先给大家道个歉，有一周时间没有发文章，以及打理公众号了。

关于原因，家里出了点事。

已经处理完了，堂主也回归到日常发文了。

个人运营公众号就是这样，遇到突发意外情况，只能暂停。

心里愧疚的是，耽误了你们一些时间，尤其是今天的这篇文章。

堂主看了下5月的规划，按照规划线性代数你们应该还没有开始第三章向量的复习。

还好还好，堂主终于赶上末班车了。

废话不多说，直接上干货。

堂主之前的文章提到过，线性代数市面上的书籍以及课程存在一个问题，

鱼和熊掌不可兼得

要么注重概念讲解，要么注重题目的综合性

如何让二者更好的接合在一起呢？这篇文章是堂主说的重点。

下面都是纯干货，红色部分是考研中怎么考试？我们需要掌握到哪种程度？

01第一章行列式

【行列式知识点提点】

1、行列式本质——就是一个数

2、行列式概念、逆序数

考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

①学习逆序数是为了解决行列式概念，其余没用

②行列式概念一共有两个维度，一个维度只有张宇讲解了，行列式求的是体积。

另一个维度，即课本上的，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和。(共n!项)

②行列式概念，下面这道题极有代表性！

此行列式中，x的3次方的系数为：

答案：-2

3、二阶、三阶行列式具体性计算

考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式

考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理

考研：核心知识点，必考！

6、行列式性质

考研：核心知识点，必考！小题为主。但是他一定会和矩阵一起考。

注意一点，区分行列式性质与矩阵性质。

7、行列式计算的几个题型

①、划三角(正三角、倒三角)

②、各项均加到第一列(行)

③、逐项相加

④、分块矩阵

⑤、找公因

这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中，特征值必出题，还喜欢出大题！

形如：

例题：

答案：2和0

堂主认为，这道题才是行列式最应该掌握的题目。

⑥数学归纳法

⑦范德蒙行列式

⑧代数余子式求和

⑨构造新的代数余子式

答案：⑴0；⑵-40

考研：这9个小知识点，除⑤外，只涉及第一章第二章的考点。

如果出大题，最多是一道大题的第一问！绝不可能单独命题！

8、抽象型行列式(矩阵行列式)

①转置

②K倍

③可逆

③伴随

④题型 丨A+B丨；丨A+B^-1丨；丨A^-1+B丨型

(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)

考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察

【关于行列式的补充网课】

1、堂主建议听两部分，第一部分张宇基础班讲行列式定义；第二部分张宇讲行列式的性质。

2、推荐原因，张宇是从空间几何角度讲解行列式的，了解空间几何，有助于记忆行列式的性质。

比如，为什么行列式某一行(列)元素全为0，则行列式等于0？

是因为行列式的本质是以n个向量为邻边的n维图形的n维体积。

3、数学归纳法本是高中知识，如果不会也可以去听听张宇讲解的数学归纳法。

【堂主本章想说】

1、克拉默法则不是本章应该学习的内容，应该和向量、方程组放在一起学习。

2、行列式在线性代数的应用总结

⑴、Ax=0有非0解

⑵、伴随矩阵求逆

⑶、线性相关(无关)判定

⑷、可逆的证明

⑸、克拉默法则

⑹、特征值计算

⑺、二次型正定判定

3、如何证明|A|=0

方法一：Ax=0有非零解

方法二：反证法

方法三：r(A)

方法四：0是A的特征值

方法五：|A|=-|A|

4、有没有发现，堂主总结的内容，真正能在第一章运用的并不多。

这就是堂主所说的，线性代数各个章节关联性强！

本章的总结，现抄到笔记本上，都学完了回过头再看，别有一番“风味”。

02矩阵

【矩阵知识点提点】

1、矩阵性质

考研：

⑴、与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

⑵、与第一章的行列式混在一起考察。

2、数字型n阶矩阵运算

①方法一：秩是1

②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型

④方法四：利用分块矩阵

⑤方法五：P^-1AP=B；P^-1APP^-1AP=B²

考研：大题出现，是大题的第一问！看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

(如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，失败在归纳总结上了)

方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

其余的不举例子，唯独方法五我要给你们一道例题，这是要出大题的！

答案：

3、伴随矩阵

考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

4、二阶矩阵的伴随矩阵

法则：主对角线互换、副对角线填负号。

考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

应用1：利用其伴随矩阵，快速计算出可逆矩阵

应用2：利用分块矩阵求逆，但是每个小分块又是二阶矩阵。

此时，小分块的伴随可快速写出，从而大矩阵的伴随矩阵也能快速写出。

我忘了李永乐有没有讲，但是此处一定要背会。

如果命题人的重点是想让你求个可逆矩阵，一般是3阶。

如果命题人认为这道题可逆矩阵不是重点，一般是2阶，知道此方法，可以很快写出伴随矩阵

5、可逆矩阵两种求法

第一种：利用伴随

第二种：利用初等行变换

考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

6、分块矩阵

考研：以小题出现

7、初等矩阵

考研：小题出现，以及第三章等价向量组需要用初等矩阵的相关知识。

8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

9、秩(十个公式)

考研：堂主把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍！但是运用有难度。

【关于矩阵的补充网课】

1、堂主给你们的李永乐强化班矩阵讲解顺序是：

⑴矩阵的秩

⑵矩阵的运算

⑶分块矩阵

⑷n阶矩阵求法

⑸伴随矩阵、可逆公式

⑹初等矩阵

⑺正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

先从矩阵的运算开始听课，最后再听矩阵的秩。

2、补充视频听汤家凤基础班讲解矩阵的秩的部分

推荐原因1：老汤是从秩的另外一个角度讲解的，即是秩是方程组约束条件的个数，从这个角度更有助于你们理解秩。

推荐原因2：秩的性质很重要，建议再听一遍老汤的课程加强记忆。

【堂主本章想说】

1、李永乐第二章覆盖的题型已经非常全了。

2、矩阵的秩，本章要求只记忆性质，公式，正式的运用是在向量和方程组。

03向量

【向量知识点提点】

1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)

考研：考单位化，单位化主要在二次型需要应用。

2、线性相关、无关的三大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、向量个数＞维度，必相关

⑶、利用秩

考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

此处要详细唠叨唠叨

【1】三大判别法是按照m和n的关系分类的，设m个n维向量

①当m=n时，即向量个数=维度，用行列式求

②当m＞n时，即向量个数＞维度，必相关

③当m＜n时，即向量个数＜维度，用秩

【2】②以前是张宇讲的，但是今年张宇基础课程没有讲，堂主给你们以前的笔记内容。

从空间几何思考这件事

何为“维度”？

从向量角度，几维=某个向量里面有几个数

从空间角度，几维=几维空间(二维平面，三位立体)

如果无关，要保证每一个向量占据一个维度的空间，且这个空间只能有它这一个向量。

当向量个数多余维度，必然有一个或几个向量要和某个独占一个维度的向量去共享这个维度。

3、线性相关无关证明题三种思路

⑴、利用定义法

方法1：乘

方法2：重组

⑵、用秩

⑶、反证法

考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

举个例子：

这就是和特征值的结合

潜在的条件

⑴、特征值不同，特征向量线性相关

⑵、特征向量ai≠0(定义就这么说)

⑶、Aa=λa a为特征向量

但是！最终的解题方法是利用定义法。线代考研就是这么考的！综合性强！

证明线性无关利用秩，此处也要详细唠叨唠叨

一共6种方法，请收好。

4、线性表出四大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定义

⑷、利用方程组

考研：可小题、可大题，通常是大题的某一问。

5、克拉默法则

考研：服务线性表出。

6、线性表出计算题三大思路

⑴、利用克拉默法则

⑵、构建方程组，抓0思想

⑶、与向量组结合考等价。

考研：大题考点！堂主分析下为什么喜欢考大题？

①涉及部分方程组知识

②涉及矩阵初等行变换知识。

③涉及重要的数学思想：分类讨论！！！

7、线性表出证明题四个理论

考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

各位一定要从空间几何的角度理解线性表出。

8、极大线性无关组

考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

9、等价向量组

考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

【关于向量的补充网课】

之所以推荐李永乐，是因为李永乐向量、方程组讲的是最好的，而线性代数的难点，也是这里。所以此处不推荐补充视频。

【堂主本章想说】

1、本章是最难的是，任何章节的知识点都能和他组合在一起。

比如线性相关无关，线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。

所以，我对你们的要求，等所有学完后，一定要回过头来重新学一遍第三章向量！

04线性方程组

【线性方程组知识点】

1、基础解系

(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。)

2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

⑴、常规求解

⑵、解含参数的方程组

(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固！！)

⑶、利用解的三个性质

⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量！原因如下

①、解题方法多。

②、能与矩阵相关知识联系结合。

3、公共解、同解两种题型

考研：重要考点题！

【堂主本章想说】

本章节，已经侧重应用了，也不难

05特征值与特征向量

【特征值知识点】

1、特征值相关概念与计算

考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

⑵、秩为1的矩阵

⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。

3、相似矩阵概念及性质

考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

4、相似矩阵两种考题

如果P^-1AP=B

⑴若Aλ=λa →B(P^-1a)=λ(P^-1a)

⑵若Ba=λa →A(Pa)= λ(Pa)

考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

5、对角矩阵的相似问题

核心内容：“搭桥”桥是Λ。

考研：核心重点考点！

本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

6、反对称矩阵

考研：小题

7、实对称矩阵以及正交矩阵

考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。

【堂主本章想说】

1、我认为本章需要注意的只有两点

⑴求特征值λ，主要用行列式求，此处有时候不会求行列式。

⑵与前面的章节知识点衔接的不够好。

2、没有推荐网课，李永乐足够。

06二次型

【二次型组知识点】

1、二次型相关概念

内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

2、矩阵的等价、相似、合同

考研：出小题，一定不可能出大题的。

3、化二次型为标准型、正定问题

考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。

这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。

【堂主本章想说】

1、本章80%必出大题，可是，本章的大题大部分的知识点全部来自于前面的章节。

此处的大题不会，不能代表本章不会，只能说明前面没学好。

07堂主想说

1、每个知识点如何考，80%堂主已经标注清楚了。

唯一的遗憾，每个知识点没有举几道例题。

现在的你们，看完这篇文章，一定是云里雾里的感觉。

所以，堂主提出下面的要求

【要求1】截屏或者抄到笔记本上。

【要求2】每复习一章，翻翻这篇文章，看看前面的内容有没有和本章节结合在一起。

比如：复习完第二章矩阵，看看堂主的这篇文章，第一章有什么内容和第二章结合在一起的？

找几个题再练练。

行列式和矩阵最重要的结合部分，即行列式和矩阵的性质容易弄混。

【要求3】全部复习完，从头开始总结

比如：

第一章行列式和矩阵有什么关系？

答：行列式和矩阵的性质容易弄混

行列式和秩有什么关系？

答：行列式不为0，矩阵满秩

行列式和向量有什么关系？

答：行列式等于0，线性相关；β与若干α组成的行列式等于0，则β能由若干个α线性表示等等

行列式与线性方程组的关系？

答：好像没有

行列式与特征值的关系

答：|λE-A|=0等

行列式与二次型的关系

答：二次型正定判定

一定要这样做！线性代数才能学“活”！

2、关于李永乐《线性代数辅导讲义》这本书

堂主可以保证，上面的题全部吃透，线性代数基本没问题了。

此处和高数的说法完全不同

高数部分，堂主是这样说的，一定要经过大量的练习，没有大量练习高数是不行的。

原因1：线性代数的特点所致，题型固定，出题花样较少，都是老套路。

原因2：李永乐这本书大部分都是历年真题，只不过把历年真题按题型分类了。

原因3：自己做过，吃透这本书，稍微做做真题练习，线性代数不是问题。

3、关于李永乐强化班的网课

一定会遇见听课吃力的现象。

为什么听课吃力，堂主也说了。

张宇或者汤家凤的课程，题型、知识点涵盖的并不全。

所以你才会感觉他们的课能听懂，

做几道真题，立马凉凉了。

4、对于基础特别薄弱的！

堂主推荐你听完李永乐的基础班，再听强化班课程。

肯定要耽误半个月的复习时间。

没办法，线性代数的特点就是这样！

一遍听不懂，听第二遍，第三遍慢慢就懂了。

但是千万不要选择下面的听课方法：

先听第一章的基础班，再听第一章的强化班。

这种方法不可取！

08关于网课

有一位“研友”把堂主推荐的网课资源上传到B站了。

并且持续更新。

他对你们只有三点要求：

1、不点赞！不收藏！不投币！

默默关注UP主就好。

2、理解他上传的标题

X戴

3、有问题去交流群反馈

【获取B站UP主方式】

点击文章底部左下角的 “阅读全文”。

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