题目

传送门 to LOJ

思路

这篇博客讲得很好。我只做一些简要说明。

子任务一：求 min ⁡ \min min 值。这个其实就是卡常的常识，位运算消除分支。而且，如果你看过 O 2 \rm O2 O2 编译下的汇编代码，你会发现 O 2 \rm O2 O2 也是这样干的。

只需要取出 ( a − b ) (a-b) (a−b) 的符号位，用它填满 k k k 个比特。用代码实现，填满方式是 ( ∼ s ) + 1 (\sim s)+1 (∼s)+1，即 s s s 按位取反后再加 1 1 1 。它实际上就是取相反数。而 O 2 \rm O2 O2 的实现就比较粗暴了，因为汇编右移指令会自动用符号位填充高位……

填满之后，分别与 a , b a,b a,b 取按位与，二者求异或和。因为二者之一会是零，另一个会不变。

而操作次数只有 O ( log ⁡ n ) \mathcal O(\log n) O(logn)，我们需要考虑并行。因为对寄存器右移，实际上等价于对多个数同时右移。简单的想法是后一半跟前一半比较，但是这样会导致 “符号位” 没有空间；所以我们用奇数位和偶数位比较。

怎样得到 ( a − b ) (a-b) (a−b) 呢？先将 b b b 按位取反，再做加法。同时，我们会很高兴地发现，此时 “符号位” 已经是 k k k 个 0 0 0 或 1 1 1 了，类似于汇编的右移指令！直接右移即可。

子任务二：排序。这个就比较复杂了，一方面我们没有条件语句，另一方面我们要保持 O ( n ) \mathcal O(n) O(n) 的操作数。

没有条件语句，归并排序和快速排序就嗝屁了。冒泡是可行的，需要并行，并行的结果就是 奇偶移项排序：考虑奇数位与后面的数交换，考虑偶数位与后面的数交换，重复该过程。这个 i d e a \rm idea idea 在某场 CF \textrm{CF} CF 考过，当时需要算，多少轮（上面描述了两轮的情况）能够完成排序。答案不超过 n n n 轮，证明从略。

上面已经可以通过了，但我们还有一个更强的做法是，奇偶归并排序。这是 in-place merge sort \text{in-place merge sort} in-place merge sort 的一种，正常时间复杂度是 O ( n log ⁡ 2 n ) \mathcal O(n\log^2 n) O(nlog2n) 。归并还是要归并，即两边先递归。重点在于， in-place \text{in-place} in-place 合并两个有序数列。不妨设 n n n 为 2 2 2 的幂。

首先，将奇数位数字取出，然后 in-place \text{in-place} in-place 合并。同理，将偶数位也 in-place \text{in-place} in-place 合并。而后，只需要考虑每个偶数位的数字与后一个数字交换即可。

证明：在合并序列前，对于每个偶数位的数字，它前面的数字都小于自己（因为两个子数列都有序）。所以，递归合并后，对于第 k k k 大的偶数位的数字，至少有 k k k 个奇数位的数字小于自己，即第 k k k 大的奇数位数字小于该数。另一方面，除了两个子数列的首元素，奇数位数字前也有小于自己的偶数位元素。所以第 k k k 大的偶数位数字小于 ( k + 2 ) (k{\rm+}2) (k+2) 大的奇数位数字。

于是，第 k k k 大的偶数位数字，只需要跟第 ( k + 1 ) (k{\rm+}1) (k+1) 大的奇数位数字比较。这个数字就是它后面那个数。证毕。复杂度 T m ( n ) = 2 T m ( n 2 ) + O ( n ) = O ( n log ⁡ n ) T_m(n)=2T_m({n\over 2})+\mathcal O(n)=\mathcal O(n\log n) Tm(n)=2Tm(2n)+O(n)=O(nlogn) 。

合并是 O ( n log ⁡ n ) \mathcal O(n\log n) O(nlogn) 的，总复杂度就是 O ( n log ⁡ 2 n ) \mathcal O(n\log^2n) O(nlog2n) 。但是在本题中，并行的能力是很强的，只要比较的元素之间等距，就可以并行。对奇数位合并，和对偶数位合并，二者可以直接并行，所以合并操作次数是 T m ( n ) = T m ( n 2 ) + O ( 1 ) = O ( log ⁡ n ) T_m(n)=T_m({n\over 2})+\mathcal O(1)=\mathcal O(\log n) Tm(n)=Tm(2n)+O(1)=O(logn)，同理递归左右子数列进行排序也可并行，复杂度 T ( n ) = T ( n 2 ) + T m ( n ) = O ( log ⁡ 2 n ) T(n)=T({n\over 2})+T_m(n)=\mathcal O(\log^2 n) T(n)=T(2n)+Tm(n)=O(log2n)，实乃壮举！

代码

本题的限制较为宽松，选择容易实现的方法即可。

#include "registers.h"
#include <vector>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)const int m = 100, b = 2000;
vector<bool> mask;
void memset(vector<bool>::iterator it,bool val,int len){for(; len; --len,++it) *it = val; // similar to pointer
}
void construct_instructions(int s, int n, int k, int q){mask.resize(b); // and never changememset(mask.begin(),false,b); // clearif(s == 0){ // I hate melded 2 questionsif(n&(n-1)){ // not power of 2memset(mask.begin()+n*k,true,(128-n)*k), n = 128;append_store(1,mask), append_or(0,0,1);}for(int len=1; len!=n; len<<=1){memset(mask.begin(),false,n*k);for(int i=0; i!=n; i+=(len<<1))memset(mask.begin()+(i+len)*k,true,k);append_store(1,mask), append_and(2,0,1);append_xor(0,0,2); // remove odd numbersappend_right(2,2,len*k); // align odd and even numbersappend_not(3,2); // negate odd numbersappend_add(4,0,3); // add to get signappend_right(4,4,k); // fill number with signappend_and(0,0,4); // if sign = 1, then a is smallerappend_not(4,4); append_and(2,2,4); // else b <= aappend_xor(0,0,2); // one of them is empty}}if(s == 1){ // difficult sortif(n&1){ // assume even elementsmemset(mask.begin()+n*k,true,k);append_store(1,mask), append_or(0,0,1);memset(mask.begin()+n*k,false,k), ++ n;}memset(mask.begin(),true,k);append_store(0xF,mask); // cover first elementmemset(mask.begin(),false,k);memset(mask.begin()+(n-1)*k,true,k);append_store(0xE,mask); // cover last elementrep(par,0,1){memset(mask.begin(),false,n*k);for(int i=(par^1)<<1; i!=n; i+=2)memset(mask.begin()+(i^par)*k,true,k);append_store(5+par,mask); // save mask}rep(cs,1,n) rep(par,0,1){append_and(2,0,5+par); // pre-computedappend_xor(0,0,2), append_right(2,2,k);if(!par) append_or(2,2,0xE); // INFTYappend_not(3,2), append_add(4,0,3), append_right(4,4,k);if(!par) append_or(4,4,0xF); // cover first elementappend_and(0xA,0,4); // if sign = 1, then a is smallerappend_not(4,4); append_and(0xB,2,4); // else b <= aappend_xor(0xC,0,2); // original xor valueappend_xor(0,0xA,0xB); // one of them is emptyappend_xor(0xC,0xC,0); // get another oneappend_left(0xC,0xC,k), append_xor(0,0,0xC);}}
}

后记

谁告诉你 bool[] v 表示 vector<bool> v 的？我本以为这只是误用了 java-style \text{java-style} java-style 呢……

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