IIR数字滤波器设计和实现
滤波器的性能指标
- 相对指标与绝对指标:
δ p \delta_p δp与 δ s \delta_s δs通带和阻带中所允许的最大波动和最小衰减容限, 相对值得通带最大波动 A p ( d B ) A_p(dB) Ap(dB)阻带内最小衰减为 A s ( d B ) A_s(dB) As(dB)
A p = − 20 lg 1 − δ p 1 + δ p A_p=-20\lg\frac{1-\delta_p}{1+\delta_p} Ap=−20lg1+δp1−δp
A s = − 20 lg δ s 1 + δ p A_s=-20\lg\frac{\delta_s}{1+\delta_p} As=−20lg1+δpδs
模拟域性能指标(归一化):
- 由幅度平方函数求系统函数H(s):
∣ H ( j Ω ) ∣ 2 ∣ Ω 2 = − s 2 = H ( s ) H ( − s ) |H(j\Omega)|^2|_{\Omega^2=-s^2}=H(s)H(-s) ∣H(jΩ)∣2∣Ω2=−s2=H(s)H(−s)
- 将H(s)H(-s)因式分解, 得到零极点, 左半平面极点归于H(s),
- 如果要求最小相位延迟特性, H(s)取左半平面上零点, 如果没有可将对称零点任一半(应为共轭对)取为H(s)零点.
- 按照 H ( j Ω ) H(j\Omega) H(jΩ)和 H ( s ) H(s) H(s)的低频特性对比, 即
或高频特性的对比, 确定系统的增益常数 K 0 K_0 K0.
- 归一化频率:
巴特沃斯滤波器
- 平方幅度频率响应表达式:
- 根据技术指标确定阶数N与3dB截止频率:
通带截至频率 Ω p \Omega_p Ωp
阻带起始频率 Ω s \Omega_s Ωs
通带最大波动 A p A_p Ap
阻带最小衰减 A s A_s As
- 根据N求得极点
为使系统稳定, 取 p k p_k pk在S平面左半平面的N个根作为H ( p)的极点
再将 p = s / Ω c p=s/\Omega_c p=s/Ωc代入 H ( p ) H(p) H(p),得到
冲激响应不变法
- 设计步骤:
- 对H(s)进行拉氏反变换, 得到h(t):
- 对h(t)以周期T进行取样, 则有:
- 由冲激响应不变准则, 有:
- 对h(n)进行z变换, 得到数字滤波系统函数
总结来说, 只要将AF的H(s)分解为部分分式之和的形式, 就可以立即得到响应的DF的系统函数H(z)
双线性变换法
- 数字积分器的系统函数:
即:
s平面与z平面的映射关系:
频率预失真
- 由于数字频率与模拟频率之间为非线性关系 Ω = 2 T tan ω 2 \Omega=\frac{2}{T}\tan \frac{\omega}{2} Ω=T2tan2ω, 当ω很小时, 非线性不突出, 可忽略, 当ω较大时, 失真很突出.
- 针对上述失真, 可通过频率预畸变处理, 使得双线性变换后的频率正好映射到所需要的频率上
模拟频率变换
IIP滤波器设计流程
- 频率变换: 归一化低通滤波器的传输函数变换为一般低通, 高通, 带通, 带阻滤波器的传输函数.
- 频率变换函数: p = q ( s ) p=q(s) p=q(s)
非几何对称型滤波器频率变换
- 若所求带通或带阻滤波器两个通带截止频率和两个阻带起始频率都关于中心频率 Ω 0 \Omega_0 Ω0呈集合对称时,
- 由归一化低通滤波器频率转换得到的带通滤波器和带阻滤波器都是关于 Ω 0 \Omega_0 Ω0几何对称的
- 非对称带通滤波器设计步骤:
- 计算 Ω 0 2 = Ω p 1 Ω p 2 \Omega_0^2=\Omega_{p1}\Omega_{p2} Ω02=Ωp1Ωp2
- 计算 Ω ˉ s 1 = Ω 0 2 Ω S 2 \bar\Omega_{s1}=\frac{\Omega_0^2}{\Omega_{S2}} Ωˉs1=ΩS2Ω02, 如果 Ω ˉ s 1 > Ω s 1 \bar\Omega_{s1}>\Omega_{s1} Ωˉs1>Ωs1, 用 Ω ˉ s 1 \bar\Omega_{s1} Ωˉs1代替 Ω s 1 \Omega_{s1} Ωs1
- 如果 Ω ˉ s 1 < Ω s 1 \bar\Omega_{s1}<\Omega_{s1} Ωˉs1<Ωs1, 计算 Ω ˉ s 2 = Ω 0 2 Ω S 1 \bar\Omega_{s2}=\frac{\Omega_0^2}{\Omega_{S1}} Ωˉs2=ΩS1Ω02, 用 Ω ˉ s 2 \bar\Omega_{s2} Ωˉs2代替 Ω s 2 \Omega_{s2} Ωs2
- 如果 A s 1 ≠ A s 2 A_{s1}\neq A_{s2} As1=As2, 选择 A s = m a x { A s 1 , A s 2 } A_s=max\{A_{s1},A_{s2}\} As=max{As1,As2}
- 非对称带阻滤波器设计步骤:
1. 计算 Ω 0 2 = Ω s 1 Ω s 2 \Omega_0^2=\Omega_{s1}\Omega_{s2} Ω02=Ωs1Ωs2
2. 计算 Ω ˉ p 1 = Ω 0 2 Ω p 2 \bar\Omega_{p1}=\frac{\Omega_0^2}{\Omega_{p2}} Ωˉp1=Ωp2Ω02, 如果 Ω ˉ p 1 > Ω p 1 \bar\Omega_{p1}>\Omega_{p1} Ωˉp1>Ωp1, 用 Ω ˉ p 1 \bar\Omega_{p1} Ωˉp1代替 Ω p 1 \Omega_{p1} Ωp1
3. 如果 Ω ˉ p 1 < Ω p 1 \bar\Omega_{p1}<\Omega_{p1} Ωˉp1<Ωp1, 计算 Ω ˉ p 2 = Ω 0 2 Ω p 1 \bar\Omega_{p2}=\frac{\Omega_0^2}{\Omega_{p1}} Ωˉp2=Ωp1Ω02, 用 Ω ˉ p 2 \bar\Omega_{p2} Ωˉp2代替 Ω p 2 \Omega_{p2} Ωp2
4. 如果 A p 1 ≠ A p 2 A_{p1}\neq A_{p2} Ap1=Ap2, 选择 A s = m i n { A p 1 , A p 2 } A_s=min\{A_{p1},A_{p2}\} As=min{Ap1,Ap2}
IIR数字滤波器实现结构
- IIR DF差分方程:
系统函数:
直接型:
直接I型: 独立地实现有理函数H(z)的每一部分, 整个结构可以看作是两个独立网络的级联—零点和极点. H 1 ( z ) H_1(z) H1(z)对应系统函数 H ( z ) H(z) H(z)的分子多项式, H 2 ( z ) H_2(z) H2(z)对应系统函数 H ( z ) H(z) H(z)的分母多项式.
直接II型: 对于LTI系统, 系统总传输函数和子系统级联次序无关, 可交换级联顺序, 即:
直接I型交换次序后便是直接II型.
- 第一个网络:
- 第二个网络:
正准型: 直接II型的传输网络中两列传输为 z − 1 z^{-1} z−1的之路具有相同的输入, 可合并为一列延迟线.
正准II型: 对正准I型利用转置定理, 得到正准II型:
级联型:
- H(z)可分解为若干实系数二阶因式的乘积:
H i ( z ) H_i(z) Hi(z)可用下面正准型结构实现:
并联型
- H(z)按部分分式展开:
- 当系统函数H(z)具有多重极点时(比如二重极点),
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