[线筛五连]线筛约数个数

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线筛约数个数

约数个数的定义

为了格式，写了个这玩意儿。。。

这定义应该很清楚了，写个式子吧。。。

σ0(x)=∑d|x1σ0(x)=∑d|x1

\sigma_0(x)=\sum_{d|x}1

约数个数的性质

设x=pa11pa22...pannx=p1a1p2a2...pnanx=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}

那么有个大家耳熟能详的公式：

σ0(x)=(a1+1)(a2+1)...(an+1)σ0(x)=(a1+1)(a2+1)...(an+1)

\sigma_0(x)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)

那么σ0(x)σ0(x)\sigma_0(x)的积性也是很显然的，博主就懒得证了。。。

这玩意儿仍然能跟数列求和扯上关系，放到后面讲。

约数个数的线筛

为了筛这玩意儿，我们还需要开另外一个数组num[i]num[i]num[i]，记录iii的最小质因数的指数，之所以记录这个，是因为线筛有一个非常好的性质：每个数只会被它的最小质因数筛去。

设T=i×p[j]" role="presentation" style="position: relative;">T=i×p[j]T=i×p[j]T=i\times p[j]，接下来考虑线筛：

1.当TTT为质数时，显然T" role="presentation" style="position: relative;">TTT只有两个约数，111和它自己，最小质因数也只有它自己一个，所以此时σ0(T)=2,num[i]=1" role="presentation" style="position: relative;">σ0(T)=2,num[i]=1σ0(T)=2,num[i]=1\sigma_0(T)=2,num[i]=1；

2.当TTT拥有多个最小质因子（即i mod p[j]=0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]=0i mod p[j]=0i\ mod\ p[j]=0）时，那么TTT就比i" role="presentation" style="position: relative;">iii多了一个最小质因子，根据上面的公式就有σ0(T)=σ0(i)×num[i]+2num[i]+1σ0(T)=σ0(i)×num[i]+2num[i]+1\sigma_0(T)=\sigma_0(i)\times \frac{num[i]+2}{num[i]+1}；

3.当TTT的最小质因子只有一个（即i mod p[j]≠0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]≠0i mod p[j]≠0i\ mod\ p[j]\ne 0）时，TTT比i" role="presentation" style="position: relative;">iii多了一个新的质因子，就有σ0(T)=2σ0(i)σ0(T)=2σ0(i)\sigma_0(T)=2\sigma_0(i)。

综上：

σ0(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2σ0(i)×num[i]+2num[i]+12σ(i)T∈Primei mod p[j]=0i mod p[j]≠0σ0(x)={2T∈Primeσ0(i)×num[i]+2num[i]+1imodp[j]=02σ(i)imodp[j]≠0

\sigma_0(x)=\left\{ \begin{array}\\ 2&\\ \sigma_0(i)\times \frac{num[i]+2}{num[i]+1}&\\ 2\sigma(i)&\end{array}\right.

代码

void get()
{R i,j,t;miu[1]=d[1]=check[1]=1;for(i=2;i<=N;++i){if(!check[i])miu[i]=-1,d[i]=2,num[i]=1,p[++p[0]]=i;for(j=1;j<=p[0];++j){t=i*p[j];if(t>N)break;check[t]=1;if(i%p[j]==0){miu[t]=0;num[t]=num[i]+1;d[t]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);break;}miu[t]=-miu[i],num[t]=1,d[t]=d[i]<<1;}d[i]+=d[i-1],miu[i]+=miu[i-1];}
}