文章目录

向量代数与空间解析几何
- 三维向量叉乘：
- 平面方程：
- 直线方程：
多元函数微分学
- 多元函数连续的充分条件
- 偏导数与连续的关系
- 隐函数的导数
- 方向导数
- 梯度
多元函数微分学的应用
- 空间曲线的切线与法平面方程
- 空间曲线的切平面和法线方程
- 有约束极值
多元函数积分学
- 四个等价命题与格林公式
无穷级数
- 几个性质
- 正项级数敛散性判别法
- - 比较判别法
  - 部分和数列
  - 柯西判别法
  - 比值判别法
- 交错级数敛散性判别法
- - Lebniz method
- 任意项级数敛散性判别法
- - 狄利克雷判别法
- 傅里叶级数

向量代数与空间解析几何

向量混合积：(a × b)· c

定义PrjxaPrj_x aPrjxa为a到x的投影

可用于计算六面体体积。

另：

三维向量叉乘：

(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=∣ijkaxayazbxbybz∣(a_x,a_y,a_z)×(b_x,b_y,b_z)= \left|\begin{array}{cccc} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end {array} \right|(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣

平面方程：

点法式.A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)+D=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)+D=0，其中(A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)为平面的法向量。
截距式: xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1，其中a,b,ca,b,ca,b,c分别是x,y,zx,y,zx,y,z轴的截距。
平面一般方程Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0.
三点式：不常用.

直线方程：

点向式. 设直线的方向向量为(m,n,q)(m,n,q)(m,n,q)，其上有一点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)，则可得直线方程
x−x0m=y−y0n=z−z0q\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{q} mx−x0=ny−y0=qz−z0
两点式

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\frac{x-x_1}{x_2-x1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1

参数式. 设方向向量为(m,n,q)(m,n,q)(m,n,q)，有一点为(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)

{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+qt\left\{ \begin {array}{cccc} x=x_0+mt, \\ y=y_0+nt, \\ z=z_0+qt\end {array} \right. ⎩⎨⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+qt

一般式，两平面方程联立即可

多元函数微分学

多元函数连续的充分条件

（1）f(p)f(p)f(p)在ppp有定义

（2）f(p)f(p)f(p)在ppp有极限

（3）极限值等于函数值

偏导数与连续的关系

简单来说，偏x和偏y只是两个方向，表示在这对正交方向上可导，但只有在二维平面上每个方向都有导数，才能说这个函数是连续的。

隐函数的导数

单方程情形：F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0，则
dydx=−Fx′Fy′\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}} dxdy=−Fy′Fx′
方程组情形：对于方程组{F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0.\begin{cases} F(x,y,u,v)=0, \\ G(x,y,u,v)=0.\end{cases} {F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0.

若u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)，
∂(F,G)∂(u,v)=∣Fu′Fv′Gu′Gv′∣\frac{\partial(F,G)}{\partial (u,v)}=\left | \begin{matrix} F_u'&F_v' \\ G_u'&G_v' \\ \end{matrix} \right | ∂(u,v)∂(F,G)=∣∣∣∣Fu′Gu′Fv′Gv′∣∣∣∣

方向导数

偏xxx和yyy的导数实际上是两个方向的方向导数。一般化后，得到公式：
∂f(P0)∂l=(∂f(P0)∂x,∂f(P0)∂y)⋅el\frac {\partial f(P_0)}{\partial l}=(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x},\frac{\partial f(P_0)}{\partial y})·\boldsymbol{e_l} ∂l∂f(P0)=(∂x∂f(P0),∂y∂f(P0))⋅el

其中el\boldsymbol e_lel是沿lll方向的单位向量。

梯度

例如，当f(x,y)f(x,y)f(x,y)是某二元函数时，梯度
gradf(p)=(fx′(p),fy′(p))\textbf {grad}f(p)=(f_x'(p),f_y'(p)) gradf(p)=(fx′(p),fy′(p))

多元函数微分学的应用

空间曲线的切线与法平面方程

若直线lll上的点满足x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)，t∈It\in It∈I，对于直线上一点P(x(t0),y(t0),z(t0))P(x(t_0),y(t_0),z(t_0))P(x(t0),y(t0),z(t0))，有过PPP的切线为x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z′(t0)\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}x′(t0)x−x0=y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0.

法平面方程为x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0.

空间曲线的切平面和法线方程

直接求梯度即可，各系数为切平面系数/法线方程系数。

有约束极值

拉格朗日函数

若约束为φ(x,y,z)=0\ \varphi (x,y,z)=0 φ(x,y,z)=0，可设(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \varphi (x,y,z)(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)，最后解方程组，四维导数分别等于0.

多元函数积分学

四个等价命题与格林公式

∮lPdx+Qdy=0\oint_l Pdx+Qdy=0∮lPdx+Qdy=0
∫lPdx+Qdy\int_l Pdx + Qdy∫lPdx+Qdy与积分路径无关
是某个函数的全微分. 即存在u,du=Pdx+Qdyu,du=Pdx+Qdyu,du=Pdx+Qdy
∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q=∂y∂P在DDD内处处成立

格林公式：
∮Pdx+Qdy=(∬∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint Pdx+Qdy=(\iint \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy ∮Pdx+Qdy=(∬∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
原函数与全微分方程

若DDD单连通，P(x,y),Q(x,y)∈C(D)P(x,y),Q(x,y)\in C(D)P(x,y),Q(x,y)∈C(D)，且有∂Q∂x=∂P∂y\frac {\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q=∂y∂P，则存在函数u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdyu(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdyu(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy，使得du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy.

高斯公式：
∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz
斯托克斯公式：
∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∬(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz=\iint (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
（可以直接计算，改变积分次序，一般用不上这个公式）

散度：
若向量场F=(P,Q,R)F=(P,Q,R)F=(P,Q,R)，则称
∂P(x0,y0,z0)∂x+∂Q(x0,y0,z0)∂y+∂R(x0,y0,z0)∂z\frac{\partial P(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}+\frac{\partial R(x_0,y_0,z_0)}{\partial z} ∂x∂P(x0,y0,z0)+∂y∂Q(x0,y0,z0)+∂z∂R(x0,y0,z0)
为FFF在M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)的散度，简记为divF(x,y,z)∣MdivF(x,y,z)|_MdivF(x,y,z)∣M

则高斯公式的场形式：

∯F⋅dS=∭divFdv\oiint \boldsymbol F ·dS=\iiint div\boldsymbol F dv∬F⋅dS=∭divFdv.

环流量与旋度

rotF=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\textbf{rot} \boldsymbol F = \left | \begin{matrix} \boldsymbol i &\boldsymbol j &\boldsymbol k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R\end{matrix}\right| rotF=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣.

Stokes formula 场形式：

∮F⋅ds=∬rotF⋅dS\oint \boldsymbol F·ds=\iint \textbf{rot}\boldsymbol F·dS∮F⋅ds=∬rotF⋅dS

无穷级数

几个性质

若级数收敛，则项的极限为0.
调和级数发散.
收敛级数满足线性运算。即乘以一个常数或者加上有限个项/一个常数，级数仍然收敛.
收敛级数结合后仍然收敛，但收敛级数去掉某些括号后不一定仍然收敛.

正项级数敛散性判别法

比较判别法

若有A=lim⁡x=0∞un,B=lim⁡x=0∞vnA=\lim_{x=0}^{\infin}u_n,B=\lim_{x=0}^{\infin}v_nA=limx=0∞un,B=limx=0∞vn均为正项级数，∃N>0,c>0\exist N > 0,c>0∃N>0,c>0,当n>N,un≤vnn>N,u_n\leq v_nn>N,un≤vn，则：

（1）当BBB收敛时，AAA也收敛；

（2）当AAA发散时，BBB也发散.

部分和数列

对于正项级数，若部分和数列有上界，则原级数一定收敛。

柯西判别法

对于lim⁡x=0+∞un\lim_{x=0}^{+\infin} u_nlimx=0+∞un，若∃N>0\exist N>0∃N>0，当n>Nn>Nn>N，有unn≥1\sqrt[n]{u_n}\geq 1nun≥1，则原级数发散. 若unn≤q<1\sqrt[n]{u_n}\leq q < 1nun≤q<1（q为确定的常数），则原级数收敛.

比值判别法

若∃N>0\exist N>0∃N>0，当n>Nn>Nn>N，un+1un≥1{u_{n+1}\over u_n}\ge1unun+1≥1，则原级数发散；

若∃N>0\exist N>0∃N>0，当n>Nn>Nn>N，un+1un≤q<1{u_{n+1}\over u_n}\leq q<1unun+1≤q<1（qqq为确定常数），则原级数收敛.

交错级数敛散性判别法

Lebniz method

若交错级数∑n=1+∞(−1)n+1un\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n+1}u_n∑n=1+∞(−1)n+1un满足：

（1）un+1≤unu_{n+1}\le u_{n}un+1≤un；

（2）lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\to+\infin}u_n=0limn→+∞un=0.

则原级数收敛，且和S≤u1S\leq u_1S≤u1.

任意项级数敛散性判别法

考虑绝对级数，绝对级数收敛则原级数绝对收敛，否则不为绝对收敛，但原级数也可能收敛。绝对级数不收敛而原级数收敛的级数称为条件收敛。

充分性： 绝对收敛⇒\Rightarrow⇒原级数收敛

狄利克雷判别法

（1）unu_nun单调减少且极限为0；

（2）∣∑k=1nvk∣≤M|\sum_{k=1}^{n}v_k|\leq M∣∑k=1nvk∣≤M，M>0M>0M>0且为与nnn无关的常数.

则级数∑n=0+∞unvn\sum_{n=0}^{+\infin}u_nv_n∑n=0+∞unvn收敛.

傅里叶级数

对任意一个函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)进行傅里叶展开，

公式：
an=1π∫−ππf(x)cosnxdx,n=0,1,2...;a_n= {1\over \pi}\int_{-π}^{\pi}f(x)cos\ nxdx,\ n=0,1,2...; an=π1∫−ππf(x)cos nxdx, n=0,1,2...;

bn=1π∫−ππf(x)sinnxdx,n=1,2...b_n= {1\over \pi}\int_{-π}^{\pi}f(x)sin\ nxdx,\ n=1,2... bn=π1∫−ππf(x)sin nxdx, n=1,2...

A=12a0+∑n=1+∞(ancosnx+bnsinnx)A={1\over2}a_0+\sum_{n=1}^{+\infin}(a_ncos\ nx+b_n sin\ nx) A=21a0+n=1∑+∞(ancos nx+bnsin nx)

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