#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstring>
using namespace std;/函数声明//
//大整数减法;
string subBI(string A, string B);
//数字转字符串
string Int_to_String(int num);
//字符串转数字
int String_to_Int(string s);
//去掉前面的0
string remove_zero(string s);
//大整数加法
string plusBI(string A, string B);
//判断结果正负号
string judge_outcome(string A, string B);
//补齐符号
string complete_sign(string A);
////大整数加法
string plusBI(string A, string B)
{//获取字符串A、B中最长的那个字符串的长度（A、B是只是数字部分的字符串）int length = A.length() >= B.length() ? A.length() : B.length();//temp：中间运算的值，result：最后的结果string temp = "", result = "";//对齐A、Bstring part_A(length - A.length(), '0');A = part_A + A;string part_B(length - B.length(), '0');B = part_B + B;//value_A：读取的A上的每一位值；value_B：读取的B上的每一位值；count：计算是否需要借位int value_A, value_B, count = 0;//从低位开始一位一位的累减for (int i = 1; i <= length; i++){//获取四个整数当前位的值value_A = String_to_Int(A.substr(length - i, 1));value_B = String_to_Int(B.substr(length - i, 1));temp = Int_to_String(value_A + value_B);  //以字符串形式存储当前位相加的结果if (i == 1)  //最低位相加无须考虑进位{result = temp;}else if (result.length() > i - 1)  //非最低位相加需考虑已加结果是否有进位{//有进位的情况value_A = String_to_Int(result.substr(0, 1));value_B = String_to_Int(temp);temp = Int_to_String(value_A + value_B);result = temp + result.substr(1);}else  //无进位的情况{result = temp + result;}}return result;
}//大整数减法;
string subBI(string A, string B)
{//获取字符串A、B中最长的那个字符串的长度（A、B是只是数字部分的字符串）int length = A.length() >= B.length() ? A.length() : B.length();//temp：中间运算的值，result：最后的结果string temp = "", result = "";//对齐A、Bstring part_A(length - A.length(), '0');A = part_A + A;string part_B(length - B.length(), '0');B = part_B + B;//value_A：读取的A上的每一位值；value_B：读取的B上的每一位值；count：计算是否需要借位int value_A, value_B, count = 0;//从低位开始一位一位的累减for (int i = 1; i <= length; i++){//获取两个整数从尾到头的每个字符value_A = String_to_Int(A.substr(length - i, 1));value_B = String_to_Int(B.substr(length - i, 1));//两数相减，不用借位if ((value_A - count - value_B) >= 0){temp = Int_to_String(value_A - count - value_B);result = temp + result;count = 0;}//两数相减，需要借位else{//如果没到最高位，则可以一直借位if (i != length){temp = Int_to_String(value_A + 10 - count - value_B);//表示向前一位借位result = temp + result;count = 1;}//到了最高位，只能直接相减else{temp = Int_to_String(value_A - count - value_B);result = temp + result;}}}return result;
}//大整数乘法
string multiBI(string A, string B)
{//获取A、B最长字符串长度int lenA = A.length();int lenB = B.length();int length = lenA > lenB ? lenA : lenB;//补齐A、Bif (length == lenA){B = string(length - lenB, '0') + B;}else{A = string(length - lenA, '0') + A;}if (length ==1){return Int_to_String(String_to_Int(A) * String_to_Int(B));;}else{string A1, A2, B1, B2;A1 = A.substr(0, A.length() / 2 + A.length() % 2);A2 = A.substr(A.length() / 2 + A.length() % 2, A.length() / 2);B1 = B.substr(0, B.length() / 2 + B.length() % 2);B2 = B.substr(B.length() / 2 + B.length() % 2, B.length() / 2);string A1B1 = multiBI(A1, B1);string A2B2 = multiBI(A2, B2);string A1B1_plus_A2B2 = plusBI(A1B1, A2B2);string A1B2_plus_A2B1 = multiBI(plusBI(A1, A2), plusBI(B1, B2));A1B2_plus_A2B1 = subBI(A1B2_plus_A2B1, A1B1_plus_A2B2);int add_first = A.length() / 2 * 2;int add_mid = A.length() / 2;for (int i = 0; i < add_first; i++) {A1B1 = A1B1 + '0';}for (int i = 0; i < add_mid; i++) {A1B2_plus_A2B1 = A1B2_plus_A2B1 + '0';}return remove_zero(plusBI(plusBI(A1B1, A1B2_plus_A2B1), A2B2));}
}//除去前面的无效0
string remove_zero(string s)
{// 除去数字前面的零int i = 0;while (i < s.length() && s[i] == '0'){i++;}if (i < s.length()){s = s.substr(i);}else{s = "0";}return s;
}//数字转字符串
string Int_to_String(int num)
{string outcome;stringstream ss;ss << num;ss >> outcome;ss.clear();return outcome;
}//字符串转数字
int String_to_Int(string s)
{int outcome;stringstream ss;ss << s;ss >> outcome;ss.clear();return outcome;
}//判断结果正负号
string judge_outcome(string A, string B)
{//截取A、B的符号位string A_sign = A.substr(0, 1);string B_sign = B.substr(0, 1);//计数器int count = 0;if (A_sign == "-"){count++;}if (B_sign == "-"){count++;}//判断结果if (count == 1){return "-";}else{return "+";}
}//补齐符号
string complete_sign(string s)
{string temp = s.substr(0, 1);if (temp != "-"){return "+" + s;}else{return s;}
}int main()
{//A、B以字符串的形式存储大整数string A, B;//判断是否需要继续int flag = 1;while (flag){flag = 0;cout << "请输入两个乘数：" << endl;cin >> A >> B;//补全A、B的符号A = complete_sign(A);B = complete_sign(B);cout << "大整数："<<"("<< A<<")" << " * " << "(" << B << ")" << "的结果是：" << endl;//获取结果的符号string outcome_sign = judge_outcome(A, B);//A、B减去符号A = A.substr(1);B = B.substr(1);cout<< outcome_sign + multiBI(A, B) << endl;cout << "继续计算请按1，结束按0——" << endl;;cin >> flag;}return 0;
}

与普通大整数乘法相比的改进之处：

1、原大整数乘法是根据公式进行计算的，需要进行四次乘法，其时间复杂度。而本文的公式基于Karatsuba算法，根据实际观察和验算发现可以变形为，可以观察到变形后的式子中只需要三次乘法，其时间复杂度，算法的时间复杂度得到了降低。

2、考虑到根据上述变形后的公式中三个主要的部分没有出现负数的情况，即大整数乘法的过程中主要部分都是正数，因此可以在最初输入大整数时获取大整数的符号，推断出结果的符号后，仅仅使用两个大整数的数值部分进行计算。最终输出的大整数相乘结果是一个字符串，用最先推断出的符号再连接相乘的结果，即可得到最终的真正结果。

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