十六宫格拼图（A*/IDA*）（曼哈顿距离）

传送门

迭代加深：通过单纯的深度优先搜索无法找出初始状态到最终状态的最短路径，但是重复进行限制最大深度的深度优先搜索（深度受限搜索）却可以。简单来说，就是在循环执行深度受限搜索的过程中逐步增加限制值limit，直到找到解为止，这种算法称为迭代加深（Iterative Deepending）

IDA*

在迭代加深中，通过推测值进行剪枝处理的算法称为迭代加深A*或者IDA*。这里的推测值又称为启发通常可以取完成目标所需要的下限值。

对于十六宫格来说，如果能预估出当前状态到最终状态的最小成本h，我们就可以对搜索范围进行剪枝了，也就是说，如果当前状态的深度g加上最小成本h(即“从这里开始至少还需要h次状态迁移)超过了限制深度d，就可以直接中断搜索。

推测值同样适用于以含有优先级队列的迪克斯特拉（或者广度优先搜索）为基础的算法，这类算法称为A*算法，它用优先级队列管理状态，优先对”起点到当前成本+当前位置到目标状态的推测值“最小的状态进行状态迁移，可以更快的找到解。

曼哈顿距离

曼哈顿距离指的是”不进行任何斜向移动，仅仅进行上下左右移动所测出的2点之间的总距离

IDA*

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 4
#define N2 16
#define LIMIT 100const int dx[4]={0,-1,0,1};
const int dy[4]={1,0,-1,0};
const char dir[4]={'r','u','l','d'};int MDT[N2][N2];struct puzzle{int f[N2],space,MD;
};puzzle state;
int limit;
int path[LIMIT];int getALLMD(puzzle pz)
{int sum=0;for(int i=0;i<N2;i++){if(pz.f[i]==N2){continue;}sum+=MDT[i][pz.f[i]-1];}return sum;
}bool dfs(int depth,int prev)
{if(state.MD==0){return true;}if(depth+state.MD>limit){return false;}int sx=state.space/N;int sy=state.space%N;puzzle tmp;for(int r=0;r<4;r++){int tx=sx+dx[r];int ty=sy+dy[r];if(tx<0||ty<0||tx>=N||ty>=N){continue;}//防止重复if(max(prev,r)-min(prev,r)==2){continue;}tmp=state;//计算曼哈顿距离的差值，同时交换拼图块state.MD-=MDT[tx*N+ty][state.f[tx*N+ty]-1];state.MD+=MDT[sx*N+sy][state.f[tx*N+ty]-1];swap(state.f[tx*N+ty],state.f[sx*N+sy]);state.space=tx*N+ty;if(dfs(depth+1,r)){path[depth]=r;return true;}state=tmp;}return false;
}string iterative_deepening(puzzle in)
{in.MD=getALLMD(in);//初始状态的曼哈顿距离for(limit=in.MD;limit<=LIMIT;limit++){state=in;if(dfs(0,-100)){string ans="";for(int i=0;i<limit;i++){ans+=dir[path[i]];}return ans;}}return "unsolvable";
}int main()
{for(int i=0;i<N2;i++){for(int j=0;j<N2;j++){//曼哈顿距离，此法太妙MDT[i][j]=abs(i/N-j/N)+abs(i%N-j%N);}}puzzle in;for(int i=0;i<N2;i++){cin>>in.f[i];if(in.f[i]==0){in.f[i]=N2;in.space=i;}}string ans=iterative_deepening(in);
//    for(int i=0;i<limit;i++){
//        cout<<path[i]<<" ";
//    }cout<<ans.size()<<endl;return 0;
}

//A*
//优先对“起点到当前位置的成本+当前位置到目标状态的推测值”最小的状态进行状态迁移
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 4
#define N2 16const int dx[4]={0,-1,0,1};
const int dy[4]={1,0,-1,0};
const char dir[4]={'r','u','l','d'};
int MDT[N2][N2];struct Puzzle{int f[N2],space,MD;int cost;bool operator < (const Puzzle &p)const{for(int i=0;i<N2;i++){if(f[i]==p.f[i]){continue;}return f[i]<p.f[i];}return false;}
};struct state{Puzzle puzzle;int estimated;bool operator < (const state &s)const{return estimated>s.estimated;}
};int getALLMD(Puzzle pz)
{int sum=0;for(int i=0;i<N2;i++){if(pz.f[i]==N2){continue;}sum+=MDT[i][pz.f[i]-1];}return sum;
}int astar(Puzzle s)
{priority_queue<state>pq;s.MD=getALLMD(s);s.cost=0;map<Puzzle,bool>V;Puzzle u,v;state initial;initial.puzzle=s;initial.estimated=getALLMD(s);pq.push(initial);while(!pq.empty()){state st=pq.top();pq.pop();u=st.puzzle;if(u.MD==0){return u.cost;}V[u]=true;int sx=u.space/N;int sy=u.space%N;for(int r=0;r<4;r++){int tx=sx+dx[r];int ty=sy+dy[r];if(tx<0||ty<0||tx>=N||ty>=N){continue;}v=u;v.MD-=MDT[tx*N+ty][v.f[tx*N+ty]-1];v.MD+=MDT[sx*N+sy][v.f[tx*N+ty]-1];swap(v.f[sx*N+sy],v.f[tx*N+ty]);v.space=tx*N+ty;if(!V[v]){v.cost++;state news;news.puzzle=v;news.estimated=v.cost+v.MD;pq.push(news);}}}return -1;
}int main()
{for(int i=0;i<N2;i++){for(int j=0;j<N2;j++){MDT[i][j]=abs(i/N-j/N)+abs(i%N-j%N);}}
//    for(int i=0;i<N2;i++){
//        for(int j=0;j<N2;j++){
//            cout<<MDT[i][j]<<" ";
//        }
//        cout<<endl;
//    }Puzzle in;for(int i=0;i<N2;i++){cin>>in.f[i];if(in.f[i]==0){in.f[i]=N2;in.space=i;}}cout<<astar(in)<<endl;return 0;
}

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