最优化方法：八、多目标优化

主要参考书目：

最优化方法及其应用/郭科，陈聆，魏友华.-北京：高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

1、基本原理

基本模型
解的概念
由于优化目标是向量函数，无法直接比较大小，故引入序的概念：

有了序的概念，接下来给出“最优”的概念：
　
绝对最优：
　　若对于X∗∈DX∗∈DX^* \in D，如果对∀X∈D∀X∈D\forall X \in D，都有F(X∗)≤F(X)F(X∗)≤F(X)F(X^*) \le F(X)，则称X∗X∗X^*为该多目标优化问题的绝对最优解。
　
Paerto最优：
　　若对于X∗∈DX∗∈DX^* \in D，如果不存在X∈DX∈DX \in D，使得F(X)≤F(X∗)F(X)≤F(X∗)F(X) \le F(X^*)，则称X∗X∗X^*为该多目标优化问题的Paerto最优解，亦称有效解。
　　将Paerto最优解定义中的F(X)≤F(X∗)F(X)≤F(X∗)F(X) \le F(X^*)改为F(X)<F(X∗)F(X)<F(X∗)F(X) ，则变为弱Paerto最优解，亦称弱有效解的定义。
　　可以看到（弱）Paerto最优是指解在“≤(<)≤(<)\le (”意义下不可改进。
解的性质
1. 绝对最优必有效。
2. 有效必若有效。
3. 各分量函数的最优解集的交是绝对最优解集。
4. 各分量函数的最优解集包含于弱有效解集，且当绝对最优解集非空时，弱有效解集为各分量函数的最优解集的并。
  斜体部分证明：

2、评价函数法

基本原理
构造h:Rn⇒R1h:Rn⇒R1h:R^n \Rightarrow R^1，化多目标优化为单目标优化h(F(X))h(F(X))h(F(X))。
常用方法
(1)理想点法
　　先分别对目标函数的每一个分量进行优化，求得其最优值f∗ifi∗f_i^*，并以此构造理想点F∗F∗F^*，最后再以FFF和F∗" role="presentation">F∗F∗F^*的距离（或者其他何以反映广义“距离”的量），即d(F(X),F∗)d(F(X),F∗)d(F(X),F^*)为目标函数。也就是

h(F(X))=d(F(X),F∗).h(F(X))=d(F(X),F∗).

h(F(X))=d(F(X),F^*).
　　距离的定义可以为
　　

　　d1(F(X),F∗)={∑mi=1wi[fi(X)−f∗i]p}1p,　　d2(F(X),F∗)=max1≤i≤m(wi|fi(X)−f∗i|)),　　d3(F(X),F∗)={∑mi=1wi[fi(X)−f∗if∗i]p}1p.　　d1(F(X),F∗)={∑i=1mwi[fi(X)−fi∗]p}1p,d2(F(X),F∗)=max1≤i≤m(wi|fi(X)−fi∗|)),d3(F(X),F∗)={∑i=1mwi[fi(X)−fi∗fi∗]p}1p.

\begin {array}{lll}d_1(F(X),F^*)=\{\sum^m_{i=1} w_i [f_i(X)-f_i^*]^p\}^{\frac{1}{p}},\\d_2(F(X),F^*)=max_{1 \le i \le m}(w_i|f_i(X)-f_i^*|)),\\d_3(F(X),F^*)=\{\sum^m_{i=1} w_i [\dfrac {f_i(X)-f_i^*}{f_i^*}]^p \}^{\frac{1}{p}}.\end {array}
　　一般要求（其他方法的权值若无特殊说明，同样需要满足此条件。）：
　　

∑i=1mwi=1,wi≥0.∑i=1mwi=1,wi≥0.

\sum _{i=1}^{m}w_i=1,w_i\ge 0.
(2)极小极大法

该方法有一个要求，即几个目标函数的取值范围应大致相同，否则整个寻优过程会被天然就很大的那个函数所主导。对于目标函数取值范围不大相同的情况，往往可以通过除以一个代表函数取值范围大小的特征量，使取值范围都在0-1附近。（特征量的选取往往也需要考虑无量纲化的要求。）
(3)乘除法
该方法要求各目标函数均为正，不为正的话，可以通过处理变得全为正，比如：

f′i=efi.fi′=efi.

f_i^{'}=e^{f_i}.
假设前sss个目标函数越小越好，后m−s" role="presentation">m−sm−sm-s个目标函数越大越好，此时评价函数可以取为：

h(F(X))=∏i=1s(fi(X))wi∏i=s+1m(fi(X))wi.h(F(X))=∏i=1s(fi(X))wi∏i=s+1m(fi(X))wi.

h(F(X))=\dfrac{\prod \limits _{i=1}^{s}(f_i(X))^{w_i}}{\prod \limits _{i=s+1}^{m}(f_i(X))^{w_i}}.
求解该函数的最小值即可。
(4)线性加权法
构造目标函数：

h(F(X))=∑i=1mwifi(x).h(F(X))=∑i=1mwifi(x).

h(F(X))=\sum_{i=1}^m w_i f_i(x).
注意，使用该方法时应把各目标函数都化成统一求极大或者极小，最简单的方法是通过添加负号实现。该方法还应注意各目标函数的取值范围应该大致相同，必要时可做标准化处理。处理方法在极大极小法中提到过一些，
关于各方法求得的解的特点
判断权重的基本方法
有专家评级法，层次分析法，熵权法等。

3、分层求解法

即把目标函数分层不同层次，先优化第一层次，再把优化结果当做第二层的条件进行第二层优化，以此类推。

4、目标规划法

决策者预先给定一个目标值：[f01,f02,⋯,f0m]T.[f10,f20,⋯,fm0]T.[f_1^0,f_2^0,\cdots,f_m^0]^T.，在优化过程中考虑实际值与目标值的偏差：

∑i=1mwi|fi−f0i|∑i=1mwi|fi−fi0|

\sum_{i=1}^m w_i|f_i-f_i^0|
把问题转化为使该函数最小的单目标优化。

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