简介

FHQ_TREAP，是平衡树重点一种，我们都知道，不同的平衡树都有各自的特点，而FHQ-TREAP的特点也很多。1.首先它是否好写，且实现很清真，不容易打错，好调。2.它的常数很小，因为它没有许多平衡树的旋转操作，导致他的常数很小，在随机数据的情况下，一般会快与Splay。3. 其次它支持的功能也很多，支持区间旋转，支持可持久话，可以说是除了Splay外支持功能最多的了。

思路与实现

FHQ_TREAP 好写就在于它的核心操作只有两个，分裂和合并是不是看起来就比Splay亲民多了。而所有其他的操作，都可以通过分裂与合并组合起来来实现。当然，FHA_TREAP还有一个点就是它树高的保持。因为他不想其他的平衡树有旋转操作，所以无法直接改变树高，只能通过事先给每个点随机赋予一个权值。这也就导致了它的时间复杂度也比较玄学。不过一般不会T 除非你的rp实在是太低了。

分裂

分裂操作，就是将一颗平衡树根据某个值拆成两颗平衡树。因为我们需要保证其平衡树的性质，如果乱拆的话显然会破坏其的BIT性质。空想的话可能不太直观，下面我们陪着图来讲(其中园里面的就是这个点的权值，没有加上编号因为容易搞混)：

就想这张图中，我们要以8这个值来分裂，那么我们显然要将所有下小于等于8的点放在同一颗子树中。(之后小于等于8的树成为a树，大于8的成为b树)那么我们先从根节点(10号节点)进入。因为当前节点的权值大于8，又因为BIT的性质，显然这个节点与它的右子树都小于8，那么就将这个点与它的右子树分给b树。然后进入它的左子树。然后来到节点5，因为它的权值比8小，那么就将它与它的左子树分给a树，然后进入它的右节点。然后进入它的右子树。之后只要不断重复这个操作，直道走到叶子节点，此时我们就可以知道那些节点分给那颗子树。但是我们具体该怎么分呢？这时我们就可以引入代码了(因为这里要纯靠文字的话太麻烦了):

void split(int x,int k,int &a,int &b){//&为应用，其实就是在这个函数里面改变，上一个函数对应的值也会改变,相当于这两个函数里的全局变量//分别表示当前节点 ，分裂的权值 ，左边的树的右儿子 ， 右边的树的左儿子if(!x)a=b=0;//没有节点了，不赋 0 的话会存有原来的值 ， 就会WAelse{//需要更新关系 if(t[x].value<=k){//划分到左子树,往右子树递归 a=x;//第一颗树的右子树划为这个节点  , 而这个节点的左子树就固定下来,因为都小于 ksplit(t[x].rc,k,t[x].rc,b);//继续往右子树递归 update(x);} else{//划分到右子树，往左子树递归 b=x;//第二颗树的左子树划为这个节点 ， 这个节点的右子树固定下来split(t[x].lc,k,a,t[x].lc); update(x);}} return ;
}

观察这份代码我们就会发现，每次大于的时候是将当前节点与其右子树分给b树的右子树，然后b树再进入它的左子树。每次小于的时候都是将当前节点与其左子树分给a树的左子树，然后a树在进入它的右子树。也就是分裂的两棵树与原树的递归方向是一致的。根据这个原则，我们就能成功的分出两颗平衡树了。

那这样分为什么是对的呢，我们分开思考，首先是分给b树，将设当前点是b树的根节点，那么直接接受分来的右子树肯定是符合的，而右因为原树会进入到左子树，那么剩下的点肯定都是小于当前b树的。所以可以进入到b树的左子树。而如果不是根节点，因为b树除当前所在点的其他点都要大于原树中的所有节点，所以也是没有影响的。而a树就正好与其相反，所以也是正确的。

合并

合并操作的代码实现也同样简单，只要理解了就非常简单。但是FHQ_TREAP的合并又一个要求，那就是其中一颗平衡树上的所有点都有严格小于另一颗平衡树的所有节点(即一颗平衡树严格小于另一颗)。与上面一样，设当前量两棵树所在的节点为a，b。因为节点的权值已经严格小于了，所以我们划分的依据是它的随机key值。还是先放代码：

int merge(int a,int b){//合并子树，并返回他们的根节点 if(!a||!b)return a+b;if(t[a].key<t[b].key){//比较 key 值  ，看看划分到左边还是右边t[a].rc=merge(t[a].rc,b);//因为左子树 key 值小，所以往右子树递归update(a);return a;//返回合并后的根节点 }else{t[b].lc=merge(a,t[b].lc);update(b);return b;}
}

如果a的key值小一点，那么a作为当前节点，固定a的左子树，进入右子树。如果b的key值小一点，那么b作为当前节点，固定b的右子树，进入b的左子树。操作是不是十分简洁？不过为什么这样是对的呢，首先，如果固定的是a，那么a的右子树将会变成a原来的右子树或b。而这两者都是全部大于a的，所以之后不论固定的是谁，都是符合a的右子树的。所以这样就是正确的。

插入 k

插入只需要先按照 k 的值分成两颗子树，再讲 k 与其中一颗子树合并，再合并两颗子树就可以了。

void init(int k){int a,b;split(root,k,a,b);root=merge(merge(a,new_t(k)),b);//这里的new_t是建立一个新节点，之后都一样
}

删除 k

FHQ_TREAP 的删除也是我最喜欢的一点，因为他足够直观，不像Splay的删除推了我半个小时，同样按照 k 的值县分出两颗平衡树。再在小于等于 k 的那颗子树中按照 k-1 再分一次。那么就会分出一颗质保函权值为 k 的树。我们只需要将这颗树的根节点的左右两颗子树合并就行了。因为在FHQ_TREAP中同样权值的节点也会分成两个点保存。这样合并后就会减少它的根节点。就做到了删除 k 。

void outit(int k){int a,b,c;split(root,k,a,b);split(a,k-1,a,c);c=merge(t[c].lc,t[c].rc);//合并它的两颗子树，就做到了减少一个点，因为根节点没了int root=merge(merge(a,c),b);//将这三颗树重新合并
}

查找 k 的排名

查找 k 的排名也很容易，因为他就是一颗BIT，所以直接按照BIT的性质在树上跑就可以了。当然，还有一种写法就是将其按照 k 分成两棵树，直接输出左树的size就可以了。

void ask(int k){split(root,k-1,a,b);//分裂成两颗树，第一颗树都比 x 小，所以第一颗树的 siz 就是 k 的排名cout<<t[a].size+1<<endl; root=merge(a,b);//拼回去
}

查询排名为 k 的树

查找排名为 k 的树，还是利用BIT的性质，直接在树上暴力跑就可以了。

void ask(int rt,int k){if(k<=t[t[rt].lc].size)ask(t[rt].lc,k);//如果左子树的size大于k，说明目标点在左边else if(k==t[t[rt].lc].size+1){//说明当前节点就是目标点cout<<t[rt].value<<endl;return ;}else if(k>t[t[rt].lc].size+1)ask(t[rt].rc,k-t[t[rt].lc].size-1);return ;
}

查找 k 的前驱

k 的前驱定义为小于 k 中的最大的树。那我们只需要将其按照 k 的值分成两棵树，再查找左树中的最大值就可以了。

void pre(int k){split(root,k-1,a,b);//左子树都是小于 k 的值，找其中的最大值就行ask(a,t[a].size);//找最大值 root=merge(a,b);
}

查找 k 的后继

k 的后继定义为大于 k 中的最小的树。跟前驱一样，按照 k 分成两颗树，找右树中的最小值即可。

void suf(int k){split(root,k,a,b);ask(b,1);//找最小值就行 root=merge(a,b);
}

总结

到此FHQ_TREAP的基础操作就完成了！是不是明显要比其他平衡树好的多。对于平衡树，虽然在很多题目中有很多STL(如set，pbds等)可以代替，但是学习一种新算法是对自己能力的提升。所以千万不要觉得学习这个算法有没有必要。多学一点，总是好的嘛。而对于平衡树，我就建议大家去学习FHA_TREAP(好写易实现)与Splay(LCT会用到)。而对于FHQ_TREAP，其实还有不少进阶操作，就在以后另一篇博客再讲了因为码了这么多，是在码不动了。

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