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在计算机中，任何的数据都是用二进制： 0 和 1 来表示。整数也不例外。生活中的 10，在 8 个字节的整数中表示为 00001010。但是这样子只能表示正数和零。怎么表示负数呢？于是有了符号位的概念。在 8 个字节的整数中，最高位为符号位，0 代表正数，1 代表负数。所以 -10 就可以用 10001010 来表示。但是，直接采用符号位会带来一系列问题：00000000 和 10000000 表示为 0 和 -0 ，那么用那个来表示 0，还是都是零？

加法问题。

关于加法问题，试着运算 1 - 1 的值：将 1 - 1 转换成 1 + (-1)

转换成二进制：00000001 + 10000001

运算结果为 10000010 转换成十进制为 -2

很明显，这个结果不对。为了解决这个问题，在计算机中引入补码(2's complement)来解决。要解释为什么要使用补码，还得从无符号整型开始说起。为了便于理解和方便，我用 3 个字节的整数来讲解。但由于 C 语言最小都是 8 个字节，在代码验证方面使用 8 个字节。

无符号整型(unsigned integer)

3 个字节的无符号整型中，可以表示 2^3^ = 8 个数：000 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 0+0+0 = 0

001 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 0+0+1 = 1

010 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 0+2+0 = 2

011 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 0+2+1 = 3

100 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 4+0+0 = 4

101 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 4+0+1 = 5

110 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 4+2+0 = 6

111 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 4+2+1 = 7

既然是整数，免不了要加减乘除。

在计算机中，只用加法可以完成的整数的四则运算：减法，就是加上一个负数。

乘法，就是不断的做加法。

除法，就是不断的做减法，而减法又可以转换成加法。

但是这样会出现问题：两个无符号整数相加，超出了 3 个字节表示的范围怎么办？比如：3 + 7。

两个无符号整数相减。转换成加上一个负数。既然是无符号整数，哪里来的负数？

要想解决这个问题，抬头看看墙上的钟吧。

时钟系统

假设现在是 4 点钟：

但实际上现在已经六点钟了，你现在要把指针调到 6 点去。你可以这么做：顺时针调整 2 个小时：

逆时针调整 10 个小时：

顺时针调整 14 个小时，逆时针调整 22 个小时…

把上述过程用数学来表示：顺时针旋转几小时等于加上几个小时。逆时针则为减去几个小时。有：4 + 2 = 6

4 - 10 = 6

4 + 14 = 6

4 - 22 = 6

时钟的一圈是 12 个小时。也就是说，在时钟系统中，向上溢出和向下溢出，都通过模 12 来解决问题

$$

4 - 10 \equiv 4 + (-10) \equiv 4 + (-10 \bmod 12) \equiv 4 + 2 \equiv 6 \pmod{12}

\\

$$上面可以说成，4 与 -10 同余

负数怎么取余

整数取余我们都了解，一直把被余数减去余数直到小于 0 即可。同理，负数取余我们可以把被余数加上余数知道大于 0 即可。

根据上面思路，很快我们可以写出代码：/**

* number 被余数

* mod 余数

*/

int min_mod(int number, int mod)

{

if (number >= 0) {

while (number - mod >= 0) {

number = number - mod;

}

return number;

}

else {

while (number + mod < 0) {

number = number + mod;

}

return number + mod;

}

}

上面虽然好理解，但是代码执行效率不高，时间复杂度为 O(n)。

我们将余数(remainder)加入除法中，有：

$$

\frac{divident}{divisor} = quotient \dots remainder

$$

转换一下:

$$

divident = quotient \times divisor + remainder \qquad 1

$$

交换一下顺序，可以得出余数为：

$$

remainder = divident - quotient \times divisor \qquad 2

$$

其中商(quotient)是被除数(divident)与除数(divisor)相除向下取整(floor)的结果：

$$

quotient = \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor

$$注：$\lfloor \rfloor$ 为向下取整的符号。如，$\lfloor 3.5 \rfloor = 3$，$\lfloor -1.3 \rfloor = 2$。

15/12 等于 1.25 向下取整就成了 1。-10/12 等于 0.833.. 向下取整为 -1。向下取整可以理解为取一个更靠近负无穷的整数。插一句，C/C++/Java 中，负数除法都是向上取整。也就是 -10/12 等于 0。python 中，负数除法为向下取整。

结合 1 式和 2 式，可以得出：

$$

remainder = divident - divisor \times \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor

$$

现在将上述代码可以优化成一句代码：int one_step_mod(int number, int mod)

{

return number - (mod * (int)floor(number * 1.0 / mod));

}别忘记加上 math.h 头文件。

另外，试着想想 * 1.0 起什么作用？不加行不行？

借助时钟的实现解决无符号整型问题

理解了时钟的运转，我们再来看看无符号的两个问题：两个无符号整数相加，超出了 3 个字节表示的范围怎么办？比如：2 + 7。

两个无符号整数相减。转换成加上一个负数。既然是无符号整数，哪里来的负数？

如果把 3 个字节的无符号整数看成时钟的话，它长这样：

那么无符号整数也同样可以通过同余运算解决上述问题：

相加超过范围而导致上溢出

两个无符号整数相加，如果超出范围，直接模 2^n^ 即可：

$$

2 + 7 \equiv 9 \bmod 8 \equiv 1 \pmod 8

$$体现在钟表上，就是将指针顺时针旋转 7 个小时。

加上一个负数

整数相减，相当于加上一个负数。先将负数转换成 2^n^ 下的最小整数，在进行加法运算：

$$

2 - 7 \equiv 2 + (-7 \bmod 8) \equiv 2 + 1 \equiv 3 \pmod 8

$$体现在钟表上，就是将指针逆时针旋转 7 个小时。

总结

计算机用同余运算解决上溢出与负数 。无符号整型的加法运算实际上等价于模 2^n^ 的加法运算。

代码验证talk is cheap, show me your code.

讲了这么多，再通过代码来验证这一过程：

需要注意的是，C 语言中，最小的数据类型为 8 个字节，与上述的 3 个字节有小许差异。int main()

{

uint8_t two = 2;

uint8_t last = 255;

printf("%d \n", two); // 2

printf("%d \n", last); // 255

uint8_t temp = two + last; // 顺时针旋转

printf("%d \n", temp); // 1

temp = two - last; // 逆时针旋转

printf("%d \n", temp); // 3

temp = -2;

printf("%d \n", temp); // 254

return 0;

}别忘了引入 stdint.h 头文件。

学完了无符号整数，看看下面这道题你能否给出正确答案：int main()

{

uint8_t a = -128;

uint8_t b = a / -1;

printf("%d", b); // what is it?

return 0;

}

有符号整型(signed integer)

如果仅仅使用符号位来表示 3 个字节的有符号整数，可以表示 2^3^ -1 = 7 个数：000 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) * 1 = 0+0 = 0

001 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) * 1 = 0+1 = 1

010 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) * 1 = 2+0 = 2

011 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) * 1 = 2+1 = 3

100 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) * -1 = -(0+0) = 0

101 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) * -1 = -(0+1) = -1

110 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) * -1 = -(2+0) = -2

111 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) * -1 = -(2+1) = -3

前面说过，如果仅仅使用符号位来表示有符号整型，会有以下问题：0 的表示。

加法无法算出结果。

仔细观察，你会发现它仅仅可以表示负数，其他什么都干不了：四则运算(也就是加法)会出错，两个 0 的问题。

糟糕的表示方法

要想知道它是如何引入这个问题的，将这个糟糕的表示方法转换成时钟，可能你就明白了：

从上图中，我们可以发现，它并不遵循同余运算。仔细观察 101 也就是 -1 这个地方，在无符号整型中，它表示 5。在有符号整型中，由于最高位被符号位的占据，最大的正数为 011 也就是 3。所以 101 只能表示为负数。为了保证同余运算，只要找到另一个数与 5 关于 8 同余即可。

与 5 关于 8 同余的数有很多：13, 21, -3...。这个数还要满足一个条件：最大的负数。所以为：5 - 8 = -3。

补码的引入

通过这种方式，将上面糟糕的时钟改成遵循同余运算的表示方法：

你可能已经发现了，这套标准就是我们常说的补码。

因为遵循同余定理，补码系统已经不存在那两个问题了：补码系统中只有一个 0，不存在歧义。

1-1 => 1 + (-1) => 001 + 111 => 000 => 0，加法运算也没有问题。

所以为什么要有补码？因为要保证同余运算。而同余运算，就是整数运算的核心原理。

补码的表示

根据上面的图，很好表示补码：正数和零，没有变化，不用修改。

而负数，比如 -1，就是逆时针转动一个小时，根据同余定理，逆时针转动一个小时就代表顺时针转动7个小时：

$$

-1 \equiv 7 \pmod 8

$$

也就是说，当符号位为 1，比如 111，在正整数(7)的基础上逆时针旋转 8 个小时就是补码：补码

----

000 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0) = 0+0 = 0

001 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1) = 0+1 = 1

010 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0) = 2+0 = 2

011 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1) = 2+1 = 3

100 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0) - 8 = 4-8 = -4

101 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1) - 8 = 5-8 = -3

110 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0) - 8 = 6-8 = -2

111 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1) - 8 = 7-8 = -1

公式表示为：

$$

f(补) =

\begin{cases}

x & 符号位 = 0\\

x-8 & 符号位 = 1

\end{cases}

$$其中，x = 4a + 2b + c。

如果用程序来表示：int main()

{

int n;

puts("Please input a number, represent a few bytes: ");

scanf("%d", &n);

int count = 1 << n;

for (int i = 0; i < count; i++) {

if (i >= (1 << n - 1)) { // 如果这个数的符号位为 1

printf("%d ", i - count);

}

else printf("%d ", i);

}

return 0;

}

反码(1's complement)的误区

在上面讲解补码的过程中，并没有提到反码。那为什么有些文章说到补码时，要提到反码？而且我们常说的反码加上一等于补码又是怎么来的，反码真的可以解决原码相加的问题吗？

先来看看反码的定义：正数的反码等于其原码，而负数的反码则可以通过保留其符号位，将原码的数值位取反得到。

在 3 个字节的有符号整数中，有：原码 反码

---------

000 = 000 = 0

001 = 001 = 1

010 = 010 = 2

011 = 011 = 3

100 = 111 = -0

101 = 110 = -1

110 = 101 = -2

111 = 100 = -3

你会发现，它怎么和仅仅引入符号位的有符号整数那么眼熟。那反码解决了那两个问题了吗？

很显然的是，反码中也有两个零。

那么加法呢？人们最喜欢举的例子为：

$$

1 - 1 = 1 + (-1) = 001_{正} + 101_{正} = 001_{反} + 110_{反} = 111_{反} = -0 = 0

$$

上面的式子可以运算出正确结果。所以在有些文章中就认为反码解决了原码的相加问题。

真的是这样的吗？再来看看一个例子：

$$

-1 + (-2) = 101_{正} + 110_{正} = 110_{反} + 101_{反} = 011_{反} = 3

$$

问题出现了，加法运算也不成立。可见，网络上的文章不太靠谱。看文章，抱着怀疑的态度还是很有必要的。

也就是说，反码和原码一样，并不适合作为有符号整数的表示方法。这也是很多人的误区，认为反码与补码有关系。其实一点关系也没有，虽然是反码加上一等于补码。

那反码加上一等于补码，这又是怎么来的呢？

这是一条结论。

反码加上一等于补码

在 3 个字节中，原码使用 abc~2~ 来表示：

$$

f(原) = \begin{cases}

2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\

(2^{1} \times b + 2^{0} \times c) \times (-1)

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

- (2b +c) & a = 1

\end{cases}

$$

原码转换成反码，负数的符号位不变，其他位取反：

$$

f(反) = \begin{cases}

2^{2} \times a + 2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\

2^{2} \times a + 2^{1} \times (1 - b) + 2^{0} \times (1 - c)

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

-(2b +c) + 7 & a = 1

\end{cases}

$$

原码转换成补码。正数不变。负数，比如 -3 就是 0 - 3，现在可以用正数表示 3，而又根据同余定理 0 - 3 等于 8 - 3，所以原码转补码的负数表示方法为：8 - 正数：

$$

f(补) = \begin{cases}

f(原) \\

f(原) + 8

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

8 - (2b + c) & a = 1

\end{cases}

$$

当符号位为 0，也就是正数的时候，两者相等。符合正数时，原反补码相同。

当符号位为 1 ，也就是负数。因为要保证符号位为 1，所以符号位并不参与计算，所以反码和补码的计算就转换成了 2 个字节的无符号加法运算。既然是加法运算，同样遵循同余运算，这里时关于 4 同余。

$$

f(反) + 1 = -(2b + c) + 8 = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 3

$$

$$

f(补) = 8 - (2b + c) = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 4

$$

结合 3 式与 4 式，有：

$$

f(反) + 1 = f(补)

$$

所以，反码加上一等于补码是这么来的。它并不能作为结论证明反码和补码有任何关系，只是可以通过这种方法，在原码的基础上快速的得出补码而已。

代码验证int main()

{

int8_t two = 2;

int8_t last = 127;

printf("%d \n", two); // 2

printf("%d \n", last); // 127

int8_t temp = two + last; // 顺时针旋转

printf("%d \n", temp); // -127

temp = two - last; // 逆时针旋转

printf("%d \n", temp); // -125

return 0;

}

上面的思考题换成有符号整数，还是那个结果吗？int main()

{

int8_t a = -128;

int8_t b = a / -1;

printf("%d", b); // what is it?

return 0;

}

参考资料