因果推理（五）：随机试验和可识别

上次介绍了identification的方法——后门调整。但后门调整不是实现identification的唯一方法，这次会介绍identification的其他方法。

1. 随机试验的神奇之处

随机意味着协变量平衡

协变量平衡：协变量X再干预组和对照组中的分布相同，那么就说协变量平衡。即：

P(X∣T=1)=dP(X∣T=0)P(X \mid T=1) \stackrel{d}{=} P(X \mid T=0)P(X∣T=1)=dP(X∣T=0)

因为随机实验中T的取值完全不取决于X，而是随机决定的，于是有T独立于X，于是，

P(X∣T=1)=dP(X)P(X \mid T=1) \stackrel{d}{=} P(X)P(X∣T=1)=dP(X)

P(X∣T=0)=dP(X)P(X \mid T=0) \stackrel{d}{=} P(X)P(X∣T=0)=dP(X)

即T=1时的条件分布和T=0时的条件分布都等于边缘分布，于是有，

P(X∣T=1)=dP(X∣T=0)P(X \mid T=1) \stackrel{d}{=} P(X \mid T=0)P(X∣T=1)=dP(X∣T=0)

所以说，随机实验意味着协变量平衡。

协变量平衡意味着关联就是因果

令X为充分调整集，可以得到：

于是，协变量平衡意味着关联就是因果。

于是，

随机实验可以使得关联就是因果。

同样，我们也可以证明随机实验可以实现exchangeability以及没有后门路径，从而使得关联是因果。

2. 前门调整

上图的情况中，W是一个观测不到的变量，所以无法以W为条件，也就没法进行后门调整。这种情况下，我们就可以使用前门调整。
前门调整大致分为三个步骤：

确定T对M的影响
确定M对Y的影响
结合前面两步确定T对Y的影响

具体过程如下三个图所示：

于是得到了前门调整公式：
P(y∣do(t))=∑mP(m∣t)∑t′P(y∣m,t′)P(t′)P(y \mid d o(t))=\sum_{m} P(m \mid t) \sum_{t^{\prime}} P\left(y \mid m, t^{\prime}\right) P\left(t^{\prime}\right)P(y∣do(t))=∑mP(m∣t)∑t′P(y∣m,t′)P(t′)

前门标准：如果满足以下条件，则一组变量MMM满足从TTT到YYY的前门准则：

MMM完全介导XXX对YYY的影响（即从X到Y的所有因果路径都经过M）。
从TTT到MMM没有畅通无阻的后门路径。
从MMM到YYY的所有后门路径都被TTT阻止。

do-演算

有时候，前门调整和后门调整都无法计算因果关系，这时可以尝试使用do-演算。

符号介绍：GXˉG_{\bar{X} }GXˉ代表删除图G中所有指向节点X的边后的图，GX‾G_{\underline{X}}GX代表删除图G中所有从X出发的边后的图。例如，图G是下左图的话，图GXˉZ‾G_{\bar{X} \underline{Z}}GXˉZ是下右图。

do演算的规则：

rule 1.

P(Y∣do(X),Z,W)=P(Y∣do(X),Z)P(Y \mid d o(X), Z, W)=P(Y \mid do(X), Z)P(Y∣do(X),Z,W)=P(Y∣do(X),Z)

解释：在我们删除了指向X的所有箭头后，变量集Z会阻断所有从W到Y的路径。

rule 2.

P(Y∣do(X),Z)=P(Y∣X,Z)P(Y \mid d o(X), Z)=P(Y \mid X, Z)P(Y∣do(X),Z)=P(Y∣X,Z)

解释：如果变量集Z阻断了从X到Y的所有后门路径，那么以Z为条件（对Z进行控制），则do(X)等同于see(X)。即，在控制了一个充分的去混因子集后，留下的相关性就是真正的因果效应。

rule 3.

P(Y∣do(X))=P(Y)P(Y \mid d o(X))=P(Y)P(Y∣do(X))=P(Y)

解释：如果从X到Y没有因果路径，我们就可以将do(X)从P(Y|do(X))中移除。即，如果我们实施的干预行动（do）不会影响Y，那么Y的概率分布就不会改变。

规则1允许增加或删除某个观察结果；规则2允许用观察替换干预，或者反过来；规则3允许删除或添加干预。这些操作都必须在适当的条件下进行，并且必须在关于特定情况下的因果图中得到证实。

do演算的完备性以得到证明。do演算的完备性告诉我们，如果我们在规则1到3中找不到根据数据估计P(Y|do(X))的方法，那么这个问题，解决方案就是不存在的。在此情况下，我们呢就能意识到除了进行随机对照试验，我们别无选择。

do演算解决因果问题的例子：
通常，艾滋病治疗使在较长的一段时间内进行的，并且在每个治疗阶段，医生都会根据患者的实际情况调整后续治疗的强度和用药剂量。同时，患者的病情也会受到此前治疗方案的影响。因此，我们得到了下图所示的因果图，其中展示了两个治疗阶段和两种治疗方案，第一种治疗方案（X）是完全随机的，第二种治疗方案（Z）则由中期结果的观测值（W）决定，其中W取决于X。

根据收集到的证据，任务是在保持Z恒定不变且独立于观测值W的前提下，预测治疗方案X对结果Y的影响。

在这个问题中，我们的目标量是P(Y∣do(X),do(Z))P(Y|do(X),do(Z))P(Y∣do(X),do(Z))，而我们可以采集到的数据以P(Y|do(X),Z,W)和P(W|do(X))为表示形式。这两个表达式反映了这样一个事实：此研究中的Z并不取决于某个外部因素，而是遵循某种（未知的）机制随W的变化而变化。因此，我们的任务就是将目标表达式变换为另一个表达式，以反映do算子仅适用于X而非Z的这一研究条件。如此一来，我们就可以通过简单地运用do演算的三条规则来解决这个问题了。【？？】

通过图确定可识别性

虽然do演算的完备性可以告诉我们什么样的因果量可以转换为统计量，但并不直观，下面介绍如何通过图确定一个因果量的可识别性。

【不想整理了，先截图有空再整理】