【Python】Bezier曲线插值反解控制顶点

1. 原理解释（均匀节点）

对于给定Bezier曲线上的插值点 $P_i$ ，通过 $Pi=r(ui)=∑j=0nJn,j(ui)VP_i = r(u_i)=\sum_{j=0}^n{J_{n,j}(u_i)V}$ ;
其中 $V=[V0,V1,⋯,Vn]V=[V_0,V_1,\cdots,V_n]$ ，称 $V_i$ 为型值点， $[P_1,P_2,\cdots,P_n]$ ，且 $P_i$ 为给定值，而 $u_i$ 为 $[0, 1]$ 范围内的一个节点，在本程序中我们认为 $u_i$ 为均匀节点，即n次Bezier曲线在 $[0, 1]$ 上有n+1个节点，例 $n = 4, u = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]$ 。
由Bezier曲线的端点性质可以知道曲线在端点处型值点与插值点为同一个点。
结果展示：

bezier反解作图

2. 原理解释（非均匀节点）

3. Jupyter程序

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mathplt.rcParams["font.sans-serif"]=["SimHei"] #设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False #该语句解决图像中的“-”负号的乱码问题

# 阶乘函数
def jc(x):return math.factorial(x)def Bernstein(n,m): u1 = np.linspace(0,1,n+1)  # u1 代表插值点对应的均匀点 uiu2 = np.linspace(0,1,m)  # m 代表画曲线时 u 的取点数量J1 = pd.DataFrame() # 存储伯恩斯坦基函数在给定 u1 下系数矩阵J2 = pd.DataFrame() # 存储为绘制曲线的系数矩阵for i in range(n+1):k = icolumn = 'C'+str(i)C_nk = jc(n)/(jc(k)*jc(n-k))J_nk1 = C_nk*pow(u1,k)*pow(1-u1,n-k)J_nk2 = C_nk*pow(u2,k)*pow(1-u2,n-k)J1[column] = J_nk1J2[column] = J_nk2J1 = np.around(np.matrix(J1).I,2)   # 将伯恩斯坦基函数取逆后截取两位小数
#     print(J1,J2)return J1,J2

# 输入n
def Bezier_inverse():n = int(input("请输入n（n为Bezier次数）："))m = int(input("请输入m（m为u的取值个数）："))print("请输入{0}个插值点".format(n+1))x = []y = []for i in range(n+1):x1 = float(input("请输入第{0}个点的x坐标：".format(i+1)))y1 = float(input("请输入第{0}个点的y坐标：".format(i+1)))print("添加坐标点({0},{1})\n".format(x1,y1))x.append(x1)y.append(y1)J1,J2 = Bernstein(n,m)  # J1为一个 n+1*n+1 的矩阵X_con = []  # 存储控制点的坐标Y_con = []X_bez = []Y_bez = []X_con = J1*np.matrix(x).T  # 计算控制点的X值Y_con = J1*np.matrix(y).T  # 计算控制点的Y值for i in range(m):  a = sum(J2.iloc[i,:]*X_con.T.tolist()[0])  # x为所有点x轴的值b = sum(J2.iloc[i,:]*Y_con.T.tolist()[0])  # y为所有点y轴的值X_bez.append(a)Y_bez.append(b)# 绘制Bezier曲线fig = plt.figure(figsize=(10,8))fig.suptitle(str(n)+'次Bezier曲线',fontsize=16)plt.plot(X_con,Y_con,marker='o',markerfacecolor='white')  # 画空心圆plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(X_bez,Y_bez)  # 画空心圆plt.xticks(fontsize=14)plt.yticks(fontsize=14)plt.show()

4. 封装至class中

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.random import rand
import pandas as pd
import math
import randomplt.rcParams["font.sans-serif"]=["SimHei"] #设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False #该语句解决图像中的“-”负号的乱码问题class click_curve:# 在类中定义的带self的变量均为全局变量def __init__(self,n,m,ax):self.ax = axself.m = mself.n = nself.x = []self.y = []self.i = 0self.cid = self.ax.figure.canvas.mpl_connect('button_press_event', self)def jc(self,a):  # 阶乘return math.factorial(a)def Bernstein(self): u1 = np.linspace(0,1,self.n+1)u2 = np.linspace(0,1,self.m)  # m代表[0,1]上取多少个点J1 = pd.DataFrame() # 存储伯恩斯坦基函数在给定u1下的的值J2 = pd.DataFrame() # 存储为给定u的值for i in range(self.n+1):  # 输入n个点，n不为次数k = icolumn = 'C'+str(i)C_nk = self.jc(self.n)/(self.jc(k)*self.jc(self.n-k))J_nk1 = C_nk*pow(u1,k)*pow(1-u1,self.n-k)J_nk2 = C_nk*pow(u2,k)*pow(1-u2,self.n-k)J1[column] = J_nk1J2[column] = J_nk2J1 = np.around(np.matrix(J1).I,2)return J1,J2# 输入ndef Bezier_inverse(self):# 调用Bernstein基函数J1,J2 = self.Bernstein()X_con = []  # 存储控制点的坐标Y_con = []X_bez = []  # 存储Bezier曲线上的所有点Y_bez = []X_con = J1*np.matrix(self.x).T  # 计算控制点的X值Y_con = J1*np.matrix(self.y).T  # 计算控制点的Y值for i in range(self.m): a = sum(J2.iloc[i,:]*X_con.T.tolist()[0])  # x为所有点x轴的值b = sum(J2.iloc[i,:]*Y_con.T.tolist()[0])  # y为所有点y轴的值X_bez.append(a)Y_bez.append(b)self.ax.plot(X_con,Y_con,marker='o',markerfacecolor='white')  # 画空心圆# self.ax.plot(self.x,self.y,'b')  # 连线self.ax.plot(X_bez,Y_bez,'r')  # 画曲线print('success')self.ax.figure.canvas.draw()def __call__(self,event):if event.inaxes != None:if event.button==1 and self.i < self.n+1:self.i+=1#     plt.ax.scatter(event.xdata, event.ydata)self.x.append(event.xdata)self.y.append(event.ydata)print("输入坐标点为：({0:.2f},{1:.2f})".format(event.xdata, event.ydata))self.ax.plot(event.xdata, event.ydata, 'bo',markerfacecolor='white')self.ax.text(event.xdata+0.05, event.ydata+0.05,"({0:.2f},{1:.2f})".format(event.xdata, event.ydata))self.ax.figure.canvas.draw()elif self.i >= self.n+1:print("绘图结束")print("x取值：{0}".format(self.x))print("y取值：{0}".format(self.y))self.Bezier_inverse()print("end")returnelse:print("出界了")# def click1(self):#     self.ax.figure.canvas.mpl_connect('button_press_event', self.click)def main():    n = int(input("请输入次数："))x = input("请输入你希望的X轴区间(用空格隔开)：").split(" ")y = input("请输入你希望的Y轴区间(用空格隔开)：").split(" ")m = int(input("请输入m（m为u的取值个数）："))print("\n请在画布上依次点击{0}个点".format(n+1))x1 = []  # 存储figure的x轴区间y1 = []  # 存储figure的y轴区间for i in range(len(x)):x1.append(int(x[i]))y1.append(int(y[i]))fig = plt.figure()ax1 = fig.add_subplot(111)plt.xlim(x1[0],x1[1])plt.ylim(y1[0],y1[1])plt.title("{0}次Bezier曲线".format(n))plt.yticks(fontsize=14)plt.xticks(fontsize=14)click_curve(n,m,ax1)# test.click1()plt.show()if __name__ == '__main__':main()

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