Run Run Run

学习了 2022 年集训队论文《浅谈与 Lyndon 理论有关的字符串组合问题》
写得很好，像我这样的字符串小白也能看懂

Lyndon 分解

若字符串 w w w 小于它的每一个真后缀，则称 w w w 是 Lyndon 串。
若字符串 w w w 是 Lyndon 串，则 w k w ′ w^kw' wkw′ 是近似 Lyndon 串，其中 w ′ w' w′ 是 w w w 的前缀。

串 w w w 可以分解位 w 1 c 1 … w k c k w_1^{c_1}\dots w_{k}^{c_k} w1c1…wkck，其中 w 1 > ⋯ > w k w_1>\dots>w_k w1>⋯>wk。

最小后缀族：对于串 w w w 的后缀 w ′ w' w′，若存在 u u u 使得任意后缀 w ′ ′ w'' w′′ 满足 w ′ u < w ′ ′ u w'u<w''u w′u<w′′u，则 w ′ w' w′ 是 w w w 的一个有效后缀，有效后缀的集合称为 w w w 的最小后缀族，记为 S S ( w ) SS(w) SS(w)

若 u 2 v , u v , v u^2v,uv,v u2v,uv,v 都是 w w w 的后缀，则 u v uv uv 不是有效后缀。
若 u , v ∈ S S ( w ) , ∣ u ∣ < ∣ v ∣ u,v\in SS(w),|u|<|v| u,v∈SS(w),∣u∣<∣v∣，则 u u u 是 v v v 的 b o r d e r border border，且 2 ∣ u ∣ ≤ ∣ v ∣ 2|u|\le |v| 2∣u∣≤∣v∣。
有效后缀形如 s i = w i c i … w k c k s_i=w_i^{c_i}\dots w_k^{c_k} si=wici…wkck
s i + 1 s_{i+1} si+1 是 s i s_i si 的前缀的充要条件是 i ≤ λ i\le \lambda i≤λ，其中 s λ s_{\lambda} sλ 是对 w w w 进行 Duval 算法时第一次比较完字符串末尾时的近似 Lyndon 后缀。（因为 w i x s i + 1 w_i^xs_{i+1} wixsi+1 是近似 Lyndon 后缀，所以 s i + 1 s_{i+1} si+1 是 w i w_{i} wi 的前缀）

后接 v v v 的最小后缀：

给定 w , v w,v w,v，求 w w w 的后缀 u u u，使得 u v uv uv 最小，记为 M i n s u f ( w , v ) Minsuf(w, v) Minsuf(w,v)

由于 u u u 是 s λ , … , s k s_{\lambda},\dots,s_k sλ,…,sk 之一，另 w i = s i + 1 + y i w_i=s_{i+1}+y_i wi=si+1+yi， x i = y i + s i + 1 x_i=y_i+s_{i+1} xi=yi+si+1，则有 s i = s i + 1 + x i c i s_i=s_{i+1}+x_i^{c_i} si=si+1+xici。

∀ i ∈ [ λ , k − 1 ] , y i > x i + 1 ∞ \forall i\in [\lambda,k-1],y_i>x_{i+1}^{\infty} ∀i∈[λ,k−1],yi>xi+1∞，即证 s i + 1 y i > s i + 1 x i + 1 ∞ s_{i+1}y_i>s_{i+1}x_{i+1}^{\infty} si+1yi>si+1xi+1∞，即 w i > w i + 1 ∞ s i + 2 w_i>w_{i+1}^{\infty}s_{i+2} wi>wi+1∞si+2，又有 w i > w i + 1 ∞ w_i>w_{i+1}^{\infty} wi>wi+1∞。
∀ i ∈ [ λ , k − 1 ] , x i ∞ > x i + 1 ∞ \forall i\in [\lambda,k-1],x_i^{\infty}>x_{i+1}^{\infty} ∀i∈[λ,k−1],xi∞>xi+1∞

考虑比较 s i v s_iv siv 和 s i + 1 v s_{i+1}v si+1v 的大小，发现这等价与比较 x i c i v x_i^{c_i}v xiciv 和 v v v 的大小，这等价于比较 x i ∞ x_i^{\infty} xi∞ 和 v v v 的大小，故可以二分找到一个 i i i 使得 x i ∞ > v > x i + 1 ∞ x_i^{\infty}>v>x_{i+1}^{\infty} xi∞>v>xi+1∞，此时 M i n s u f ( w , v ) = s i + 1 v Minsuf(w,v)=s_{i+1}v Minsuf(w,v)=si+1v。

例：JSOI 2019 节日庆典，求每个前缀的最小表示。
线性做法：考虑当前串可以表示成 u w k w ′ uw^kw' uwkw′，那么只需要考虑最小表示开头为 w k w ′ w^kw' wkw′ 或开头在 w ′ w' w′ 里面的情况，在 w ′ w' w′ 里面时发现去掉最后 ∣ w ∣ |w| ∣w∣ 个字符即为 u w k − 1 w ′ uw^{k-1}w' uwk−1w′ 的循环表示，是之前已经求出的答案。

Runs

Runs 的定义和 Runs 定理

定义：本源串， k k k 次方串，平方串，本源 k k k 次方串。
Runs：对于字符串 S S S，若其一个子串 S [ i , j ] S[i,j] S[i,j] 具有最小周期 p p p，满足 2 p ≤ j − i + 1 2p\le j-i+1 2p≤j−i+1，且 S i − 1 ≠ S i + p − 1 ， S j + 1 ≠ S j + 1 − p S_{i-1}\neq S_{i+p-1}，S_{j+1}\neq S_{j+1-p} Si−1=Si+p−1，Sj+1=Sj+1−p，则 r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p) 构成 S S S 的一个 run， e r = j − i + 1 p e_r=\frac{j-i+1}{p} er=pj−i+1 为它的指数， S S S 的所有 runs 的集合记为 R u n s ( S ) Runs(S) Runs(S)。
Runs 为研究幂串结构提供了方法，容易发现我们定义的 runs 满足 run 里面至少有一个平方串。

周期相同的两个 runs 的交长度 < p <p <p。
任何一个 run r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p) 可以导出 j − i + 1 − 2 p j-i+1-2p j−i+1−2p 个本源平方串，每个本源平方串由唯一一个 run 导出

下面，我们将证明两个重要的命题：
Runs 定理：记 ρ ( n ) \rho(n) ρ(n) 和 σ ( n ) \sigma(n) σ(n) 表示长为 n n n 的串的 runs 个数以及 runs 指数和的最大值，有 ρ ( n ) < n , σ ( n ) < 3 n \rho(n)<n,\sigma(n)<3n ρ(n)<n,σ(n)<3n。

记 < 0 , < 1 <_0,<_1 <0,<1 为字符集上两种相反的序。

定义 Lyndon 根：对于一个 run r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p)，若在字典序 < < < 下其长为 p p p 的子串 S [ u , u + p − 1 ] S[u,u+p-1] S[u,u+p−1] 为 Lyndon 串，则称 S [ u , u + p − 1 ] S[u,u+p-1] S[u,u+p−1] 是 r r r 关于 < < < 的一个 Lyndon 根。
定义 Lyndon 数组：定义 l t ( i ) l_t(i) lt(i) 表示在 < t <_t <t 下左端点为 i i i 的最长 Lyndon 串的右端点，将 l t ( i ) l_t(i) lt(i) 成为 S S S 的 Lyndon 数组。
性质： l 0 ( i ) , l 1 ( i ) l_0(i),l_1(i) l0(i),l1(i) 恰有一个为 i i i，证明略。
性质：对于 run r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p)，设 S j + 1 < t S j + 1 − p S_{j+1}<_tS_{j+1-p} Sj+1<tSj+1−p，那么其任意 Lyndon 根 S [ u , u + p − 1 ] S[u,u+p-1] S[u,u+p−1] 有 l t ( u ) = u + p − 1 l_t(u)=u+p-1 lt(u)=u+p−1。证明：对于 S [ u , v ] , u + p − 1 < v ≤ j S[u,v],u+p-1<v\le j S[u,v],u+p−1<v≤j 满足其为 w k w ′ w^kw' wkw′，对于 v > j v>j v>j 显然不是 Lyndon 串。
定义 Lyndon 根：若 run r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p) 的 Lyndon 根 S [ u , u + p − 1 ] S[u,u+p-1] S[u,u+p−1] 满足 u > i u>i u>i，那么其为真 Lyndon 根。
性质： S [ u , l 0 ( u ) ] , S [ u , l 1 ( u ) ] S[u,l_0(u)],S[u,l_1(u)] S[u,l0(u)],S[u,l1(u)] 不可能同时为两个 run 的 Lyndon 根。证明：设 l 0 ( u ) = u l_0(u)=u l0(u)=u，则有 S u = S u − 1 + S u + p − 1 = S l 1 ( u ) S_u=S_{u-1}+S_{u+p-1}=S_{l_1(u)} Su=Su−1+Su+p−1=Sl1(u)，故 S [ u , l 1 ( u ) ] S[u,l_1(u)] S[u,l1(u)] 不是 Lyndon 串。
性质：任意两个不同的 run 的真 Lyndon 根左端点集合不交。（由上一条得到）

设 B ( r ) B(r) B(r) 表示 run r r r 所有真 Lyndon 根的左端点集合，有任意 B ( r 1 ) ∩ B ( r 2 ) = ∅ B(r_1)\cap B(r_2)=\empty B(r1)∩B(r2)=∅，所以 ∑ r ∣ B ( r ) ∣ ≤ n − 1 \sum_r |B(r)|\le n-1 ∑r∣B(r)∣≤n−1，又 B ( r ) ≥ 1 B(r)\ge 1 B(r)≥1，故 ∣ R u n s ( S ) ∣ ≤ n − 1 |Runs(S)|\le n-1 ∣Runs(S)∣≤n−1。
若 r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p) 循环了 x x x 次，则真 Lyndon 根至少有 x − 1 x-1 x−1 个，故 ∣ B ( r ) ∣ > e r − 2 |B(r)|>e_r-2 ∣B(r)∣>er−2， ∑ r ( e r − 2 ) ≤ n − 1 \sum_r(e_r-2)\le n-1 ∑r(er−2)≤n−1，故 ∑ r e r < 3 n \sum_r e_r<3n ∑rer<3n。

Runs 的求解方法

算法 1：枚举周期 p p p，用 NOI2016 优秀的拆分的做法解决。
算法 2：由于 runs 的 Lyndon 根一定形如 S [ i , l t ( i ) ] S[i,l_t(i)] S[i,lt(i)]，所以先求出 Lyndon 数组再进行扩展即可。求 Lyndon 数组可以考虑一种从后向前构造 Lyndon 分解的方法，即从后往前扫，维护一个单调栈，每次加入一个字符，检查能不能和栈顶的串合并。

幂串的结构

性质：若 u 2 , v 2 , w 2 u^2,v^2,w^2 u2,v2,w2 是本源平方串，且 u 2 u^2 u2 是 v 2 v^2 v2 的前缀， v 2 v^2 v2 是 w 2 w^2 w2 的前缀，则 ∣ w ∣ ≥ ∣ u ∣ + ∣ v ∣ |w|\ge |u|+|v| ∣w∣≥∣u∣+∣v∣。

于是我们有结论：串 w w w 的本源平方前缀个数为 O ( log ⁡ ∣ w ∣ ) O(\log |w|) O(log∣w∣) 个。
串 w w w 的本源平方串个数为 O ( ∣ w ∣ log ⁡ ∣ w ∣ ) O(|w|\log |w|) O(∣w∣log∣w∣) 个，于是也有 ∑ r （ j − i + 1 − 2 p ) \sum_r （j-i+1-2p) ∑r（j−i+1−2p) 为 O ( ∣ w ∣ log ⁡ ∣ w ∣ ) O(|w|\log |w|) O(∣w∣log∣w∣)。

性质：字符串 w w w 的本质不同本源平方串个数为 O ( ∣ w ∣ ) O(|w|) O(∣w∣)。证明：考虑最后一次出现位置，假设一个左端点有 3 个 u , v , w u,v,w u,v,w，则有 2 ∣ u ∣ ≤ ∣ w ∣ 2|u|\le |w| 2∣u∣≤∣w∣，那么 u 2 u^2 u2 不是最后一次出现。

例：ZJOI 2020 字符串，区间询问本质不同平方串。

先忽略本质不同，考虑 run r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p)，其每个 S [ l , l + 2 k p − 1 ] S[l,l+2kp-1] S[l,l+2kp−1] 都可以作为一个贡献。将 ( l , l + 2 k p − 1 ) (l,l+2kp-1) (l,l+2kp−1) 看作一个点，那么对于一个 k k k，我们可以将操作看成斜线加，加的次数是 ∑ r j − i + 1 p \sum_r \frac{j-i+1}{p} ∑rpj−i+1，其为 O ( n ) O(n) O(n) 。
下面考虑本质不同，对于两个相同子串 S [ i , i + 2 p − 1 ] , S [ j , j + 2 p − 1 ] S[i,i+2p-1],S[j,j+2p-1] S[i,i+2p−1],S[j,j+2p−1]，我们在 ( i , j + 2 p − 1 ) (i,j+2p-1) (i,j+2p−1) 放一个权值为 − 1 -1 −1 的点即可。在一个 run 里面的同样只需要枚举 k k k 然后斜线减，否则就是和前面一个 run 里面的相同。从做到右扫 runs，我们只关注 run 里面第一次出现的平方串，容易发现其个数为 ∑ r ( j − i + 1 − 2 p ) ∼ O ( n log ⁡ n ) \sum_r (j-i+1-2p)\sim O(n\log n) ∑r(j−i+1−2p)∼O(nlogn)，故直接使用 hash，然后在平面上会添加 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn) 个点。时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n + q log ⁡ n ) O(n\log^2 n+q\log n) O(nlog2n+qlogn)。

Lyndon 树

对于一个 Lyndon 串 w w w，我们可以得到一个 2 ∣ w ∣ − 1 2|w|-1 2∣w∣−1 个结点的二叉树，每个结点代表一个子串（且也为 Lyndon 串），构建的方法为找到 w = u + v w=u+v w=u+v，其中 v v v 是 w w w 的最小后缀，然后 u , v u,v u,v 为 w w w 的两个儿子。

构建方法：从后向前，维护 [ i + 1 , n ] [i+1,n] [i+1,n] 组成的森林（每一个子树是一个 Lyndon 串），加入当前字符 S i S_i Si，会合并栈顶的一些 Lyndon 串，将这些点串起来即可。

性质：以 i i i 为左端点的最长 Lyndon 子串对应 Lyndon 树中以 i i i 为左端点的最大子树。（证明：建树的过程和求 Lyndon 数组相同）
性质：若 S [ l , r ] S[l,r] S[l,r] 是 Lyndon 串，则 l , … , r l,\dots,r l,…,r 的 LCA 的子树的左端点为 l l l。

区间短周期查询：每次查询 S [ l , r ] S[l,r] S[l,r] 的最小周期，若最小周期大于一半则不用输出。

这等价与查询是否有一个包含 [ l , r ] [l,r] [l,r] 且周期不超过 r − l + 1 2 \frac{r-l+1}{2} 2r−l+1 的 run。
以 < 0 , < 1 <_0,<_1 <0,<1 两种比较关系建 Lyndon 树，分别求出 l , … , ⌈ l + r 2 ⌉ l,\dots,\lceil \frac{l+r}{2}\rceil l,…,⌈2l+r⌉ 的 LCA，检查以其右子树为 Lyndon 根的 runs。
证明：我们只需要找到一个包含 m m m 的 Lyndon 根。 LCA 的右子树 x x x 满足条件，若其不为答案的 runs r = ( i , j , p ) r=(i,j,p) r=(i,j,p)，那么我们知道 x x x 的右端点大于 j j j，但是 S j + 1 < S j + 1 − p S_{j+1}<S_{j+1-p} Sj+1<Sj+1−p，这与 x x x 的子树是 Lyndon 串矛盾。

Lyndon 串计数

记 w ^ \hat w w^ 为 w w w 的最小表示，若 w ^ = w \hat w=w w^=w 则称 w w w 为 necklace。
性质：每个 Lyndon 串都是 necklace，每个 necklace 可以写成 w k w^k wk 其中 w w w 是 Lyndon 串。

w ^ \hat w w^ 的求法：首先找到 u k = w u^k=w uk=w 然后求 u ^ \hat u u^，只需要对 u u uu uu 求 Lyndon 分解，然后找到最后一个在 [ 1 , ∣ u ∣ ] [1,|u|] [1,∣u∣] 中分解的地方 x x x，那么 u ^ = u [ x , ∣ u ∣ ] + u [ 1 , x − 1 ] \hat u=u[x,|u|]+u[1,x-1] u^=u[x,∣u∣]+u[1,x−1]。

求前驱 necklace：求长度等于 ∣ w ∣ |w| ∣w∣ 字典序 ≤ w \le w ≤w 的最大的 necklace。记作 P L ( w ) PL(w) PL(w)

P L ( w ) PL(w) PL(w) 形如 P r e ( w , i − 1 ) + P ( w i ) + z ∣ w ∣ − i Pre(w,i-1)+P(w_i)+z^{|w|-i} Pre(w,i−1)+P(wi)+z∣w∣−i，其中 P ( c ) P(c) P(c) 表示比 c c c 小的最大字符，故我们有 ∣ w ∣ 2 |w|^2 ∣w∣2 的做法，即每次判断是不是 necklace。
考虑优化判断的过程，只需要判断 P r e ( w , i − 1 ) + P ( w i ) Pre(w,i-1)+P(w_i) Pre(w,i−1)+P(wi) 是不是近似 Lyndon 串即可，用一次 Duval 算法就可以解决。

Lyndon 串计数：
设 P ( n ) , L ( n ) P(n),L(n) P(n),L(n) 表示本源串和 Lyndon 串的数量，有 L ( n ) = 1 n P ( n ) L(n)=\frac 1n P(n) L(n)=n1P(n)，且 Σ n = ∑ d ∣ n P ( d ) \Sigma^n=\sum _{d\mid n}P(d) Σn=∑d∣nP(d)，那么 L ( n ) = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n d ) Σ d L(n)=\frac 1n \sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)\Sigma^d L(n)=n1∑d∣nμ(dn)Σd。

Lyndon 串排名：
设 P ( d ) , P ′ ( d ) P(d),P'(d) P(d),P′(d) 表示满足 u ^ n / d ≤ w \hat u^{n/d}\le w u^n/d≤w 的任意串 u u u 的数量，以及本源串 u u u 的数量。
r a n k = 1 n P ′ ( n ) , P ( x ) = ∑ d ∣ x P ′ ( d ) → r a n k = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n d ) × P ( d ) rank=\frac 1nP'(n),P(x)=\sum_{d\mid x}P'(d)\to rank=\frac 1n\sum_{d\mid n} \mu(\frac nd)\times P(d) rank=n1P′(n),P(x)=∑d∣xP′(d)→rank=n1∑d∣nμ(dn)×P(d)。
容易发现 P ( d ) P(d) P(d) 等价与 u ^ ≤ P r e ( w , d ) \hat u\le Pre(w,d) u^≤Pre(w,d) 的任意串数量。
识别自动机： KMP 的改版，当转移字符等于 w i w_i wi 时，到 i + 1 i+1 i+1，小于 w i w_i wi 时到 n n n，否则到 0。

性质： w w w 是 necklace， u ^ ≤ w , ∣ u ∣ = ∣ w ∣ = n \hat u\le w,|u|=|w|=n u^≤w,∣u∣=∣w∣=n 当且仅当 u 2 u^{2} u2 中存在一个不为 w w w 真前缀的子串 v v v 满足 v ≤ w v\le w v≤w。
性质： 发现对于 necklace 的识别自动机，它和 KMP 自动机一样。

对于计算 P ( n ) P(n) P(n)，我们只需要考虑不能转移到 n n n 的点有多少，我们会发现，考虑串 u ∞ u^{\infty} u∞ 对于充分打大的 j j j， j j j 转移到的点和 j + ∣ u ∣ j+|u| j+∣u∣ 转移到的是一样的。
我们定义 j ∣ u ∣ j|u| j∣u∣ 转移到的点 t t t 为这个串的起始点，现在就是要求环的数量。设 f j f_j fj 为长为 j j j 的环的数量，枚举第一个环 j j j，有 f i = ∑ j = 1 m i n ( n − 1 , i ) b j f i − j f_i=\sum_{j=1}^{min(n-1,i)} b_jf_{i-j} fi=∑j=1min(n−1,i)bjfi−j，其中 b j b_j bj 表示从这个点转移到 0 的边数。容易发现可以使用多项式求逆来解决。于此同时，答案为 ∑ i = 1 n − 1 i × b i × f n − i \sum_{i=1}^{n-1} i\times b_i\times f_{n-i} ∑i=1n−1i×bi×fn−i。注意到也可以使用线性递推做到 O ( n log ⁡ n log ⁡ m ) O(n\log n\log m) O(nlognlogm) 的复杂度。

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