重点难点突破——级数与数列综合大题

几个月前有幸听过超哥（考研数学杨超）的课，他对于基础阶段同学的复习思路提出了自己的想法，大意就是：你们现在复习抓不住重点，总想着在基础阶段把所有考点一次性全弄懂。就拿证明数列极限存在来讲，你们现在做的那些题考研根本不会考。考研难度的证明数列极限存在是结合拉格朗日中值定理或者级数来做，你们还天天觉得自己复习即全面又良好······
现在都九月份了，我也做过不少模拟卷，级数基本都会做一个大题，其考察内容与难度有很大的关系：

常数项级数求和。难度系数：⭐⭐
具体函数（与定积分，微分方程结合）证明级数收敛。难度系数：⭐⭐⭐
与数列结合的抽象级数收敛。难度系数：⭐⭐⭐⭐
傅里叶变换。难度系数：⭐⭐

而最近我每次遇到数列与级数的综合大题就会栽跟头。至此我决定总结一下方法与思想，形成自己的方法体系。
由于数列的特殊性，我们没办法使用比值判别法和根值判别法。所以我们主要是利用已知级数的敛散性，根据比较判别法来确定未知的敛散性。

有界与连续性

理论知识：

若函数f(x)在某闭区间内连续，则f(x)在该区间内有界
若级数∑i=1∞an\sum_{i=1}^{∞}{a_n}∑i=1∞an绝对收敛，则ana_nan是有界的
Sn=∑i=1∞(an+1−an)S_n=\sum_{i=1}^{∞}{(a_{n+1}-a_n})Sn=∑i=1∞(an+1−an)，将其展开就是Sn=an+1−a1S_n=a_{n+1}-a_1Sn=an+1−a1。这样我们就将证明级数收敛转为证明数列极限存在

级数收敛的充要条件是：前n项和SnS_nSn的极限存在

理论到位，实践开始！

这里给出的条件∑n=1∞(an+1−an)\sum_{n=1}^{∞}(a_{n+1}-a_n)∑n=1∞(an+1−an)收敛，应用了我们上面的理论3，得到数列ana_nan是收敛了，从而得到有界。这样anbna_nb_nanbn的判断就可以利用比较判别法对MbnMb_nMbn的判断。
这里的例6给出某邻域内二阶可导，则说明在邻域内f(x)是有界的。那么写出泰勒展开式以后利用有界性可以将未知量转为定值M，从而利用比较判别法便可确定。
例5虽然没有利用有界性，但同样是看到xn=1−xnnnx_n=\frac{1-x_n^n}{n}xn=n1−xnn以后，观察能否得出xn<1nx_n<\frac{1}{n}xn<n1的结论来。
总结一下
这种题目就是找要证级数和已知敛散性级数的关系，已知的级数可能题目会给出，也可能是常见的p级数。怎么找到两者的关系呢？主要是放缩，找到一个比所求的级数大但是还收敛的级数。

拉格朗日中值定理

这种题目特征很明显，给出了f′(x)f'(x)f′(x)的大小和xn与f(xn−1)x_n与f(x_{n-1})xn与f(xn−1)的关系。题目中给出的级数形式是我们非常熟悉的两项之差，而题干也给出了应用拉格朗日中值的条件，那么就有
∣xn+1−xn∣=∣f(xn)−f(xn−1)∣=f′(ξ)∣xn−xn−1∣<12∣xn−xn−1∣|x_{n+1}-x_n|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|=f'(\xi)|x_n-x_{n-1}| \\ <\frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}| ∣xn+1−xn∣=∣f(xn)−f(xn−1)∣=f′(ξ)∣xn−xn−1∣<21∣xn−xn−1∣
这样我们就得到了一个可以迭代的式子，从而证明原级数收敛。
由于我们第一问证明了绝对收敛，那么SnS_nSn的极限是存在的，而Sn=xn+1−x1S_n=x_{n+1}-x_1Sn=xn+1−x1，从而得到xnx_nxn的极限存在。同时让你证明这个极限位于0到2之内。乍一看可能没有什么思路，题目中也没给出其他的条件用于计算极限值，最多将极限值A代入得A=f(A)A=f(A)A=f(A)。题目中有一个f(0)=1f(0)=1f(0)=1的条件还没用。假如我们令F(x)=f(x)−xF(x)=f(x)-xF(x)=f(x)−x，那么x=Ax=Ax=A是不是该方程F(x)=0F(x)=0F(x)=0的一个根呢？根据零点存在性定理，只要证明F(0)F(0)F(0)与F(2)F(2)F(2)是异号的就可以了
总结一下
这种题目主要是利用了迭代的思想，从∣xn+1−xn∣|x_{n+1}-x_n|∣xn+1−xn∣推出∣xn−xn−1∣|x_n-x_{n-1}|∣xn−xn−1∣，从而放缩得证。在这种方法中一定要让两者的比例系数小于1，方便构造p级数来证明收敛。

这道题可以思考一下，也是利用上述方法。

从已知数列收敛出发

这种题目往往需要利用题目中已知收敛的级数

这道题就是利用了题目中第二问的结论
由∑n=1∞an收敛若an+1anan为常数，那么说明这两个级数是同敛散。由\sum_{n=1}^{∞}a_n 收敛 \\ 若\frac{\frac{a_{n+1}}{a_n}}{an}为常数，那么说明这两个级数是同敛散。由n=1∑∞an收敛若ananan+1为常数，那么说明这两个级数是同敛散。
那么
∑n=1∞an+1anan=∑n=1∞an+1an2=∑n=1∞ln(ean−an)an2≤∑n=1∞ean−an−1an2由于级数收敛的必要条件lim⁡n→∞an=0∑n=1∞ean−an−1an2=∑n=1∞∑k=2∞ankk!an2=12\sum_{n=1}^{∞}\frac{\frac{a_{n+1}}{a_n}}{a_n}= \sum_{n=1}^{∞}\frac{a_{n+1}}{a_n^2}=\sum_{n=1}^{∞}\frac{ln(e^{a_n}-a_n)}{a_n^2} \le \sum_{n=1}^{∞}\frac{e^{a_n}-a_n-1}{a_n^2}\\ 由于级数收敛的必要条件\lim_{n \to \infty} a_n=0 \\ \sum_{n=1}^{∞}\frac{e^{a_n}-a_n-1}{a_n^2}=\sum_{n=1}^{∞}\frac{\sum_{k=2}^{∞}\frac{a_n^k}{k!} }{a_n^2}=\frac{1}{2} n=1∑∞ananan+1=n=1∑∞an2an+1=n=1∑∞an2ln(ean−an)≤n=1∑∞an2ean−an−1由于级数收敛的必要条件n→∞liman=0n=1∑∞an2ean−an−1=n=1∑∞an2∑k=2∞k!ank=21
下题中有一个很典型的结论。即
lim⁡n→∞an存在⇔∑n=1∞(an+1−an)收敛\lim_{n \to \infty} a_n存在\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{∞}(a_{n+1}-a_n )收敛 n→∞liman存在⇔n=1∑∞(an+1−an)收敛

还是上面说的那套逻辑。啪，打完收工。
总结一下
当你在题目中无从下手不知道如何判断时，想想题目中已知的条件能否构造出一个收敛的级数，然后利用两级数的比值为常数从而同敛散的结论证明。

尾声

这部分内容很多年没有考了，级数这部分即是重点又是难点。在早年高数5道大题中必有一道级数的题目，以常数项求和居多。现在考研数学越来越难，综合性越来越强，所以对于难点不容忽视，必须啃下硬骨头。