在两个物体之间找到一个合适平面，如果这个平面存在，那么物体就没有相交。

为了测试物体是否是分开的，简单的方法是投影这个物体到平面的法线上，并比较两者之间的间距看二者是否重叠。

显然有无数的平面可以用来分割两个物体。但是已经经过证明的是：你只需要使用一部分平面来进行测试，对于BOX从上图中可以看出平面的法线为BOX B的长轴。

对于BOX来说需要测试的分割平面是那些法线等于两个BOX的轴向的平面。因此对于两个BOX来说，你只需要测试4个分割平面即可。在这四个平面里，一旦发现一个分割平面可以分割BOX那么你就可以断定这两个BOX是不相交的。

如果四个平面都不能分割BOX，那么这两个BOX一定是相交的，也就是出现了碰撞。

可以扩展这个算法到普通的多边形，算法是相同的，只用需要测试的平面的数量改变了。并且分割平面在每个多边形边的垂直方向上又有一个法线。在下图中，你可以看到两个分割平面用于测试。在红色的平面上你可以看到两个间隔是重叠的。然而，在蓝色的平面上间隔是不重叠的，因此，蓝色的平面的是分割平面，因此物体是不相交的。

现在，我们有一个算法来检测两个多边形是否是相交的。代码可以分为三个部分：

a) 生成需要测试的分离轴

b) 计算每一个多边形在分离轴法线上的投影

c) 检测这些投影是否相交

bool Intersect(Polygon A, Polygon B)
{
for(I = 0; I < A.num_edges; I ++)
{
Vector N = Vector(-A.EdgeDir[I].y, A.EdgeDir[I].x);
if (AxisSeparatePolygons(N, A, B))
return false;
}
for(I = 0; I < B.num_edges; I ++)
{
Vector N = Vector(-B.EdgeDir[i].y, B.EdgeDir[I].x);
if (AxisSeparatePolygons (N, A, B))
return false;
}
return true;
}

void CalculateInterval(Vector Axis, Polygon P, float& min, float& max)
{
float d = Axis dot P.vertex[0]; //从坐标原点开始计算向量
min = max = d;
for(I = 0; I < P.num_vertices; I ++)
{
float d = P.vertex[I] dot Axis;
if (d < min)
min = d;
else
if(d > max)
max = d;
}
}

算法检测2D多边形之间的碰撞，这个算法非常的快速和适用。边的方向不需要单位化，因此你可以避免存贮边的方向，并通过多边形的顶点直接得到边的方向。

for(J = A.num_vertices-1, I = 0; I < A.num_vertices; J = I, I ++)
{
Vector E = A.vertex[I] – A.vertex[J];
Vector N = Vector(-E.y, E.x);

if (AxisSeparatePolygons(N, A, B))
return false;
}

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