结构力学的教学思路

2019-10-14

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一、经典位移法(以下简称位移法)和矩阵位移法都是求解杆系结构的基本方法，是结构力学课程中两个十分重要的内容，两种方法都是结构力学课程中讲授的难点。位移法是以力法为基础的以独立结点位移为基本未知量的适合于手算的一种结构计算方法，其后续内容渐近法(包括力矩分配法、无剪力分配法等)则是在位移法的基础上演变而来的适用于求解某些特殊结构的较简便的计算方法(如力矩分配法适用于计算连续梁和无侧移刚架、无剪力分配法适用于计算由剪力静定杆和无侧移杆组成的结构)，可见，渐近法实质上仍属于位移法的范畴。上述位移法及其演变而来的简便方法，占据了结构力学课程教学中超静定结构计算内容的较大部分学时。矩阵位移法是在电子计算机迅速发展起来后所出现的求解杆系结构的适合于电算的一种结构计算方法，该法也是以结点位移作为基本未知量，实际上也是位移法。 位移法和矩阵位移法既有共同之处，又有其不同的特点，这也是目前学生在学习中难以把握的主要原因之一。笔者从事结构力学课程教学工作十几年，对这两个内容的教学有一定的体会，即在讲课时，要讲透它们的共性，还要强调区分它们的个性，这样才能有效地提高教学效果，使学生能通过课堂学习掌握和理解这两个内容的基本原理和方法。 二、位移法的教学方法 在教学内容安排上，位移法是在另一种计算超静定结构基本方法-力法之后讲授。由于学完了力法，学生对超静定结构的特性和计算思路有了一定的认识，即超静定结构的内力仅由平衡条件无法完全确定，还必须再考虑变形协调条件建立补充方程才能求出。平衡条件和变形协调条件缺一不可。强调这点在教学中尤为重要。考虑到学生已具备的力法基础，故在讲授位移法基本原理时，可通过与力法基本思路对比进行讲授，便于学生理解。 下面通过一个具有两个基本未知量(一个独立结点角位移Z1和一个独立结点线位移Z2)的结构(见图1(a))为例进行教学说明。首先向学生强调与力法计算一样，位移法的计算也要取基本结构。那么，取基本结构有何用？位移法基本结构的取法与力法有何不同？为什么要这样取？这些问题可向学生提出，并引导学生思考。具体讲法如下：基本结构是连接原结构与已知结构之间的桥梁，力法取基本结构为去约束，位移法取基本结构为加约束。对于此例，在结点1添加附加刚臂，在结点2添加水平附加链杆，即得其位移法基本结构。虽然取基本结构措施与力法相反，但目的是一致的，即都是要将原结构的计算转化为基本结构的计算。其中，力法是将超静定结构的计算转化为静定结构来计算，而位移法则是将超静定结构的计算转化为若干个单跨梁来计算(因为位移法基本结构是单跨梁的组合体)。那么，如何实现这种转化呢？此处，可引导学生回顾力法的转化思想，即是使基本结构的变形和内力与原结构相同。 故位移法也是从这两方面进行考虑，首先使基本结构的变形与原结构一致，即使基本结构中的附加刚臂发生与原结构相同的转角，附加链杆发生与原结构相同的线位移，对于此例，即使附加刚臂转动Z1，附加链杆水平移动Z2；此时基本结构的内力也与原结构完全相同，故附加刚臂上产生的反力矩R1和附加链杆上产生的反力R2均应为零，即：R1=0、R2=0，由此即可推出位移法典型方程建立位移法典型方程后，接下来要求方程中的系数和自由项，这也是学生感到掌握较困难的一个知识点，为此可按以下思路详细讲解：首先根据以前得到的等截面直杆的形常数和载常数做出基本结构的M1图、M2图和MP图，再讨论如何由这些弯矩图计算。下面来看方程(1)，因为系数的意义为基本结构由附加约束发生单位位移引起的附加约束上的力，自由项的意义为基本结构在荷载单独作用下引起的附加约束上的力，这6个力的计算可按如下办法分析：第一，从典型方程的行看，第一个方程中的3个力r11、r12和R1P，它们的第一个下标相同，都为1，这表明它们都是Z1所属附加约束(附加刚臂)上产生的力，因而都应取包含附加刚臂的结点隔离体(结点1)，利用力矩平衡条件来求出；第二个方程中的3个力r21、r22和R2P，它们的第一个下标也相同，都为2，这表明它们都是Z2所属附加约束(附加链杆)上产生的力，因而都取包含附加链杆的杆件(杆件12)隔离体，利用水平投影平衡条件来求出。第二，从典型方程的列看，第一列两个力r11和r21，它们的第二个下标相同，都为1，这表明它们的起因完全相同，即都是Z1所引起的，故都采用M1图来计算；第二列两个力r12和r22它们的第二个下标也相同，都为2，这也表明它们都是Z2所引起的，故都采用M2图来计算；第三列两个力R1P和R2P的第二个下标都为P，这也表明它们都是荷载所引起的，故应采用MP图来计算。在讲完系数和自由项的计算后，可将以上计算思路归纳总结如下：根据典型方程中系数和自由项的第二个下标判断它们用哪一个弯矩图来求，根据第一个下标确定它们应取哪一个隔离体用哪一种平衡条件来求。 三、矩阵位移法的教学方法 顾名思义，矩阵位移法即“矩阵+位移法”，它是适应电子计算机应用而产生的一种结构计算方法。由于计算机的强大运算能力，使得原本用手工难以完成的较大数目未知量求解，变得易于实现。 矩阵位移法是结构力学课程中最难学习的内容，在讲授这种方法时，必须强调这种方法立足于电算，其求解思路中必须要考虑处理问题的方法要适应电算这一特点。由于最终要在计算机上实现，所以矩阵位移法采用了矩阵这一数学工具，因为矩阵表示的力学关系和方程非常简单、直观，方便推导，且矩阵运算具有规律性、通用性，便于编制通用性和系统性的程序。故矩阵位移法分析中，所有的力学分析过程和公式都要用矩阵来表示，从而便于利用计算机程序进行数值计算。对此，学生普遍感到不太习惯，较为费劲。在刚开始讲授矩阵位移法时，笔者通常要求学生必须复习线性代数中有关矩阵方面的知识，并在课堂上花少量的时间回顾这些内容，以消除学生在矩阵位移法学习中的数学障碍，为矩阵位移法的学习打好扎实的数学基础。 因矩阵位移法实质上仍是位移法，其总体思路与经典位移法类似，但具体做法和概念有所区别。#p#分页标题#e# 故在讲授矩阵位移法基本原理时，应注重其与位移法的比较分析，即可巩固学生的位移法知识，又易于加强学生对矩阵位移法的理解，收到事半功倍的教学效果。以下是位移法难点的讲授办法。 为了使学生对矩阵位移法有一个总体上的概念，必须先说明矩阵位移法的总体思路。即两大步：第一步，离散，即将整个结构在各杆的杆端切开，得到若干个单元(每一根杆即为一个单元)和结点，对每一个单元进行分析，建立单元的杆端力和杆端位移的关系(该关系称为单元刚度方程)。这一步类似于位移法的加附加约束使原结构变为若干个单跨超静定梁的组合体，对每一个单跨超静定梁进行分析，可得其转角位移方程；第二步，集合，将离散的单元和结点组装回原来的结构，即在单元分析的基础上，综合考虑变形协调条件和平衡条件，建立结构的结点力和结点位移的关系(该关系称为结构的原始刚度方程)。该方程类似于位移法的典型方程。 由于原始刚度矩阵是奇异矩阵，故还需进行约束处理(这一内容在位移法中是没有的)。讲完以上思路后，即可分别讲解各个知识点。 矩阵位移法的重点和难点内容有，原始刚度矩阵形成方法、约束处理和非结点荷载的处理等。原始刚度矩阵形成一般采用直接刚度法，即“对号入座，同号相加”法，讲授中应重点讲清如何由单元分析得到的单元刚度矩阵的子块来定“号”，如何再由这些“号”将单刚中的每一个子块按“号”放到原始刚度矩阵中相应位置。约束处理(引入支承条件)也是经典位移法中没有的一个内容，必须重点讲解为何要约束处理(消除刚体位移，使总体刚度矩阵成为非奇异矩阵，从而确定结点位移)及约束处理的具体方法(划零置一法、置大数法)。非结点荷载的处理类似于位移法中自由项的计算，固定所有结点，得各单元的固端力，由此确定各结点的不平衡力，将这些结点不平衡力反号即得非结点荷载的等效结点荷载。 随着我国经济建设的高速发展，计算机的应用已深入国民经济的各行各业，许多大型工程结构的设计计算，已改变手算的落后状态，逐步向电算进行转化。既然计算机的应用已成为衡量现代科学技术发展水平的一项重要标志，那么能否培养出熟练掌握和应用计算机进行工程计算的专门人才，也理应成为教学是否面向现代化的评判标准之一。因此培养学生的电算能力是社会发展的迫切需要。所以在“矩阵位移法”这一内容的教学中，除应讲清的基本原理以外，还应对学生的编程能力、电算能力进行培养。如，在每一个知识点(单元分析、整体分析、约束处理、非结点荷载的处理等)讲完后，可让学生独立编写一段与此相关的程序，并上机调试通过。当讲完整章内容后，再让学生将上述程序组合起来(每段程序作为一个子程序)，形成一个求解杆系结构的小型电算程序。然后布置几道不同类型的杆系结构(连续梁、刚架、桁架、组合结构等)的题目，让学生用电算进行计算，并要求对计算结果进行分析，确保结果正确合理，为学生今后在工作学习中使用大型工程软件打下一定的电算基础和对计算结果定性判断的能力。 四、两种位移法的比较 如上所述，位移法和矩阵位移法是结构力学课程中的重要内容，其中，位移法立足于手算，矩阵位移法立足于电算，两种方法既有关联，又有区别，在讲完矩阵位移法后进行总结时，可对两种位移法按表1进行比较分析，从而加深学生对两种方法的理解和认识。

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