[计算机数值分析]埃特金算法加速迭代法求根过程

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由于前有加速方案需要提供迭代函数 φ ( x ) φ(x) φ(x) 的导数 φ ′ ( x ) φ'(x) φ′(x) 而不便于实际应用。

若将迭代值 x ‾ k + 1 \overline{x}_{k+1} xk+1 = φ ( x k ) \varphi(x_{k}) φ(xk) 再迭代一次，得

x ~ k + 1 = φ ( x ‾ k + 1 ) \widetilde{x}_{k+1}=\varphi{(\overline{x}_{k+1})} x k+1=φ(xk+1)

由于

x ∗ − x ~ k + 1 ≈ L ( x ∗ − x ‾ k + 1 ) x^{*}-\widetilde{x}_{k+1}\approx L(x^{*}-\overline{x}_{k+1}) x∗−x k+1≈L(x∗−xk+1)

将其与

x ∗ − x ‾ k + 1 ≈ L ( x ∗ − x k ) x^{*} - \overline{x}_{k+1} \approx L(x^{*}-x_{k}) x∗−xk+1≈L(x∗−xk)

联立，消去未知的 L，有

x ∗ − x ‾ k + 1 x ∗ − x ~ k + 1 ≈ x ∗ − x k x ∗ − x ‾ k + 1 \frac{x^{*}-\overline{x}_{k+1}}{x^{*}-\widetilde{x}_{k+1}}\approx\frac{x^{*}-x_{k}}{x^{*}-\overline{x}_{k+1}} x∗−x k+1x∗−xk+1≈x∗−xk+1x∗−xk

由此得

x ∗ ≈ x ~ k + 1 − ( x ~ k + 1 − x ‾ k + 1 ) 2 x ~ k + 1 − 2 x ‾ k + 1 + x k x^{*}\approx\widetilde{x}_{k+1}-\frac{(\widetilde{x}_{k+1}-\overline{x}_{k+1})^{2}}{\widetilde{x}_{k+1}-2\overline{x}_{k+1}+x_{k}} x∗≈x k+1−x k+1−2xk+1+xk(x k+1−xk+1)2

若以上式右端得出得结果作为新的改进值，则这样构造出得加速公式不再含有关于导数的信息，但它需要使用两次迭代值进行加工。其具体计算公式如下：

迭代 x ‾ k + 1 \overline{x}_{k+1} xk+1 = φ ( x k ) \varphi(x_{k}) φ(xk)
迭代 x ~ k + 1 = φ ( x ‾ k + 1 ) \widetilde{x}_{k+1}=\varphi{(\overline{x}_{k+1})} x k+1=φ(xk+1)
改进 x k + 1 = x ~ k + 1 − ( x ~ k + 1 − x ‾ k + 1 ) 2 x ~ k + 1 − 2 x ‾ k + 1 + x k x_{k+1}=\widetilde{x}_{k+1}-\frac{(\widetilde{x}_{k+1}-\overline{x}_{k+1})^{2}}{\widetilde{x}_{k+1}-2\overline{x}_{k+1}+x_{k}} xk+1=x k+1−x k+1−2xk+1+xk(x k+1−xk+1)2

上述方法称为埃特金（Aitken）加速方法。

使用埃特金加速算法解前例求方程 x 3 − x − 1 = 0 x^{3} -x-1=0 x3−x−1=0 的唯一正根，如下图所示，埃特金算法的加速效果是显著的。

运行示例：

未使用加速算法，需要迭代 9 次
使用普通加速算法，需要迭代 4 次
使用埃特金加速算法，仅需迭代 2 次

程序源码：

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;/*** f(x) = (x+1)^{1/3)*/
double f(double x)
{return pow(x + 1, 1.0 / 3);
}int main(void)
{double x0;cout << "请输入迭代初值：";cin >> x0;double accrucy;cout << "请输入精度：";cin >> accrucy;int n;cout << "请输入您想要的最大迭代次数：";cin >> n;double x3;int count = 0;do{double x1 = f(x0);double x2 = f(x1);// x3 为利用埃特金加速公式处理后的近似解x3 = x2 - pow(x2 - x1, 2) / (x2 - 2 * x1 + x0);if (abs(x0 - x3) < accrucy){cout << "近似解为：" << x3 << endl;break;}// 继续下一次迭代，直至找到符合精度要求的根或最大迭代次数用完cout << "第 " << ++count << " 次迭代！\t迭代函数的值为:" << x3 << "\t此次迭代精度为:" << abs(x3 - x0) << endl;double item = x0;x0 = x3;x3 = item;if (count > n){cout << "迭代次数耗尽，迭代结束！未找到符合精度要求的根！！！" << endl;break;}} while (abs(x0 - x3) >= accrucy);return 0;
}

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