分数阶傅里叶变换在信号检测与图像处理中的应用研究（李琼）
- 发展历史
- 特性
- 二维分数阶傅里叶变换
- 基于分数阶傅里叶变换的图像分析
  - 分数阶变换域中图像的能量分布
  - 分数阶傅里叶变换域中的图像的幅度和相位信息
  - 分数阶傅里叶逆变换之后的幅度和相位
- 在图像增强中的应用
  - 图像增强

分数阶傅里叶变换在信号检测与图像处理中的应用研究（李琼）

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摘要：分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的一种广义形式，很适合处理非平稳信号，尤其是chirp类信号，具有良好的时频域特性。通过对分数域中的图像能量和幅度相位分布的分析，将其应用到图像增强中，有效的提高图像的质量。

发展历史

Wiener等人最早开始研究分数阶傅里叶变换，他对傅里叶变换中的特征值进行了修正，从而使得其比普通傅里叶变换具有更加完善的形式，是分数阶傅里叶变换的最初理论。
1937年， Condon 独自研究了分数阶傅里叶变换的基本概念，同时也是第一个直接研究FRFT定义的人;
1961年，Bargmann讨论了FRFT的基本定义，并提出FRFT的两种等价的定义形式：Hermit多项式和积分变换;
1980年，Namias从特征值域特征函数的角度，重新给出了FRFT的定义，并把FRFT定义为传统傅里叶变换的分数幂形式
1993年，Mendlovic，Lohamann和Ozaktas给出了FRFT的光学实现并将其广泛应用于光学领域中，但因缺乏快速算法，始终未受到重视;
1993年，Almeida提出FRFT可以解释维时频平面旋转;
1996年，Ozaktas提出一种计算量与FFT相当的快速算法以后，FRFT才广泛引起研究者的注意

特性

将信号从时域变换到时频平面，同时反映信号的时域和频域信息，有利于全面分析信号的局部细微特征
是一种线性变换，用分数域中的单一变量表示信号的时频信息且没有交叉项的干扰
可看作是信号在时频面上的坐标轴绕原点逆时针转动任意角度后所形成分数域上的表示
保留傅里叶变换的优良特性，而且还兼有自身独特的优势
线性，旋转相加性，可逆性，酉性，Parseval关系式、Wigner，时移特性，频移特性、尺度特性

二维分数阶傅里叶变换

二维离散分数阶傅里叶变换可分别由x，y方向的一维离散分数阶傅里叶变换共同实现，具体实现步骤：

先对二维离散信号f的列向量做一维离散FRFT，得到F1
对F1的行向量做一维离散FRFT，得到F2
对F2转置，得到f的二维离散分数阶傅里叶变换

基于分数阶傅里叶变换的图像分析

任意阶次的FRFT都同时包含不同程度的时频信息，将其用于图像分析中，有助于在时频面上更加深入的分析图像的能量分布，幅度和相位信息。

分数阶变换域中图像的能量分布

分数域中图像能量分布的特点：从四周向中心聚积，聚积程度取决于阶次p接近傅里叶变换的程度（p=1）。
分布规律：

随着p的增大，能量越来越集中，当p=0.7左右，分数域的能量在此中心区域已经达到了90%以上。
FRFT包含图像的时频信息，随着p的改变，能量在时频域的分配也发生变换，当p<0.5时，将近又50%的能量分散在时域，当p>0.5时，频域能量分布呈明显上升趋势，当p=1时，图像的能量聚集性达到最强。

分数阶傅里叶变换域中的图像的幅度和相位信息

相位：

当阶次较小时（p趋近于0），可以明显看到图片的一些轮廓特征，随着变换阶次不断增大，纹理信息逐渐减少。表明相位信息所包含的时域信息随着变换阶次的增大而减少，而频域信息随着变化阶次的增大而增大。

幅度：
当阶次较小时很明显的能看清图像的轮廓和细节信息，随着阶次变大，图像逐渐变得模糊，能量也越来越集中。

分数阶傅里叶逆变换之后的幅度和相位

相位：
从不同相位恢复的图像中均可以明显观察到原图像的轮廓边缘信息，随着阶次逐渐变大，图像的边缘信息越来越清晰，可理解为图像经过了不同截止频率的高通滤波器。
幅度：
从幅度恢复的图像中看不出与原图像时域相关的信息，图像的边缘信息主要包含在相位信息中，背景信息主要包含在幅度信息中。

在图像增强中的应用

分数阶本身具有丰富的时频信息和灵活的参数配置

图像增强

目的：增强图像中感兴趣的信息，减少或去除不感兴趣信息的处理方法，改善图像质量、增大不同物体特征的对比度、丰富细节信息、使得有用信息看起来更加清晰，更加容易识别。主要分为空域增强和频域增强：
空域增强：点运算（灰度变换法、直方图均衡法）、领域运算（图像锐化、图像平滑）
频域增强：低频和高频滤波、带通滤波、小波变换（优点：全局性，对图像的所有像素进行处理，能够更好的体现图像的整体特性）
分数阶傅里叶变换变换后图像边缘保持能力更高。

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