《现代控制理论》第四章
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
4.1.1 系统状态的运动及平衡状态
设所研究系统的齐次状态方程是：
给定初始条件，上述方程有唯一解：[状态轨线]
若系统式存在状态矢量使得对所有t, 都有：
并称
是系统的平衡状态
对线性定常系统：
当A为非奇异矩阵，满足的解
是系统唯一存在的平衡状态。
当A为奇异阵，系统有无穷多个平衡状态。
对非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。它们是由方程确定的常值解。
对任意一个平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以只需要讨论系统在坐标原点的稳定性即可。
4.1.2 稳定性的几个定义
1.李雅普诺夫意义下稳定
2.渐进稳定
3.大范围渐近稳定
关键词：所有从初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性
必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态。
4. 不稳定
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据
线性定常系统：
状态稳定性：平衡状态
充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部
输出稳定性：有界输入u所引起的输出y是有界的
充分必要条件：传递函数的极点全部位于s的左半平面。
4.2.2 非线性系统的稳定性
状态方程：
其中 是如4.14所示的雅可比矩阵 ；
是级数展开式中的高阶导数项
在李雅普诺夫给出的结论中，注意对于A的特征值情况的分类讨论。
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识
1.标量函数的符号性质
2.二次型标量函数
定义二次型标量函数如下：
如果,称p为实对称阵。当p是实对称阵，必存在正交矩阵T，通过变换
使之化为二次型函数的标准型
标准型只包含变量的平方项，是对称阵的互异特征值，且均为实数。
那么V(x)正定的充要条件是对称阵P的所有特征值都大于0
矩阵P的符号性质定义如下：
3.希尔维斯特判据
矩阵P定号性的充要条件如下
4.3.2 几个稳定性判据
应当指出，上述判据只给出了判断系统稳定性的充分条件，而非充要条件。
4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论
由稳定性判据可知，运用李雅普诺夫第二法的关键在于找到一个满足判据条件的李雅普诺夫函数V(x).而V(x)满足下列属性：
4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据
在应用该判据前，要注意以下实际情况：
4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据
4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据
4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据
4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.5.1 雅可比矩阵法
设非线性系统的状态方程为：
假设原点是平衡状态，系统的雅可比矩阵为：
则系统在原点附近渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称矩阵P，使下列矩阵
为正定的。并且
是系统的一个李雅普诺夫函数。
如果当时，还有
,则系统在
是大范围渐近稳定。
4.5.2 变量梯度法
如果找到一个特定的李雅普诺夫函数，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么这个李雅普诺夫函数的梯度必定存在且唯一
这时V(x)对时间的导数可表达为：
1.有关场论的几个基本概念
（1）标量函数的梯度
（2）矢量的曲线积分
（3）矢量的旋度
2.变量梯度法
变量分析法分析系统稳定性的步骤归纳如下：
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