matlab 平抛运动,MATLAB计算平抛阻尼运动

MATLAB计算平抛阻尼运动

小球在空气中平抛运动的轨迹

[问题]一小球在空气中作平抛运动，初速度为v0，所受的阻力与速率成正比：f = -kv，k称为阻力系数。画出小球运动的轨迹。

[数学模型]

如B7.1图所示，小球受到重力mg，方向向下；空气阻力f，方向与速度方向相反。根据牛顿第二定律可列出直角坐标方程 d2xdxd2ydy，m2 mg k。 (7.1.1) m2 kdtdtdtdt

由于vx = dx/dt，vy = dy/dt，上式可化为 B7.1图 dvdvxkk vx，y g vy。 (7.1.2) dtmdtm

分离变量得

dvydvxk dt， dt， vxmg kvy/m

积分得

lnvx lnCx kvkmt， [ln(g y) lnCy] t， mkm

kmgkt)，vy [1 exp( t)]。 (7.1.3) mkm当t = 0时，vx = v0，vy = 0，可得Cx = -v0，Cy = -g，因此 vx v0exp( 当t = 0时，x = 0，y = 0，积分上式可得

mv0kmgm2gkx [1 exp( t)]，y t 2[exp( t) 1]。 (7.1.4) kmkkm

这是小球的运动方程，也是以时间t为参数的轨道方程。

[算法]方法一：用解析式。取t0 = m/k为时间单位，取s0 = m2g/k2为坐标单位，坐标方程可表示为

x = s0v0*[1 – exp(-t*)]，y = s0[t* + exp(-t*) - 1]。 (7.1.4*) 其中，t* = t/t0，为约化时间；v* = kv0/mg，是小球的约化初速度。

[程序]zqy6_3ode.m的第一部分如下。

%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(用解析解)

clear %清除变量

v0=input('请输入水平初速度kv0/mg:'); %键盘输入水平初速度

t=0:0.1:4; %时间向量

x=v0*(1-exp(-t)); %有空气阻力的横坐标

y=t+exp(-t)-1; %有空气阻力的纵坐标

fs=16; %字体大小

figure %开创图形窗口

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