matlab实现牛顿下山法

说起牛顿下山法，首先要提牛顿法，牛顿法是求解非线性方程的一个重要方法，具体可以点击牛顿法；虽然牛顿法作为一个二阶的迭代收敛方法，但是其对于函数和初始点的要求都比较高，而牛顿下山法则是有效降低这些要求的一种技巧。

牛顿下山法的迭代公式如下

xk+1(λ)=xk−λf(xk)f(xk)′x_{k+1}(\lambda)=x_k-\lambda\frac{f(x_k)}{f(x_k)^\prime}xk+1(λ)=xk−λf(xk)′f(xk)
其中λ=max(2−t:∣f(xk+1(2−t))∣<∣f(xk)∣,t=0,1,2,...)\lambda=max(2^{-t}:\left|f(x_{k+1}(2^{-t}))\right|<\left|f(x_k)\right|,t=0,1,2,...)λ=max(2−t:∣f(xk+1(2−t))∣<∣f(xk)∣,t=0,1,2,...)
即每步会修正牛顿迭代法中间的步长，使得每次迭代都保证距离真解更近。

matlab 代码如下

function y=f(fun,num)
x=num;
y=eval(fun);  %先定义一个函数，可以表达所有的数学函数，fun为字符串，表示函数function [x,k]=newton(x0,fun1,fun2,error) %fun1是原函数，fun2是导函数，error是收敛误差，x0是迭代初始点
x=x0;
y=f(fun1,x);
k=1;           %标记迭代了多少次
while abs(y)>errord=1;x2=x-d*y/f(fun2,x);while abs(f(fun1,x2))>abs(f(fun1,x))d=d/2;x2=x-d*y/f(fun2,x);endx=x2;y=f(fun1,x);k=k+1;
end

例如解如下方程
y=sin10x+2cosx−x−3=0y=sin10x+2cosx-x-3=0y=sin10x+2cosx−x−3=0

可知在[-3,0]有解，调用函数如下

[x,y]=newton(-1,'sin(10*x)+2*cos(x)-x-3','10*cos(10*x)-2*sin(x)-1',1e-4)

x =
-1.0773
y =
6

可见，迭代了6次，就收敛到1e-4以下了，但是该方程不止一个解，与初始点的选取有关

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